CHAPITRE V. — PBNÉTEATI0N8 DU TOUTES

773. Quant au joint du pendentif le long du cercle (P'Q', PQ) , nous avons supposé ici que l'on garderait encore le plan horizontal aQ'P'; mais si Ton trouvait que ce plan est trop oblique, il faudrait (sans construire les diverses normales de l'intrados le long de ce cercle, ce qui exigerait des opérations très-laborieuses indiquées au n° 716) adopter pour joint le cône qui aurait pour directrice le cercle (PQ, P'Q') et pour sommet le point (a>, &/) déterminé par la normale &>' y' X' menée à Tare vertical (a 3', *S). Dans cette hypothèse, il faudra aussi augmenter un peu la hauteur [1,2] de la seconde assise (fig. 6), afin que le joint conique ait une largeur / V suffisante ; ou bien , il faudrait abaisser le point y', et oonséquemmeat le plan horizontal (P'Q 7 , PQ) , fin peu au-dessous du plan horizontal 2. En outre, il y aura à tracer l'intersection de ce joint conique avec le joini, plan 00' M' P' du berceau ; mais nous nous sommes abstenu d'exécuter ici tous ces détails relatifs à des lignes invisibles, parce qu'ils auraient jeté de la confusion sur notre épure tracée d'après une échelle très-réduite , et que d'ailleurs ils sont entièrement analogues à ceux que nous avons déjà expliqués plusieurs fois, notamment dans la

Pi. 52.

774. Les joints d'assises seront formés par des plans conduits suivant la verticale , et distribués comme on le voit dans les fig. 4 et 5. La taillé des voussoirs s'exécutera comme au n°766, après avoir construit' les panneaux de joint analogues à ceux de la PL 5a , fig. 6 ; seulement , comme la doueile du pendentif n'admet pas une génératrice de forme amiante (n° 771) , il faudra se procurer au moins trois cerces découpées suivant les circonférences PQ , LK et une section intermédiaire; puis, les appliquer sur les directrices circulaires LM,KR, en maintenant ces cerces dans une situation horizontale. Au-dessus de l'assise 3 , les voussoirs ne feront plus partie que de la tour ronde, et se tailleront sans difficulté comme pour un mur cylindrique.

Voûte d'arêtes en tour ronde.

775. (P/. 54 , fig- #.) La voûte principale est ici un berceau, tournant qui a pour pieds-droits deux murs cylindriques dont les traces , sur le plan de naissance , sont les quatre eercles concentriques décrits avec les rayons a>D, «A, «B, &>tf ; l'intrados est un tore ou surface annulaire engendrée par le demi-cercle À'F'E'B' (fig. 4) , lequel étant relevé dans le plan vertical A'B'u, tourne par un mouvement de révolution autour de la verticale w qui est l'axe de la Ufwr ronde. Nous commencerons par tracer l'appareil de oette voète comme si elle existait seule ; ainsi, après avoir divisé la méridienne A'F'E'B en un nombre impair do parties égales , nous tirerons les normales F'G', E'H',... que nous terminerons à leur rencontre avec les planshorizontaux iG', 2 H',..., qui divisent le mur en assises. Ordinairement, les hauteurs de ces diverses assises sont tontes égales ; mais comme alors. le

S0& LIVRE IV. — C0CPB DBS PIBRRES.

premier joint F' G 'se serait trouvé trop étroit pour qu'on eût pu lire les détails importants, sous le rapport géométrique, que nous aurons à expliquer, nous nous sommes affranchi de cette condition d'égalité. Ensuite, les joints de la clef, tels que E'H', vont ici couper l'extrados sous un angle assez aigu ; mais cet inconvénient disparaîtra dans la pratique, attendu qu'il y aura toujours bien plus de cinq voussoirs , ce qui rapprochera beaucoup le dernier joint de la direction verticale ; d'ailleurs il ne faut jamais admettre pour la clef des joints brisés ou des crossettes (n°6ii). Quant aux autres voussoirs, on pourra aussi, malgré les inconvénients signalés dans ce même numéro , adopter des voussoirs en état de charge, et disposer enfin l'appareil comme on le voit ici dans lajfy. 2; mais toutes ces modifications n'apportant aucune difficulté dans le problème de stéréotomie, et n'ayant d'autre effet que d'allonger l'énumération des faces de chaque voussoir, nous préférons , pour plus de clarté, de nous en tenir au mode d'appareil de lajfy. 4* Dès lors on voit que , pendant la révolution de ce méridien autour de la verticale w , les points F', E',.*» décriront des cercles- horizontaux FM..., EN..., qui seront les arêtes de douelle du berceau tournant; tandis que les rayons F'G', E'H 7 ,..., qui vont évidemment rencontrer l'axe vertical &> en des points invariables, décriront des zones coniques qui seront les joints de lit exactement normaux à l'intrados. Il ne resterait plus, pour compléter le tracé de cette voûte isolée, qu'à partager chaque cours de voussoirs en voussoirs partiels, au moyen de plans méridiens tels que ye,..., avec le soin de faire alterner ces joints montants d'une assise à l'autre, comme dans la fig. 6 de la PL fa.

776. (Fig. 3.) Mais, maintenant, il s'agit de pratiquer, dans ce berceau tournant , une ou plusieurs portes dont chacune soit comprise entre deux plans verticaux Ce et Dd, qui convergent vers l'axe o> de la tour; on veut d'ailleurs que la voûte qui recouvrira cette porte ait le même plan de naissance et la même montée que le berceau. Dès lors il devient nécessaire que l'intrados de cette porte soit formé avec une surface conoïdé engendrée par une droite qui , demeurant toujours horizontale , glissera sur la verticale c*> et sur une seconde directrice courbe que nous allons définir. Rectifions l'arc CO" D suivant la taugente C"0"D".qui le touche eu son milieu; puis, après avoir décrit sur C"D", comme grand axe, une ellipse C"Z"D" dont le demi-axe vertical 0"Z" soit égal au rayon O'Z' du berceau tournant , imaginons que le plan vertical de cette ellipse soit roulé sur le cylindre extérieur qui a pour base le cercle CO"D , de manière que les abscisses coïncident avec les arcs de cette circonférence, et les ordonnées avec les arêtes du cylindre : par là, cette ellipse sera devenue une ligne à double courbure que nous adopterons pour base, ou pour seconde directrice du conoïde, et qui sera en même temps le cintre de face de cette petite voûte (*).

(*) Il sera fort avantageux ici de tracer l'ellipse C"Z"D" par la méthode des deux cercles décrits sur les axes, ainsi qu'on le voit sur notre épure , attendu que par là on trouvera immédiatement les

CHAP1TRR T. — PjfrtéTAATIONS DB VOUTES. 305

777* Pour obtenir l'intersection du conoïde avec la surface annulaire , il suffit de les couper par divers plans horizontaux. Celui qui sera mené par le point F' de la méridienne (/ty. 4)> coupera le tore suivant deux cercles projetés sur FM et F t L, et le conoïde suivant deux droites /a> et/ 2 a>; de sorte que la rencontre de ces quatre lignes fournira les points M et M, , L et L f . Quant à la manière de trouver la génératrice/®, par exemple, il faudra chercher sur l'ellipse C"Z"D" le point/*" qui a la même ordonnée que le point F'; puis, on prendra Tare 0"/ égal à l'abscisse 0"/', et Ton joindra le point/ avec o> : cette marche est évidemment justifiée par la définition que nous avons donnée au numéro précédent du cintre gauche qui forme la base du conoïde, En répétant des opérations semblables , on obtiendra les courbes

AMN0K 1 L J B t et BLKON^A,

pour les projections horizontales des lignes gauches suivant lesquelles se coupent le tore et le conoïde; et Ton a vu (G. £., n° 643) que ces projections sont des spirales (fArchimède. Mais il faut bien observer que les deux surfaces d'intrados doivent être interrompues à leur rencontre mutuelle , afin de laisser un libre passage sous les deux voûtes; c'est-à-dire que dans le conoïde on supprime toutes les portions de génératrices intérieures , telles que

AB, ML, NK, N,K,, M,L,, A,B,,

et dans le tore tous les arcs intérieurs

AA,,MM a ,NN 2 ,KK,,LL,,BB,.

11 en résulte que les deux espaces angulaires AOB , A,0B, , sont recouverts par le tore , et les espaces AOA 2 , BOB, , par le conoïde ; ce qui rend très-saillantes sur l'intrados les deux courbes d'arête ou les arêtiers projetés suivant AOA, et BOB,. Ajoutons enfin qu'ici la projection horizontale est ceusée vue par-dessus , ce qui expliquera les diverses ponctuations que nous avons employées. < 778. (Fig. 3 et 6.) Des joints normaux. Dans le berceau tournant , et le long de l'arête de douelle FM , le joint de lit est formé , comme nous l'avons dit au n° 775 , par une zone conique projetée entre les cercles FM et GX. Dans le conoïde , et le long de l'aréie de douelle /M w , le joint devra être le lieu des normales menées à cette surface par tous les points de la droite/M &> ; or, pour obtenir ces normales , il faut d'abord construire les plana tangents , en recourant à un paraboloïde de raccordement , d'après la méthode exposée au n* 580 de la Géométrie descriptive.

points e", f'\„, qui sont à la môme hauteur que E', F ',..., et dont nous allons avoir besoin tout à l'heure. En outre, il en résultera un moyen très-facile d'avoir les tangentes de l'ellipse en ces points-là, lesquelles nous seront aussi nécessaires. Quant à l'équation de ce conoïde , on la trouvera dans notre Analyse appliquée, n* 309.

*édit m v 39

305 LIVRE IV. — CCDPB DES PIBKKES.

A cet effet , je choisis un plan vertical de projection (/</. 6) qni soit perpendiculaire à la génératrice /Mû>, et sur lequel cette droite se trouvera "projetée en un seul point W situé à une hauteur ti'W=f'f' = T¥ f ; puis, après avoir tracé la tangente /"T y/ à Pellipse plane , je rapporte la sous : tangente/'T* suivant la droite /T tangente à la base du cylindre extérieur, et en projetait le point T en T' sur \afg. 6, la droite (f r î,W ï î') sera bien tangente à la courbe gauche qui Forme la base du conoïde. Cela pose , si Ton fait glisser -sur (/T, BIT') et sur la verticale &> la génératrice (fM<ù,W) toujours horizontale, elle engendrera on paraboloïde qui aura les mêmes plans tangents que le conoïde tout le'long de '(/Mw, TW') ; et la droite Teo tracée dans le plan de naissance sera évidemment une seconde position de la génératrice de ce paraboloïde. Or, en coupant cette dernière sufTace par divers plans verticaux MP,- LQ , . . . perpendiculaires £ /M &> et conséquemment parallèles auK<deQX' directrice*, on «ait (G.D*,>n e 554> qne.de >paFeille&st«lio«6 devront être ftttilitfm*; dMc,*«i je projette îles poiits €VQ,...«ir ta jty. 6 <« .P 7 , #,•.*, ta plane MMM, M'*'*, M'Xy Q,-.. seront ibiukitmgmm au i paraboloïde , nUpar suitaau conoïde, daas;les points/, M, iL v ...

Maintenant,, îles notmates dn conoïde -pour lasrtnétnte pointe? sont bien faciles < h obtenir, et ce sont les droites (M'R',i/ft), (M'SVMS), (M'>VVLV>),... dont rein semble composera le joint de la voûte conoïde; ce joint est encore un paraboloïde hyperbolique (G. D., n° 595), et même ici on doit apercevoir qu'il coïnciderait entièrement avec le paraboloïde de raccordement, «i l'on fa witf faire* œ damier un quart de révolution autour de l'horizontale (wM/, M'). Ensuite , comme il faut terminer le joint du conoïde à la même hauteur que le joint conique du berceau tournant, on* tfewa«prendi^sor ta jfy.'ô ta vertige U' G" égare à 6G' delajffy. 4, pu» mener le plan horizontal G"iR' qni coupera îles tfiv«rseB , norffl«le8 / en'tie8*pohite (RVR), (SV&), ■(V , 9 -¥) 9 ... :fMrdm|mte on fera pawer la«TO«Tbe*RSV,...qiii sera ta limite du joint de la voàte conoïcte. Il ettutile, povr mieux tracer cette^mnybe, de savoir que c'est «ne' hyperbole 'équflatère qni npatrr asymptote la (Imite «H/ et'la parpendicolahfe-é*ev«ée p»r le'poim w (^Tpar «oMéqMnt^le^omm^t de>catte

(*) En effet, les triangles semblables que renferme la (ig. 6 conduiront aisément à trouver que le produit de étaque wasMangentc par la ■sotre-'nonndle torrespoBdante est ctfnsfffût , xVêt-&4îtiT5

U'rxG"» , = U'P , xfi' , S', ou bien, snrta'flp. 5,

or on peut sutetimer-ici aux lignea fl etlfPJesilialaiice&/w*tM««>4ui leur sud t. proportionnel les,

ce qui donnera

/W-x /ft*= M<^x MB, wbtofc î3Fjr«=w*^,

en psaaaot pour axe des a: la droite w/", atpouisaxe des y une perpendiculaire élevée par le^point *>. Ainsi Téquaiion de la courbe RSV sera de la forme xy = k\ ofrit désigna wnfl constante gui représente la grandeur commune des deux coordonnées asymptotiques du sommet.

GHAPUA& V..— Efoft&ATIONS. DA VOUTES. ftQ?

hygerhole se trouvera directement, eu cherchant une moyenne proportionnelle attira les deux coordonnées asymptoiiques d'un des poinls de la courbe, ainsi qu'on Ir voitindiqné dans notre épure.

779. Enfin , l'hyperbole RSV étant rencontrée au pont X par le cercle GX qui termine le joint conique du berceau tournant , ce point appartiendra à Tintersection.M^cX des deux. joints.;, et pour obtenir quelque autre point de cette courbe, on mènera un plan sécant horizontal par le milieu y de F' G', lequel plan coupera le joint conique suivant le cercle gx : puis, en prenant sur \afig. 6.1a hauteur W g" = gg\ l'horizontale g" r' coupera le* diverses normales en des points qui, projetés sur le plan horizontal , fourniront l'hyperbole r'x dont la rencontre avec gx fera, connaître le point cherché x. Cette nouvelle hyperbole sera semblable à la première, et elle aura les mômes asymptotes.

780.. (Fig. 3 et 7.) Quant au joint supérieur du voussoir E' F' G' l' H' qpi nous occupe spécialement , il sera formé 9# dans la voûte annulaire , par la zone conique NEHY que décrit la normale EH' dans sa révolution autour de 1* verticale g*;, et dans le conoïde , ce joint devra être le lieu des normales menées à cette surface par tous les points de la génératrice «Ne.. Pour trouver ces normales , j'adopte un plan vertical de projection (fig. 7) qui soit perpendiculaire à «Ne et sur lequel cette droite se projettera en un point unique N' situé à une hauteur W N' = ë e" =^EE'. Ensuite je mène la tangente e" t" de l'ellipse plane, laquelle viendra se projeter suivant eQ quand cette courbe aura été enroulée sur le cylindre de la tour ; mais pour déterminer la projection verticale de cette tangente , et attendu que sa tcace horizontale serait à une distance incommode , nous emploierons le point de cette droite qui est projeté en 0, ou situé dans le plan vertical 00 0". Or il faut se garder de croire que ce point inconnu soit celui qui est désigné par t" dans la fig. 5; car, à cause de la déformation que subit l'ellipse plane quand elle s'enroule sur le cyKndne GO" D, il faudra porter la longueur e de e ! en (, puis élever la verticale XX>" qui fournira le véritable point demandé t". Ainsi ,en portant sur la verticale menée da point 0,une hauteur u[B' — &", la droite (e0,.N' 6') sera la tangente du cintre à double courbure.

Cela posé * si nous faisons glisser la génératrice ^Ne , toujours horizontale , sur cette tangente (e0 9 N' 0') et sur la verticale o> , elle engendrera un paraboloïde de raccordement ; et quand elle sera parvenue au point (0 , 0') , cette génératrice se trouvera projetée horizon talemçpt sur 00" 0, et verticalement sur la droite 0' &>' menée par le point 0' parallèlement à la ligne.de terre. Donc, en coupant ce parabolo'j de. per divers plans verticaux, e 0, np,lq p *.+ perpendiculaires à «Ne et cônsé- (guçmmeni parallèles aux deux directrices, les sections qui devront être reciilignes (jS. D», n° 551) seront projetées sur les droites N'O'^N'p', N' qr 7 ,.... Or on doit apercevoir que ces. mêmes droites seront à la fois les traces et les projections verticales des plana tangente an paraboloïde , et conséquemmqat aussi au conoïde , pour les

points e, n ,/,... ; donc les normales relatives aux mêmes points seront tes- lignes (N ; p', e p) , (N' s\ n*), (N' v\ Iv) , dont l'ensemble composera encore on paraboloïde hyperbolique (G. D. , n° 595) , qui formera le joint de la voûte conoïde le long de l'arête de douelle uN^.

781. Il reste à limiter ce joint gauche au même plan horizontal HT (fig. 4) qui termine le joint conique du berceau tournant Pour cela, on prendra sur la fig. 7 la hauteur WH" égale à HH' de \afig. 4 ; et après avoir mené par le point H" une horizontale qui coupera les normales aux points p', s\ t/, il faudra projeter ces derniers sur la fig. 3 , ce qui fournira l'hyperbole équilatère p sv dont l'asymptote est la droite*» Ni.

Cette hyperbole psv va rencontrer le cercle HY en un point Y qui appartient! la courbe d'intersection NY du joint gauche avec le joint conique ; et pour obtenir quelque autre point de cette courbe , il suffirait de couper les deux joints par un même plan horizontal , ainsi que nous l'avons expliqué et exécuté pour la courbe M*X,aun*779.

782. (Fig. 3 et 8.) Panneaux de développement. Comme il faut former avec une seule et même pierre , dans chaque assise , les portions des deux voûtes qui sont conliguës à la courbe d'arête AMNOB, , sans employer toutefois des matériaux d'un trop grand volume , le voussoir d'arêtier qui nous a occupé spécialement jusqu'ici , devra être limité d'un côté par un certain plan méridien ye , et de l'autre par un cylindre vertical aG concentrique avec la tour ; car ces deux faces de tête seront bien respectivement normales aux deux do u elles : de sorte que la projection totale de ce voussoir sera «SXyeNa. Mais, pour le tailler, on suppose d'abord que le cylindre «6 se prolonge jusqu'à sa rencontre d avec le plan méridien f et l'on exécute les premières opérations comme s'il s'agissait d'un corps prismatique ayant pour base le quadrilatère ait N ; ce qui n'offre aucune difficulté.

Lorsque le solide a reçu cette forme, il faut trouver les intersections des deux faces cylindriques ad et N e avec la douelle gauche et les joints du conoïde. Potir cela , on développe ces deux cylindres , en prenant sur la fig. 8 les abscisses «'<|/, «V, a fi f ft'6', «'y, égales aux arcs de dénominations semblables sur la fig. 3 ; puis , on élève des ordonnées dont la grandeur est facile à déduire de ce qui précède. D'abord les points a" et j/ doivent évidemment être placés à la même hauteur que e n et/* sur l'ellipse de la fig. 5. Pour le point intermédiaire*", on a prolongé la génératrice iiw du conoïde tracée à volonté (et on en pourra tirer plusieurs autres), jusqu'au point /, où elle rencontre le cylindre extérieur delà tour; puis en rectifiant l'arc 0" /, suivant l'abscisse 0" i', et élevant l'ordonnée V l" de Tellipse plane , on a trouvé la hauteur du point X*. La courbe * tt \" p." ainsi obtenue pour la transformée de l'intersection du conoïde avec le cylindre vertical aS, doit être une ellipse dont l'axe vertical égale celui de CP V D", ainsi que iîDus l'avons dit dans V Analyse appliquée, n # 309, et comme on peut le conclure ici de ce que les arts