CQAPITBE VIII. — DES ESCALIERS

tront progressivement de H, et par là l'hélice est bien suffisamment définie, sans qu'il soit besoin d'en tracer une projection verticale. Maintenant, faisons mouvoir une droite toujours horizontale, qui s'appuiera constamment sur l'hélice zabc... en demeurant tangente au cylindre vertical wX«Ç, et nous obtiendrons la surface contiuue sur laquelle sont situées les arêtes de marches projetées déjà suivant À'A, B'B, C'C,.... Il est d'ailleurs facile de reconnaître que cette surface d'extrados sera toujours gauche, même quand la courbe de foulée serait un cercle; et il n'y aura d'exception que pour le cas d'une rampe droite (*).

841. (PL 61.) Quant à l'intrados, c'est une surface identique avec la précédente; mais l'hélice directrice , toujours située sur le cylindre zav, s'est abaissée dans tous ses points d'une certaine quantité constante $ que nous fixerons plus tard (n° 843), et qui dépend de l'épaisseur que l'on veut donner à la voûte* Ainsi, les droites AA', BB', CC'*...* seront encore les projections de diverses génératrices de l'intrados , mais cette surface sera entièrement continue et sans interruption , tandis que l'extrados n'a conservé que quelques génératrices isolées. Pour diviser l'intrados en douelles partielles, et afin que les marches se supportent mutuellement en se recouvrant d'une certaine quantité* nous adopterons pour arêtes de douelles les normales /X, m p, n y,... menées par les milieux des girons dc 9 cb, te,...; ainsi l'une des marches s'étendra en plan depuis BB' jusqu'à LU. Ensuite, pour former le joint et le rendre exactement normal tout le long de l'arête de douelle LL', on devrait construire les normales de la surface gauche relatives aux divers points de cette génératrice , comme nous l'avons fait au n° 778, ce qui conduirait à un paraboloïde hyperbolique (G. D., n° 595); mais ici <jn se contente de prendre pour ce joint le plan conduit par la génératrice LL' et par la normale de la surface au point P, milieu de cette droite.

842. Pour construire cette normale, et d'abord pour trouver le plan tangent de la

(*) On peut voir maintenant d'une manière évidente que la courbe sa» a été nommée avec raison ligne de foulée , parce que c'est la seule direction pour laquelle le mouvement soit complètement régulier. En effet, les courbes abedv et ABCDW, ainsi que toutes les autres lignes équidistantes de la première, sont des développantes qui ont les mêmes normales et une développée commune woÇ; mais leurs rayons de courbure correspondants diffèrent entre eux d'une quantité constante A a que j'appellerai D. Donc , si l'on considère les points a et b comme très-voisins , les arcs a* et AB pourront être censés confondus avec les cercles osculateurs, et l'on aura

AB p— D D * A ^ AmA BC D

— = s- = i • de même» -rr = i — t.

ab p p f oc p

Or, comme on a pris cd=abei que p' est plus petit que p , on voit que BC sera moindre que AB, et qu'ainsi les arcs AB, BC , CD,.., iront en diminuant avec leur rayon de courbure. Dès lors, si l'on veut monter ou descendre l'escalier sur une autre courbe que la ligne de foulée abedv, le mouvement ne sera plus uniforme , puisqu'on devra parcourir des chemins variables en plan , pour des espaces égaux dans le sens vertical ; et ce défaut devient très-sensible lorsqu'on descend rapidement un escalier sur une ligne voisine de la cage,

2* édit. 43

douelle gauche jen P, îî faut former un paraboloïde de raccordement (G. D. 9 n*58f )• Je mène donc au point / de l'hélice directrice une tangente qui sera projetée sur /9, et' qui rencontrera un plan horizontal choisi à volonté (par exemple, à 3 hauteur? démarche au-dessous de la génératrice LU), à une distance 10 égale à 3 girons oit 3 fin; car la sous-tangente d'une hélice est toujours égale à l'abscisse curviligne du point de contact (G. /)., n a 449), et celle-ci doit égaler 3 G, puisque nous avons supposé que l'ordonnée était 3 H. Ensuite, j'observe que la génératrice /LX de la douelle gauche étant tangente au cylindre de la développée dans un point de fa verticale À, si je fais glisser cette génératrice, toujours horizontale, sur la verticale X et sur la tangente /8 de l'hélice, je formerai ainsi un paraboloïde qui aura le même poiut directeur que la douelle, et deux plans tangents communs avec cette surface'gauche. En effet, au point / le plan tangent est évidemment commun : au point projeté sur X, le plan tangent de la douelle gauche passerait par Ta génératrice /X et par la tangente à la courbe que formerait sur le cylindre wXa la suite des points de contact des diverses génératrices; donc ce plan tangent n'est autre que celui qui touche ce cylindre le long de la verticale X; or ce dernier coïncide aussi avec le plan tangent du paraboloïde , lequel passe évidemment par la génératrice 12 et par la directrice verticale X.

Il suit de là, en vertu du théorème démontré G. 2>., n* 576, que le parabolbïde ainsi formé touchera la douelle gauche tout le longdeL'LX, et qu'il suffit dès fors de construire ïe plan tangent de ce paraboloïde en P. A cet effet, j'observe que Phorizontale X8 est une seconde position de la génératrice X / ; donc, si je coupe ces deux droites par le plan vertical PQ perpendiculaire à X/, et conséquemment parallèfô aux deux directrices du paraboloïde, la droite qiri joindra le point Q avee.le point de l'espace projeté en P, sera tout entière sur le paraboïoïde (G. D. , n° 551), et effe déterminera avec la génératrice PX le plan tangent demandé. Si donc je rabats le plan vertical PQautour de sa trace PQ co nsidér ée comme Irgnedeterre, ht g é nératric e FX se troimra projeté* verticalement en un point P' tel que PP' = 3 H r et FQ sera la trace verticale du plan qui est t&ngent au paraboloïde et aussi àr Jla doaeflte gauche : sa trace horizontale serait la droite Qq parallèle à PL. Il suit de là que la «formate de l'intrados an point P est projetée verticalement sur la droite P / G / perpenr diculaire à P'Q, et horizontalement sur PG; donc enfin, le plan âe joint qui doit passer par cette normale et par l'arête de douelle PLX, se trouvera perpendicu Faire au plan vertical PQ, et il aura pour traee sur ce dernier fa droite G'P' elle-même, tandis que sa trace horizontale serait p'p perpendiculaire à la ligne de terre.

8h&. Le joint doit être terminé à la face supérieure de la marche ; si donc, h une hauteur arbitraire P'K', on mène le plan horizontal K' G' pour représenter cette face, il couper a le plan <to joint P / G / suivant une droite parallèle à PL, laquelle sera projette verticalement' a» point 6' et horrâontatenient suivant GR ? dfc sorte que ce joint se trouvera compris entre L'L et R.'R. Observons cependant qne, pour ht