CHAPITRE VII. — DBS TROMPES. 82S

des génératrices sont coupées par la trace y% aux points m" et n"; si donc on projette ces points en m et» sur SD et SE, on obtiendra la projection anmb de la courbe de tète du trompillon, et c'est à cette ligne que se termineront les douelles des voussoirs.

812. Quant aux voussoirs eux-mêmes, ils devront être terminés, non par le plan zyab, mais par une surface exactement normale à la douelle conique qui se prolonge dans l'intérieur du trompillon jusqu'au sommet S. On cherchera donc la normale au point m, en rabattant la génératrice Sm sur SB; dans ce mouvement, le point m se transportera en tri" sur une perpendiculaire à Taxe SO ; et si alors on lire la droite m'" L perpendiculaire à SB, ce sera le rabattement de la normale, laquelle deviendra en projection Lm. Par un procédé semblable on construira les autres normales En,... et l'ensemble de ces lignes produira une surface gauche qui sera le joint par lequel les voussoirs s'appuieront sur le trompillon.

813. Achevons ce qui regarde le trompillon, en prenant pour solide capable un parallélipipède terminé aux deux plans verticaux ab etVP (sans fixer encore la position des faces latérales) , et cherchons l'intersection RNM de sa base supérieure avec la surface gauche des normales. Gomme sur le plan vertical du cercle AC, toutes les normales du cône se projetteront évidemment suivant des rayons de ce cercle, il est avantageux de choisir ce plan vertical pour y projeter aussi le parallélipipède, dont la face supérieure sera représentée par une horizontale R'M'. ï)ès lors, cette droite R'M' coupant les divers rayons aux points M', N', R', il suffira de ramener ces points en M, N, R, sur les projections des normales Lm, Kn,... pour obtenir la courbe demandée MNR. Dans le cas où la projection de quelqu'un de ces points, N' par exemple, se ferait par des lignes trop obliques, il n'y aurait qu'à rabattre le point N' autour de OS, ainsi que la normale Kn.

Ensuite, pour éviter les angles rentrants dans les parties des voussoirs qui s'appuient sur le trompillon, il faut faire en sorte que les deux arêtes latérales du parallélipipède se trouvent chacune dans un plan de joint, et conséquemment adopter pour ces lignes les droites MP et RV menées parallèlement à Taxe SO par les points (M, M') et (R, R 7 ). Dès lors la forme du parallélipipède droit sera complètement fixée, puisqu'il aura pour base un parallélogramme connu, et pour hauteur R,R'; ainsi il ne restera plus qu'à trouver les intersections de ses faces latérales MP et RV avec la surface du trompillon. Or les normales a* et rR vont rencontrer le plan vertical VR aux points a et R, dont le dernier se rabat en R a ; puis, en construisant une ou plusieurs normales intermédiaires, on trouvera de même leurs intersections avec la face VR, et Ton obtiendra ainsi le panneau latéral du trompillon, rabattu suivant «R a V 2 V. Un procédé semblable fera connaître le panneau de la face verticale PM, qui est ici rabattu suivant P6M 2 P a ; et enfin, pour tailler le trompillon, il n'y aura plus qu'à trouver la vraie grandeur de la courbe de tête projetée sur arnmb, laquelle s'obtiendra par le rabattement du plan zyab autour de ab 9 de la même manière que nous avons trouvé (P 9 807 ) la courbe AE'iyB.

&24 L1YJLB IV. — COUPE DES PIBB&BS.

Gela posé, après avoir taillé le paralléllpipède défini ci-dessus, eu le tronquant par un plan incliné sous l'angle zyX, ce qui est bien facile, on tracera sur celte dernière face la courbe arnmb (fig. 4); puis, sur la lace supérieure on appliquera le panneau V 2 RNMP, , et sur les faces latérales les panneaux V* RY, et P€MP 2 . Alors, on pourra exécuter la surface gauche au moyen d'une règle que l'on promènera sur le contour a a RM S 6, avec le soin de la faire passer par les pointe de repère correspondants R et r, Net w, M et m,..., lesquels sont fournis par tes panneaux de la/jr. i. Ensuite, sur la face inférieure on placera le triangle aS 6 donné encore par la^gr. i, et Ton creusera la pierre pour tailler la douelle conique, au moyen d'une règle qui, passant toujours par le point S, glissera constamment sur la courbe arnmb. En terminant, nous ferons observer que, sur la/fy. i , les lignes relatives au trompillon sont ponctuées dans l'hypothèse que ce corps est isolé, et non encore recouvert par les voussoirs qui le rendraient totalement invisible.

814. (PL 58,Jîj. i.) Panneaux de joint. Revenons aux voussoirs; et comme ils s'appuient sur la surface gauche du trompillon et sur la face horizontale supérieure, les joints seront terminés par des portions de normales et par des droites parallèles à l'axe SO. Ainsi, pour le voussoir dont la .tête est DE F G H 7 , les contours-des deux joints seront en projection,

FEiîNQ/F et HDmMPftH;

mais afin de les obtenir dans leurs vraies dimensions, il faut les rabattre sur le plan horizontal, autour de SO, en remarquant : i° que chaque point va décrire un are de cercle projeté sur une perpendiculaire à la charnière SO; 2° que les pieds K et L des normales resteront immobiles; 3° que les droites IEF et IDH passeront toujours par le point I, et auront pour longueurs véritables les lignes l'E'F' et I'D'R' sur lajty. 3. D'après cela, on trouvera aisément que les panneaux de joint sont :

F*E*n"N"(y7"F" et H'*DW'M'''P' / 'ft'''H"\

815. Douelles plates. Quant aux douelles coniques des voussoirs, on n'en cherche pas le développement, parce qu'ici où la forme des voussoirs s'écarte beaucoup de la forme prismatique, il y aurait une grande perte de matériaux en' employant la méthode de dérobement; on aura donc recours à la méthode par biveaux, laquelle exige que Ton commence par tailler des douelles plates. On entend par là les faces triangulaires de la pyramide qui serait Inscrite au cône et qui aurait pour base le polygone formé par les cordes des arcs RD', D'E',...; de soFte que l'on commence par tailler le voussoir comme s'il devait se terminer sur l'intrados par un de ces triangles. Nous allons donc développer ces douelles plate&; et quoiqu'on pût aisément trouver les longueurs des trois côtés de chacune d'elles, et construire ainsi les triangles cherchés, il sera plus exact de se servir des cordes correspondantes dans le demi-cercle AG qui est une donnée immédiate de la question. ;

«GBOHIfiB TOI. — HBS xntiins. 385

♦On décrira donc (£g. 5), avec <un rayon SC égal à la Ngne de même nom «or la jSp» i , on .arc de cercle indéfini sur lequel on portera les cordes G d\ d V, .. . , tracées aar lajSgr. a; et en joignant ces nouveaux points de division avec le centres, on obtiendra les directions des arêtes de douelle. Ensuite, il faudra porter sur -ces lignée indéfinies des longueurs SB, SB", SE'",.-., égales aux Kgnes de mêmes noms dans les panneaux de joint que nous avons déjà construits sur la fig. i, et réunir le» extrémités par des droites RD"', D^E'",.--* qui devront se trouver égales ara* cordes BD\ D'E',.»- delajîy. 3. Enfin, on devra retrancher de ;ces arêtes de la pyramide développée, les longueurs S6 ? SW", Sn'\... prises encore sur les joints rabattus (fig. i\ parce que les arêtes de douelle des voussoîrs se terminent à ta courbe arnnb du Irompilloa.

814». Mais, puisque le corps du vonssoir est limité au joint gauche du troropitlon, il devient nécessaire, pour compléter la douelle plate, de «construire l'intersection de son plan avec cette surface gauche. Coupons donc l'on et l'autre par un plan mené suivant Taxe SO du cône et par un point y' prisa volonté -sur la corde 4'*' {fig. i). Ce plan sécant donnera pour section dans la douelle plate la droite Sy, et dans le cône la génératrice S 3 qui rencontre en e la courbe anmb* Si donc on construit la normale eX comme au n° 8i2 t te point <p où elle coupera la droite Sy, sera évidemment commun à la douelle plate et nu joint gauche ; par conséquent ce point appartiendra à la -courbe cherchée nym.

Mais pour rapporter sur le développement de la fig. 5, cette courbe qui n'est ici obtenue qu'en projection, on rabattra la droite Sy suivant Sy" (fig. i) au moyen d'un arc de cercle décrit avec le rayon y'; puis, la normale rabattue Xe" coupera Sy" à une distance S<p" qu'il faudra transporter sur la droite &y' de la fig. 5, pour obtenir un point de la courbe, n 1 " y" ni" qui doit terminer la douelle plate. Observons aussi que, dans la pratique, Tappareilleur n'exécute que les opérations de ce paragraphe, sans tracer le point q ni la projection ntp m de la fig. 1 .

817. Enfin, il sera nécessaire de connaître l'inclinaison de la face de tête F'E'D' sur la douelle plate (fig. 3), Or, .si l'on remarque que ces deux plans forment avec le joint un angle solide dont le sommet est projeté en E, et dont on connaît les trois angles plans, il n'y aura qu'à tracer au pointE'" de la fig. 5, un angle D"E"F' égala l'angle D'E'F' de la fig. 3, et un autre angle SE'"F'" égal à celui du même nom sur le joint rabattu (fig. 1); puis, appliquer ici la méthode générale quia servi dans la Géométrie descriptive (ii° 59) à déterminer l'inclinaison 'de deux faoes dans un pareil angle solide. On sait qu'elle consiste à mener ptfV le point qui est rabattu d'une part en F' et de l'autre en F "V deux plans respectivement perpendi* diculaires aux arêtes &"E W et SE'"; ces plans se coupent suivant la verticale e» qui forme avec p w un triangle rectangle dont l'hypoténuse 'égale pF'; si donc on rabat <*e triangle suivant p«Ç, on obtiendra l'angle obtus itpÇ pour le biveou qui doit servir àtail/erie Vougs oir.

326 livbe iv. — coupe des pierres.

818. (Fig. 6.) Application du trait sur la pierre. Continuons de prendre comme exemple le voussoir qui a pour tête D'E'FG'H'; et après avoir choisi une pierre * capable de le contenir, ce dont il sera facile de juger au moyen des projections faites sûr les fig. i et 2, on dressera la face destinée à devenir la douelle plate, et on y tracera le contour DmçnEyD (fig. 6) au moyen du panneau fourni par la fig. 5. Ensuite, avec un biveau dont l'angle soit égal à np(, et dont une des branches s'appliquera sur la douelle plate, pendant que son plan sera maintenu dans une direction normale à' la corde DyE, on taillera la face de tête, sur laquelle on marquera le contour DEFGH au moyen du panneau levé sur \afig. 3. Alors on pourra dresser le plan du joint supérieur, puisque l'on connaîtra deux droites En, EF 9 situées dans ce plan, et Ton y tracera le contour EnNQ/F d'après le panneau E' // n' / 'N'' / Q'' / /' // F' // de la fig. 1; d'ailleurs, on aurait pu aussi dresser cette face avec an biveau dont l'angle égalerait celui que forment entre eux le joint et la douelle plate, angle qui se déduirait aisément de la fig. 5. On opérera de même pour le joint inférieur qui doit passer par les deux droites connues Dm et DH, et sur lequel on appliquera le panneau D* m* M" F* A" H" fourni par tefig. 1.

Maintenant, il sera bien facile de tailler la face plane PM0NQ, en fouillant dans la pierre jusqu'à ce qu'on puisse y appliquer la cerce M0N donnée par lajfy. 1 ; et, ensuite, on exécutera la face gauche Mmç nN, au moyen d'une simple règle qui devra s'appuyer sur les deux directrices connues M0N et m<p n en passant par les points de repère M et m, S et <p, N et n, fournis encore par là fig. 1. Enfin, sur cette face gauche, on tracera la courbe m en, en portant sur chaque droite <p0 une longueur ope égale à 9V prise sur la fig. 1 ; et il ne restera plus qu'à creuser la douelle plate pour la changer en douelle conique, ce qui s'effectuera au moyen d'une règle que Ton promènera sur les deux directrices connues me», et D3E, avec le soin de la faire passer par les points de repère D et m, à et e, E et n, lesquels correspondent bien à des génératrices de cette surface conique.

Trompe sur le coin.

819. (PL 59 , fig. i.) Deux murs se rencontrent sous un angle ACB qui pourrait être quelconque, mais que nous avons supposé droit afin d'obtenir des formes plus régulières ; et pour agrandir la voie publique, ou par tout autre motif, on veut supprimer la portion angulaire ACB à partir du sol et jusqu'à une certaine hauteur, tout en maintenant la saillie des constructions supérieures ; dès lors il faudra établir sur ces murs une trompe que nous choisirons conique, et dont nous placerons le sommet S à la rencontre de deux plans verticaux AS et BS, menés parallèlement aux parties retranchées BG et AG, que nous supposons égales. Conséquemment, la figure AGBS sera un carré, et pour que notre cône soit de révolution, il suffira de jui donner pour directrice le demi-cercle vertical (AB, k'd'e'ïf).