CHAPITRE V. — PtfNÉTftATlONS DE VOUTES

plates suivant un angle dont les côtés iront rencontrer les arêtes de douelle aux points (D', D) et (D', d), tandis que le sommet y de cet angle, étant rabattu autour de l'horizontale (Dd, D'), se transportera en (<j, </'); donc D<pd sera la vraie grandeur de cet angle qui mesure évidemment le dièdre cherché.

(Fig. 7.) Maintenant, après avoir choisi un bloc de pierre capable du voussoir en question , on dressera Tune de ses faces et Ton y marquera le contour MM' N' N de la douelle plate ; ce contour est très-facile à tracer, puisque c'est un trapèze dont deux angles M' et N' sont droits, et dont tous les côtés sont connus en vraie grandeur, savoir : M' N 7 sur la fig. i, MM' et NN' par les longueurs MG et NH de là fig. 3 , et le quatrième côté MN par la longueur de la corde ^ v de l'ellipse d'arête. Ensuite, par la droite MN on conduira .un second plan MNN" M" qui fasse avec le premier un angle égal à celui que nous avons trouvé ci-dessus pour les deux douelles plates; et pour cela, on se servira d'un biveau dont les deux branches comprendront l'angle plan Dqd (fig. 3), avec le soin de maintenir toujours ce biveau dans un plan normal à l'arête MN; puis, sur cette seconde face plane, on tracera le trapèze MNN" M" dont les deux angles M", N", seront droits, et dont les côtés MM", NN", seront donnés par les longueurs MV, NX, delà fig. 3 , tandis que le côté M" N" devra égaler la corde de même nom sur \&fig. 2.

Cela fait, par la droite M'N', l'ouvrier conduira un plan qui soit d'équerre sur la douelle plate M'N'NM, et sur cette nouvelle face il appliquera le panneau de . tête M' «NTQ' levé sur là fig. 1 ; semblablement , par l'arête M" N" il fera passer un plan perpendiculaire à l'autre douelle plate, et il y appliquera le second panneau de tête M" a" N" F Q" levé sur la fig. a. Alors il pourra tailler aisément les quatre joints , qui sont des plans pour chacun desquels il connaît actuellement deux droites directrices ; d'ailleurs l'étendue exacte de ces joints lui sera fournie par les panneaux de la fig. 4* Enfin , il creusera les douelles cylindriques en employant les moyens et les précautions que nous avons indiquées au n° 730; et quant aux faces d'extrados , on agira comme nous l'avons dit à la fin de ce même article.

732. (PI. 46, fig. 3.) Des voussoir s en arc de cloître. Nous avons montré au n* 727 qu'un des .voussoirs de ce genre était projeté horizontalement sur xnhlqz, et .que ses faces de tête situées dans les plans verticaux M et xz étaient représentées en vraie grandeur par m'n'p'qf et m"n" p" q" : nous avons aussi enseigné (n° 729) à construire les panneaux des joints et de la douelle développée , représentés sur la fig. 5. Dès lors, après avoir équarri un prisme droit dont la base soit le polygone xnhlqzj on appliquera les panneaux de tête sur les deux faces verticales hl et xz, et Ton exécutera les joints de douelles cylindriques par les mêmes moyens qu'au n° 730 ; c'est pourquoi nous n'avons point tracé ici une figure particulière qui d'ailleurs n'aurait pu être insérée dans le cadre de notre épure. Seulement nous ferons observer que, comme les deux douelles cylindriques présenteront ici un angle

rentrant 9 il faudra tailler la première (qui a pour section droite l'arc de cercle VédU. se

282 LIVRE IV. — COUPE DES PlBRftES.

m' }/n') en avançant progressivement jusqu'à ce que le panneau g i m 2 n 3 /*, (fig. S) exécuté sur un carton flexible , puisse s'appliquer exactement sur la concavité de cette face cylindrique : cette précaution est nécessaire pour obtenir avec précision l'arc d'ellipse qui limitera cette douelle et formera l'arêtier rentrant de ce voussoir. Ensuite, la douelle qui a pour arc droit m"\ tt n n s'exécutera aisément au moyen d'une règle qu'on promènera sur cet arc de tête et sur l'arêtier : on pourrait aussi , pour cette dernière opération, employer une équerre Bxe dont les deux branches s'appuieraient à la fois sur les deux arcs de tête, ce qui servirait en même temps de vérification pour la première douelle.

733. De la clef. Dans l'épure de la PI. 46 9 la clef se taillera comme le voussoir du n*732, en se servant aussi du panneau de douelle pour déterminer la limite NOn où doit s'arrêter la face cylindrique qui fait partie du berceau en plein cintre.

Dans la PI. 45 (fig. 3) , on commencera par tailler, dans toute sa longueur, ta douelle cylindrique XYtpc qui répond au berceau en plein cintre; ensuite, au moyen d'une cerce découpée suivanl la courbure de l'ellipse d'arête, et que Ton placera tour à tour dans les plans verticaux des deux diagonales Nn a , N 2 n, on tracera les deux arêtiers de la ulef ; et alors la seconde douelle appartenant au berceau elliptique s'exécutera aisément par le secours d'une simple règle.

Quant à la clef de la fig. 5 (W. 45), elle exigera plus de précautions, et de tâtonnements, attendu qu'elle doit offrir quatre angles rentrants. Après avoir tracé sur 1a douelle plaie le rectangle NN 2 n, n et ses diagonales , on y pratiquera deux petites tranchées dans les plans verticaux de ces diagonales , en les creusant jusque ce qu'on puisse y appliquer une cerce convexe découpée suivant la courbure de l'ellipse d'arête vers son point culminant. 'Ensuite , au moyen de deux ou trois règles assez courtes pour ne pas dépasser la longueur des génératrices , on taillera les quatre portions du cylindre qui réunissent les deux arêtiers déjà exécutés.

734. (PL 47, jfa. i.) RsmnocE I. Une voûte d'arêtes ne peut se soutenir eu équilibre qu'autant que toutes les assises existent sans interruption , depuis tes naissances jusqu'à la clef inclusivement; tandis qu'une voftte en arc démettre peut très-bien subsister quand on supprime la clef avec plusieurs des assises adjacentes. C'est ce dernier cas qui est représenté dans la/fy. i , où le vide existant à la partie supérieure sera fermé par un vitrage qui laissera le jour arriver dans fa salle que recouvre cette voûte. Elle«st surhaussée, car la section droite du premier berceau a été formée par deux arcs de cercle décrits des centres xety avec le même rayon : le second berceau est identique avec le précédent , parce qu'ici le plan de la voûte est carré; mais d'il en était autrement, nous avons dit au n* 721 comment il faudrait déduire le second berceau du premier, pour que leur intersection produisît des arêtiers plans. Ajoutons encore que pour maintenir les voussoirs de la dernière assise , il faudra disposer les joints montants >eomme dans une plaie-bande

(n* 597) ; cette précaution n'est pas aussi nécessaire pour les assises inférieures , attendu que le frottement produit sur les joints de lit par le poids des poussoirs supérieurs suffira pour les empêcher de glisser. Enfin , on pourrait aussi fermer cette voûte trouquée par un plafond dont les claveaux seraient disposés comme ceux d'une plate-bande.

735. (P/. 47,)ty. 2.) Remarque II. Une voûte en arc de cloître peut être biaise , aussi bien qu'une voûte d'arête (n° 720) ; et Tune comme l'autre peuvent être établies sur un plan polygonal irrégulier et d'un nombre quelconque de côtés. Ainsi, lorsque les murs de plusieurs galeries se rencontrent en formant le polygone ABGD par les intersections de leurs parements intérieurs, on choisira un point qui ait une position à peu près centrale, et on le joindra avec les milieux de tous les côtés par les droites OX, OY, OZ, OV : si , comme dans l'exemple actuel , il s'agit d'un quadrilatère, on pourra placer ce point à la rencontre des deux transversales XZ et YV qui réunissent les milieux des côtés opposés. Cela posé, en imaginant quatre ellipses qui aient te mime axe vertical et pour axes horizontaux les côtés AB, BC, CD, DA, les quatre cylindres différents dont ces courbes seront les directrices , et dont les génératrices seront respectivement parallèles à OX, OY, OZ, OV, iront se couper deux à deux suivant des courbes planes (n° 720) projetées sur les droites OA,OB, OC, OD; et cet ensemble formera bien une voûte d'arêtes à quatre pans inégaux, qui -recouvrira tout l'espace circonscrit par le polygone ABCD. Mais comme la droite OX ne se trouvera pas en général parallèle aux murs AA', BB', de la première galerie, il faudra, à partir du, plan vertical AB, infléchir les génératrices du cylindre OX, ce qui donnera lieu à un berceau coudé OXO' analogue à celui de la PL 46. Pour les autres galeries, on opérera d'une manière semblable.

Toutefois, comme il faut toujours tracer la division en voussoirs, ou l'appareil de la voûte , en opérant sur la section orthogonale du berceau , afin de rendre le» joints exactement normaux, voici Tordre à suivre dans la pratique. On commencera par tracer la section droite À'X'B'de la première galerie, en adoptant pour celte courte un demi-cercle, si Ton veut ; et Ton en déduira les sections droites A" Y " D", • • • de» autres galeries*, en donnant à toutes ces ellipses le mène axe vertical ; puis , on* achèvera l'appareil de chaque berceau comme aux n" 724 et 725. Ensuite , on cherchera la &ectioa droite du berceau OX, en menant un plan vertical Ax perpendiculaire à cette direction, et en traçant une demi-ellipse dont les axes seront kx et **'=r=<yx> / ; pais , après avoir rapporté sur cette dernière courbe les divisions du cintre A'X'B^ on construira leaoonMke: de l'ellipse A*\ et c'est par chacune de ces normales et par la génératrice correspondante qu'il faudra conduire chacun des plans de joint. Pour une môme assise , les joints se couperont deux à deux suivant dm droites que jbous n'avons pa& marquées, ahms que le lecteur trouvera aisément, d'après cequo mus avons dit au nn72&L

284 L1VBB IV. — OOOtt DBS PIBBMS.

Voûte (Taré (es à double arêtier et à pans coupés.

736. (Pi. 47 9 fig- 3.) Pour éviter les parties aiguës que présenteraient les piedsdroits et aussi les intrados vers leur naissance, dans une voûte d'arêtes multiple, on peut pratiquer un pan coupé AB, qui supportera un cylindre intermédiaire entre les berceaux principaux. Ce cylindre intermédiaire aura ses génératrices parallèles à la droite ÀB, tracée à volonté , et pour section orthogonale une ellipse aV dont le demi-axe horizontal o'a' sera égal à la perpendiculaire abaissée du point sur AB,, et dont la montée o'z f égalera O'Z'. Dès lors ce petit berceau coupera les deux cylindres A'Z'B' et A'jZ'jB', suivant deux quarts d'ellipse projetés sur les droites OA et 0B„ ce qui produira deux arêtiers saillants partant du même pied-droit. Du reste, tout ce que nous avons dit dans les exemples précédents pour la division en voussoirs et pour la détermination des' joints normaux, s'appliquera ici d'une manière identique; nous ferons seulement observer qu'il faudra former d'une seule pierre toute la partie de l'intrados qui est projetée sur CDNN,FEM, MC; de sorte que ce voussoir complexe participera des trois cylindres, et offrira trois douelles et six joints qui s'exécuteront par la méthode d'équarrissement (n°230), ou par celle des biveaux (n* 731). La clef, qui est représentée fig. Zj, se taillera par des moyens semblables à ceux dont nous avons parlé au second paragraphe du n* 733, en commençant par équarrir un prisme hexagonal sur les faces duquel on appliquera les panneaux de tête.

Voûte <f arêtes à double arêtier avec pendentifs.

737. (PL 47, fig. 5.) Au lieu de faire aboutir tous les arêtiers au même point, on peut les faire concourir deux à deux aux sommets d'un parallélogramme VXYZ, qui ait pour centre le point O, et dont les côtés soient parallèles aux diagonales AC et BD. Pour cela, outre les deux berceaux principaux ATB' et A"PD", concevons un cylindre auxiliaire parallèle à la diagonale BD, et qui ait pour section orthogonale un quart d'ellipse a' a/ dont le demi-axe horizontal cl x soit égal à la perpendiculaire abaissée du point A sur VX, et dont l'autre demi-axe xscf égale O 7 !' : dès lors ce cylindre auxiliaire coupera bien les deux premiers suivant des ellipses (n # 720) qui seront projetées sur les droites AX et AV. De même, un second cylindre auxiliaire qui aura pour section droite le quart d'ellipse cft/ f coupera les deux berceaux suivant des ellipses projetées sur les droites CY et CZ; puis, en6n, deux autres cylindres auxiliaires construits semblablement dans une direction parallèle à la diagonale AC, couperont encore les deux berceaux primitifs suivant des quarts d'ellipse projetés sur BX et BY, DZ et DV ; de sorte que cette combinaison produira quatre pendentifs ou espaces intermédiaires entre les berceaux , lesquels seront projetés sur les triangles VAX, XBY, YCZ, ZDV. Toutefois, comme par là l'intervalle

[CHAPITRE V. — Prflftf HATIONS DE VOUTES. 966

VXYZ resterait à jour, il faudra le fermer par une voûte plate que Ton pourra composer d'un seul voussoir, en forme de clef, si ce parallélogramme a été choisi de petites dimensions; sinon, on partagera l'intervalle rfyf en trois parties x'a\ «'6', 6'y\ dont les deux extrêmes soient égales, et celle du milieu déterminera la clef dont la douelle sera le parallélogramme aoy3 entièrement plan , et dont les jogUg.^eront des plans un peu inclinés sur la verticale : on pourrait aussi laisser à cette clef une saillie plus ou moins considérable, au-dessous de l'intrados, pour y sculpter une rosace ou un cul-de-lampe. Les voussoirs contigus à la clef et correspondants à des arcs tels que nV«, auront une douelle en partie cylindrique et en partie plate; mais il faudra former d'une seule pierre les portions d'intrados telles que

KRPQSTUW3K et EFNPGHLME.

Les joints d'assise correspondant aux arêtes KR, QS,... seront des plans verticaux; et les joints de lit ou les coupes qui passeront les arêtes PQ, PN,..., seront formés par des plans normaux aux cylindres correspondants. Nous n'avons pas tracé ici les intersections de ces joints, mais elles s'obtiendront aisément, comme dans l'épure 46, et la taille des voussoirs s'exécutera aussi par les procédés des n M 730 et 731.

Lunette droite dans un Berceau.

738. (PL 48.) On appelle ainsi une voûte formée par la rencontre de deux berceaux qui n'ont pas la même montée, quoiqu'ils aient ordinairement le même plan de naissance; alors Varéiier> ou l'intersection des deux cylindres, est une ligne à double courbure, au lieu d'être une courbe plane, ainsi qu'il arrivait dans la voûte d'arêtes du n° 719. D'ailleurs, comme on ne peut plus ici placer à la même hauteur les divisions des deux cintres principaux , parce que cela donnerait aux dou elles du grand berceau des largeurs trop inégales entre elles, il y aura quelques modifications à introduire dans le raccordement des arêtes de douelle des deux voûtes.

Soit a'I'm'n'V la section droite du petit berceau dont Taxe est l'horizontale Oc/; soit aussi A" L"M"N"... la section droite du grand berceau , laquelle est ici rabattue sur le plan vertical, mais qui devra toujours, dans la suite des raisonnements, être censée ramenée dans le plan vertical A,0, perpendiculaire à l'aie 00, de ce second berceau. On commencera par tracer l'appareil de cette dernière voûte, c'est-à-dire les divisions égales A"L", L"M",.»* avec les joints normaux et l'extrados (n* 610) ; ensuite on divisera le cintre du petit berceau en un nombre impair de parties égales, mais telles, que le premier point de division /' se trouve moins élevé que L" : cette condition est essentielle à remplir pour que les traces des joints qui seront apparentes sur l'intrados du grand berceau , comme nous allons le voir, n'offrent

2g£r< XJWftE JLV. COUP* . &*& PI4ABfifc .

paa à l'œil un aspect disgracieux (*). Enfin, oo eooatcuira. le» jointe nonnanx eV 1 extrados du petit berceau, comme à l'ordinaire ; et d'ailleurs toutes ces opérations^ s'effectueraient d'une manière semblable, quand bien même lesaections.dcaîte&dea deux cylindres ne seraient pas des cercles.

739. Cela posé, la projection horizontale AimnB de l'intersection des dena intrados s'obtiendra en coupant ces deux cylindres par divers plans horizontaux, tels que /'/", m'ai", n'n" - 9 car ce dernier coupe le petit berceau suivant * *'"

»tnee-(n', en) , et le grand berceau suivant une génératrice qui est projetée au point n" sur le rabattement {fi g. 2) , mais qui doit être évidemment ramenée suivant £» sur le plan horizontal ; donc la rencontre des droites en et En fournira un pointa* de la courbe demandée, et les autres s'obtiendront d'une manière semblable (**). Cette courbe À/mnB est un arc d'hyperbole équilatère, comme nous l'avons prouvé dans la note du n° 625 ; et l'autre branche Cn t D (fig. 4) reçoit la projection de la courbe de sortie , quand les deux cylindres se pénètrent entièrement ; d'aiHenrs ces deux courbes d'entrée et de sortie sont projetées verticalement sur le

cercle a* n'V.

740. Maintenant, comme l'arête de douelle vl du petit berceau est située plus bas que l'arête N /; du grand $ le plan de joint p 1 ri ri viendra couper l'intrados de ce grand berceau suivant un arc d'ellipse wN qui s'étendra jusqu'à sa rencontre avec l'arête de douelle N"; or, nette extrémité N s' obtiendra en menant le plan horizontal N"N', lequel coupera le grand cylindre suivant la génératrice FN, et le plan de joint p'rio suivant la droite /N. Tout aulne point intermédiaire entre N et n s'obtiendrait encore au moyen d'un plan sécant horizontal; mais on doit d'ailleurs! observer que cette ellipse prolongée aboutira eno qui en sera le sommet, attendu que c'est là ta rencontre du plan indéfini p' rio avec la génératrice à, AB située dans le plan de naissance.

A partir du point N, le joint p 1 ri coupe le joint N"P" du grand berceau suivant une droite NP dont le dernier point P s' obtient aussi au moyen du plan sécant horizontal P"P'; d'ailleurs, cette droite PN prolongée passerait évidemment par le point où se coupent les axes Oo' et 00, des berceaux , parce que ces axes sont ici les traces horizontales des plans de joint p' rio et P y 'N"0". Dans le cas général

(*) En effet, toreqvm V est plus bas que I/\ il en résulte nécessairement ta même dépendance entre m*, et M", »' et N",.~; et-alors casont les joints du petit bereetu qui vont tous couper rintradosdtt grand; tandis que si/' était plus haut que L", il arriverait bientôt qu'un des points suivants^ se trouverait plus bas que N", et conséquemment les traces des joints seraient apparentes tantôt sur le petit berceau ^t tantôt sur le grand, ce qui offrirait une irrégularité choquante pour l'œil.

(**) Cette méthode se réduit évidemment, pour la pratique, à. prendra la distance du point n" à la tangente verticale élevée en A", et à porter cette distance suc la projection indéfinie n'en, à partir de la droite AB. C'est là, en effet, le procédé qui nous a servi dans répure de la Pi. 36, avec laquelle la question qui bous occupe ici a "beaucoup d'analogie et même des parties communes. DTailtews, ce Jiôme piwéd6 pmitq«e s'af^k^ueua aussi aux jtr«te étnfcama aitons parler.

CUAPfTftB V. — PÉNÉTRATIONS DU VOUTES. 587

où les berceaux ne seraient pas en plein cintre, i! serait encore bien facile de trouver ces deux traces horizontales.

Le joint N"P" du grand berceau se terminera à Phorizontale PG suivant laquelle il. rencontre l'extrados, et il aura ainsi pour projection horizontale FNPG; mais le joint n'j/P' coupera d'abord ce même extrades suivant un arc d'ellipse Pp dont chaque point p se trouvera en conduisant un plan sécant horizontal tel que p à p n ' y et ensuite il coupera l'extrados do petit berceau suivant la droite pfe; de sorte qfne le joint fi'p'aara pour projectionhorâontale le contour eiiNPph.

Après ces détails , on lira aisément sur notre épure la forme des autres joints correspondants à mY et M"Q", /V et L" V"; et Ton apercevra bien que la courbe gpq est l'intersection des deux extrados. Mais, vu qu'il faut composer d'une seule pierre les parties des deux berceaux qui sont contiguës à l'arêtier A/rrwB, comme trtNB, on devra limiter les vonssoirs de la lunette par des joints montants ou plans verticaux eg, RS,..., qui soient placés à des distances convenables pour ne pas exiger des pierres d'un trop grand volume. Quant aux voussoirs compris entre KR et K,R,, ils n'appartiendront plus qu'à un seul des berceaux, et ils se construiront sans aucune difficulté ; si nous ne les avons* pas représentés ici sur le plan ' horizontal , c'est pour laisser mieux distinguer tout ce qui se rapporte à la lunette proprement dite. Ajoutons enfin que toute la projection horizontale (fig. 3 et 4) est censée vue par-dessous, ee qui expliquera les divers modes de ponctuation employés dans notre épure.

7ftl. (W. 48, fig. 5.) Panneaux de développement. On développera l'intrados du petit berceau en rectifiant les arcs a'f, /'m', m'n',... de la section orthogonale suivant le© droites a t / 3 , (,m 3 , m 2 n 2 ; puis, on élèvera des ordodnées a a a 3 , J,f lf m i m 3 ,. .égaies aux distances des points A^ /, m, *,... à la ligne de terreau, et l'on pourra ainsi' tracer la courbe a 3 ' s m 3 *,,«.. qui représente la transformée de • l'arêtier projeté sur A/rnn. ... Par là aussi on connaîtra en vraie grandeur les pM- 1 neaux dedouelle, tels que m, m^n 3 n 2 .

Quant aux joints, par exemple celui qui est rabattu suivant » a » 3 N 3 P/p 3 p, , *n te construira en prenant les

N »,N, = n'N', i, t P a =,»'P', Kp=n'p' t

et en élevant les ordonnées N 2 N 3 , P, P 3 , p,p 3 > égales aux distances des peints 'N, P, p, à la ligne de (erre eftf. On pourrait construire «emblablement les' panneaux des douelles et des joints qui se rapportent au grand berceau; 'mais cela eét inutile pour l'opération suivante.

742. (Fig. 6.) Taille des voussotrs. Considérons, par exemple, te voussotr qui a pour face de tête 'tnVp^' sur là' fig. i. Après avoir équurri ira prisme- droit (n*63s$) dont la baae soit égale à lu projection horizontale ymNRS... de ce vouesoir, cm uppdiquera sur le» faces anténeofe et latérale de ee prisme (fig. *») les

deux panneaux de tête m'n'p'q', M "NT" Q", levés sur \esfig. i et 2 (ici nous supposons que le voussoir est renversé sens dessus dessous, pour laisser voir les deux douelles); puis, comme au n° 730, on exécutera la douelle cylindrique ri trimn et les deux joints du petit berceau , et sur ces faces on appliquera les panneaux correspondants de la fig. 5, afin de déterminer les limites mn 9 mM, Qq,.... Gela fait, on taillera la douelle et les joints du grand berceau, dont les contours seront alors tous connus ; et quant aux extrados , on les exécuterait aisément avec des cerces concaves : mais presque toujours on se contente de les dégrossir à la simple vue.

743. Remarques. i°. Puisque la forme des extrados est assez indifférente, on peut simplifier les joints en les terminant deux à deux au môme plan horizontal Q"Q', P"P'; alors les courbes Pp, Q<jr, disparaissent de la fig. 3, et chaque joint a une projection telle que enNPg. Dans ce cas, le joint visible sur la fig. 6 se réduit aussi à m'mMQQ'.

?*• Dans le mode d'appareil indiqué au n° 738 , les joints du petit berceau deviennent apparents sur l'intrados du grand berceau , en coupant ce dernier suivant des arcs d'ellipse m M, «N,... qui rompent l'uniformité des divisions par assises et altèrent la symétrie de la décoration architecturale. Pour éviter ce défaut, oh pourrait placer les divisions du grand berceau aux points /", m", n", situés respectivement à la même hauteur que /', m', ri; alors les arêtes de douelle viendraient se rencontrer deux à deux sur l'arêtier gauche A/mnB, comme dans la voûte d'arêtes de la PI. 45 , et les joints ne seraient plus du tout apparents sur l'intrados. Il est vrai que dans ce système les largeurs A"7", {"m", m N nl\ des douelles du grand berceau iraient en jtiminuanl jusqu'au point n", à partir duquel on ferait les douelles suivantes égales toutes à la dernière m" ri' : mais ce défaut serait peu sensible à l'oeil, si les deux berceaux avaient presque ta même montée; et, dans le cas contraire, on placerait la naissance du petit berceau à une hauteur telle, que le sommet %' fût au-dessous de Z" seulement de 1 5 ou 20 centimètres. C'est ce dernier moyen que Ton emploie souvent, par exemple dans une nef d'église que l'on veut éclairer par des fenêtres latérales pratiquées dans le haut de la voûte ; alors l'arêtier A/mnB {fig. 3) se trouve composé : i* d'une ligue à double courbure, qui est l'intersection de deux cylindres; a* de deux arcs de cercle suivant lesquels les pieds-droits a! El et b' B de la fenêtre coupent le grand berceau k f, Z"; et ces trois arcs se raccordent parfaitement entre eux.

3°. Dans l'épure 48, le plan de tête albf a été supposé vertical et parallèle à la direction AB du grand berceau ; si ce plan était oblique et même en talus, il faudrait, en partant toujours de la section droite a! %'V du petit berceau, chercher le cintre de face; comme nous l'avons fait dans le problème de la PL 36, qui a beaucoup de rapport avec l'épure actuelle. Au reste, cette obliquité du plan de tête ne

CHAP1TM Y. — PiNfoUTIONS DE VOUTES. 289

changerait rien à la rencontre des deux berceaux ; mais nous allons étudier le cas où ceux-ci viennent se couper obliquement.

Lunette biaise dans un Berceau.

744. (PL 49.) H peut se trouver des circonstances où, pour faire communiquer ensemble des constructions déjà existantes, ou bien par quelque autre motif impérieux, il faille donner au petit berceau une direction o'O qui ne soit pas perpendiculaire sur Taxe 00, du grand. Soient alors a'z'b 1 le cintre de face du premier berceau, et A"Z" la section orthogonale du second, laquelle doit être censée ramenée dans le plan vertical A 2 O t perpendiculaire à l'axe 00, . On tracera l'appareil des deux berceaux sur le plan vertical (fi g. i et 2) comme nous l'avons expliqué au n° 738; et pour obtenir sur le plan horizontal l'intersection AlmnB des deux^ intrados, on mènera encore divers plans sécants horizontaux, /'/", m' m", n'ti", dont chacun coupera les deux cylindres suivant des droites qui, par leur rencontre sur le plan horizontal, détermineront les points /, m, n. On agira de même pour les joints; et comme tout cela est parfaitement semblable, quant aux procédés et aux résultats, avec ce que nous avons dit aux n M 739 et 740, nous n'insisterons pas sur ces détails; mais nous allons expliquer le moyen d'obtenir la section orthogonale du petit berceau, qui n'est plus ici une donnée immédiate de la question , comme elle l'était dans 1a PI. 48.

745. Section droite. On a vu en Géométrie descriptive que , pour développer un cylindre, il fallait rectifier la section orthogonale, et non pas une section oblique telle qu'ici a'I'm'b'. Ainsi, par un point quelconque, nous conduirons un plan vertical a$(fig. 4) perpendiculaire à la génératrice Aaa', et nous chercherons la vraie grandeur de la section qu'il tracera dans le cylindre a'I'm'b'. A cet effet, rabattons ce plan sécant autour de sa trace horizontale aS ; puis observons que le point où il coupait la génératrice projetée sur tn avait pour projection horizontale v , et que ce point ira se rabattre en y', à une distance W égale à l'ordonnée tn' de la base du cylindre ; si donc on porte semblablemenl les autres ordonnées de cette base sur pp', XX',..., on pourra tracer la courbe «X'f/v'6 qui sera la section droite que l'on cherchait. De même, le joint qui passe par n'p' (fig. 1) sera coupé par le plan vertical aS suivant une droite y V dont le premier point v' est déjà connu, et dont le dernier s'obtiendra encore en prenant la distance mt égale à la hauteur up' sur \afig. 1 : d'ailleurs, cette droite vV doit évidemment concourir au centre w. Des opérations semblables exécutées pour les autres joints et pour l'extrados, permettront d'achever l&fig. 4 qui représente, en rabattement, la section faite par le plan vertical «6 dans toute l'épaisseur du berceau oblique.

746. Remarque. Ici la courbe aX'fx'6' est une demi-ellipse surhaussée; mais on pourrait vouloir que cette section droite fût circulaire, ce qui produirait un ber-

2 # édit. 37

ceau en plein cintre et aurait l'avantage de rendre les joints exactement normaux à la douelle. Pour cela, il faudrait commencer par tracer le demi-cercle «)/;/€, y marquer les divisions égales aV, A'f/,.--> ainsi que les joints normaux vV,...; et puis , par des opérations précisément inverses de celles qui nous ont servi au numéro précédent, on en déduirait le cintre de face a'V m' b* qui serait elliptique, et les traces n'p' 9 m'q f } ... des plans de joint, etc.

747. (Fig. 5.) Panneaux de développement On rectifiera la section orthogonale «X'/fV6 suivant la droite « 2 ï,^ v 2 S l9 et par les points de division on élèvera les ordonnées

a,A,=«À f \l 3 z=zU 9 p^m 3 =fAm^ u,ft 3 =y»„..,, Ê,B 8 =6B f

au moyen desquelles on pourra tracer la courbe À 3 / 3 m3Îi,B 3 qui représente la transformée de l'intersection des deux cylindres , après qu'on a développé le pins petit ; et par là même on obtiendra la vraie grandeur de la douelle de chaque voussoir.

Quant aux panneaux de joint, il faut bien observer que leur véritable largeur devra être mesurée sur la fig.. 4? et non sur le cintre de face (Jig. i) , attendu qtre le plan de ce dernier n'est point perpendiculaire aux génératrices du berceau. Ainsi, après avoir pris sur la fig. 5 les abscisses

on élèvera les ordonnées N a N 3 , P a P 3 , 7r it t> 3 , respectivement égales aux distances de la droite o£ aux différents points N, P, p ; et le contour v 2 w 3 N 3 P 3 p 3 *, représentera la forme exacte du joint qui passe par l'arête de douelle vn {fig. 3). Les autres panneaux de joint marqués sur la fig. St se construiront d'une manière semblable.

748. (M. 49 y fig* 6.) Taille des voussoir s. Si Ton observe que Jes voussoirs de la lunette proprement dits ne se prolongent pas jusqu'au cintre de face (fig. i), mais qu'ils sont terminés à des plans verticaux perpendiculaires aux génératrices dn petit berceau 9 tels que eg 9 on sentira bien qu'il faut employer pour les têtes de ces voussoirs des panneaux levés sur la fig. 4- Ainsi, pour la troisième assise, par exemple, a^rès avoir équarri un prisme droit (fig. 6) dont la base soit égale à la projection horizontale gen NRS.. . du voussoir en question , et dont la hauteur égale la différence de niveau des points y! et tf de la fig. 4 , on appliquera sur les ftces antérieure et latérale de ce prisme les deux panneaux de tête p! vV x et M*"N* , f Mf Q" levés aor les figu 4 et 2 (nous supposons encore ici que le voussoir est renversé sens dessus dessous, afin de laisser voir les deux douelles); puis, comme au if 730, on exécutera la douelle cylindrique pYnvi et les deux joints du petit berceau , et snr cea faces on appliquera les panneaux correspondants de la fig. £, afin de déterminer les limites mu, m M, MQ, Qq r ... Cela fait, on taillera la douelle et les joints du pand berceau , dont les contours seront alors entièrement connus ; et