CHAPITRE VIII. — DBS ESCALIERS

mitive des marches sur le plan horizontal , pour ne pas s'exposer à des erreurs ; mais on l'ajoute aux panneaux des deux têtes , afin de ménager sur la pierre la saillie nécessaire pour tailler cette moulure.

2°. (Fig. 4 et 5.) Quelquefois on laisse subsister à la tête de la marche du côté du jour, un collet ou une saillie représentée par 6 B 4 B 3 Â 4 a sur la fig . 4 ; alors l'ensemble de tous ces collets qui s'appuient les uns sur les autres, forme un limon continu qui se trouve compris entre le cylindre de jour UAW et un second cylindre parallèle au premier, dont la distance est de 10 ou 12 centimètres; d'ailleurs, la face supérieure de ce limon est une surface gauche identique avec l'intrados de l'escalier, de sorte que pour tracer la courbe 6ay... sur lajfy. 4 > il suffit de prolonger les verticales B a B |9 A,A 4 ,... d'une quantité constante égale à 5 ou 6 centimètres. Enfin, les joints B 4 6, A <<%,... de ce limon se formeront en menant des plans normaux à la courbe 6*y,..., ce qui sera bien suffisant ici, vu le peu de largeur de ce cordon saillant sur lequel on appliquera la rampe en fer de l'escalier. La fig. 5 indique en perspective la forme que présentera la marche, quand elle sera accompagnée de ce collet saillant , et les moyens d'exécution sont bien faciles à concevoir; toutefois, comme cette disposition exigera des pierres d'un volume beaucoup plus grand et causera un déchet considérable, attendu qu'il faudra exécuter un refouillement dans la pierre , pour ménager la saillie du collet, on préfère ordinairement laisser la marche sans collet, et composer à part un limon indépendant , divisé en plusieurs portions dont chacune offrira une entaille où viendront s'assembler les têtes de 3 ou 4 marches à la fois , ce qui augmentera la résistance dont l'escalier est susceptible. Nous allons donc étudier spécialement la construction d'un pareil limon.

Limon (C escalier en vis à jour.

847. (PL 62.) Soit abcdef... la ligne de foulée, déterminée comme nous l'avons dit au n° 835 , et qui doit être divisée en arcs égaux ; soient a A, 6B, cC ,..• les normales sur lesquelles se projettent les arêtes saillantes des marches, et ABCDE... la courbe de jour qui doit être équi distante de la première. On sait que ces deux lignes auront pour développée commune la courbe xy formée par les intersections de ces normales ; et en prenant sur celles-ci des quantités AA 2 , BB % , CC , , .. . égales toutes à l'épaisseur que l'on veut donner au limon , ce corps se trouvera compris entre les deux cylindres verticaux élevés sur les courbes parallèles ABCDE... et A ,B,C a D ,E f . .. . Quant aux faces supérieure et inférieure de ce limon, ce sont deux surfaces gauches identiques avec celles de l'escalier (n° 840) , mais dont les hélices directrices, toujours tracées sur le cylindre de foulée abcde..., devront être situées l'une un peu plus haut que l'extrados , et l'autre un peu plus bas que l'intrados , afin que le limon dépasse en dessus et en dessous les têtes des marches de quelques centimètres; il s'ensuit que les génératrices de ces faces gauches seront

342 utob rv. — coupe ras jpibrau*

encore projetées sur AA a , BB 3 , CC, ,..•. D'ailleurs, comme on est obligé de diviser le limon total en plusieurs parties, toiles que chacune poisse &re composée d'une seule pierre , il convient de former les faces de joint avec des plans normaux: à ta emtbe moyenne, laquelle est l'intersection du cylindre À 3 B 3 C 3 D 3 ..., âquidistant des deux précédents , avec une surface gauche qui serait à égale distance des faces supérieure et inférieure du limon.

848. Soit donc P la projection horizontale dn point de la courbe moyenne, par lequel on veut faire passer un joint. Après avoir tracé la génératrice p¥x 7 nom choisirons momentanément un plan vertical pt perpendiculaire k cette droite , et elle s'y trouvera projetée en un point unique P 7 (fig. %) que noua placerons à «ne hauteur arbitraire, par exemple a H ; puis, nous prendrons les distances P V t PV, égales à la moitié de la hauteur que Ton veut donner au limon. Cela posé , si Tare pb de la ligne de foulée est les f du giron total be , il faudra prendre la hauteur n'p' égale à f H et mener l'horizontale p ' 6' (*) ; puis, au-dessous et au-dessus de cellelà, on tracera d'autres horizontales aV 3 , y f y\ , d'à', , qui en soient éloignées de H, aH, 3H, et ce seront les projections verticales des généra triées ÀÀ 3 , BB l9 €€,,«•• de la face supérieure du limon ; donc r en y rapportant les points A 9 A,, A,, et B, B 2 , B 3 , où ces génératrices rencontrent les cylindres latéraux et le cylindre moyen , nous obtiendrons les trois courbes

t fit t t\t t fit t t V t et t f %f

a 6 it y d , a ,6 2 it y 3 d a , « 3 o 3 7ry 3 3 ,

qui sont situées sur la face supérieure du limon. Celles de la bœ inférieure,

a 5 ?r y - o > a jît o 2 , a 3 7r © 3Î

s'en déduiront en portant sur chaque verticale une longueur a'a" = 7r'7r".

Maintenant , cherchons le plan tangent de la surface gauche moyenne. On tracera d'abord la tangente Fi de l'hélice directrice, ce qui se réduit à prendre la sousiangente/rt égale à^Gou deux fois Tare ab; puis, en faisant glisser la génératrice horizontale (p Px, P 7 ) sur cette tangente et sur la verticale x , ou formera un paraboloïde de raccordement, ainsi que nous. l'avons démontré au n° 842 ; et l'horizon» taUfc t* sera une seconde position de cette génératrice. Donc* si Ton mène le plan vertical PT perpendiculaire à Px, il coupera la paraboloïde suivant là droite (PT* P'T') qui déterminerait le plan tangent demandé FT'T; niais* en outre, cette droite est précisément la tangente de la courbe moyenne du limon r attendu qu'elle se trouve aussi dans le plan vertical PT qui est lui-même tangent au cylindre moyen. Dès lors le plan normal de cette courbe moyenne aura pour trace

(tf Oo pourrait obtenir celte hauteur np. d'une manière plus commode, en recourant au triangle Vpt dooi nous allons parler tout à l'heure; car, après avoir porté la longueur de Tare pb suc la base pt, à partir de l'angle f, on élèverait une verticale terminée à l'hypoténuse, et ce serait tk grandeur qu'il faudrait donner à n'pV

CHArrru vin. — des bscàli nas. 345

verticale (¥ PV perpendiculaire sur W ; et en projetant sur les bases des trois cylindres ABC , A a B, C , , À , B , C, , les points où cette trace Q'P'q' rencontre (Jg. 2) les courbes supérieures et inférieures du limon, on obtiendra la projection horizontale QQ, Q,<M,4r du contour du joint normal.

849* Soit R le point de la courbe moyenne où l'on veut mener un second joint normal ; après avoir pris un plan vertical rz (fig. 3) perpendiculaire à la génératrice h y, et y avoir projeté cette droite en un point R' situé à une hauteur arbitraire, par esemple a H, on marquera la hauteur p'p" du limon égale à celle qu'on a adoptée swr la fig. 2, et Ton construira oomme précédemment les portions des courbes supérieures et inférieures du limou qni avoîsinect ce point (R, R'); puis, on tracera encore la tangente R'z de l hétioe directrice, on en déduira ia tangente (R'6', R6) de la courbe moyenne du limon, et ie plan normal N'RV. Enfin, on projettera sur les bases des trots cylindres les points où cette trace N'RV rencontre les courbes dés deux faces du limon, et Ton obtiendra la projection horizontale Nl^N,»,»,* de cette face de joint.

8&0. La forme du voussoir est par là complètement déterminée, mais comme les Jiy. 2 et 3 ne présentent que des projections isolées et indépendantes, il reste à projeter le voussoir total sur un seul et même plan» Traçons donc deux plans verticaux et parallèles XY, X 5 Y 2 , dirigés de manière à comprendre, sous le plus petit espace possible, ia projection horizontale du voussoir : ces plans ren Périmeront les feoes latérales du solide capable; mais nous n'en fixerons les autres dimensions qu'après avoir projeté le voussoir sur l'un d'entre eux, XY par exemple. Pour cela, on marquera sur la verticale Z, et à commencer d'un point arbitraire, les divisions 0,1, 3, 3,... séparées par des intervalles égaux tous à H (fcg. 4); puis, en menant par ces divisions des horizontales sur lesquelles on projettera les points B et B lf C •t €,, D et D,,..., on pourra tracer les courbes

y fe <p A et 6 ,y t $ % t a <y 2 A ,

qui terminent la face inférieure du limon. GeHes de la face supérieure

«yav^v et e'./^w,

se déduiront des précédentes en prolongeât* chaque verticale d'une quantité €"# égale à là hauteur tt'it" qui a été fixée d'abord sur la fi g. 2. - 851 • Quant au centre P' de la face de joint, on le placera sur la verticale élevée du peint P, et à une distance au-dessous de l'horizontale 6' g', qui soit égale à la tfffiérence de niveau Py mesurée sur la/fy. a; ensuite, après avoir projeté le point T en T sur l'horizontale FT" de layîy. 4, on tracera la verticale T'T égaie à telle db même nom sur la fig. 3, et la droite FT sera ta projection de la taogenteà la uourbe moyenne du limon. Si, de plus, on projette en X' etX' 2 sur V horizon taie F T* 7 les deux points X et X, où la Ugne mUiem du joint projetée sur XHX, allait

rencontrer les plans verticaux XY et X 2 Y a , et que Ton mène par ces points X 7 et X' t deux perpendiculaires sur la tangente P'T", on obtiendra les intersections du joint normal avec les faces latérales du solide capable. Ce corps aura d'ailleurs pour faces supérieure et inférieure deux plans U' V et u'v* perpendiculaires à la face verticale XY et parallèles entre eux, mais dirigés de manière à embrasser la projection du limon sous le moindre volume possible. Enfin, pour obtenir les courbes d'intersection du joint normal avec les quatre faces du limon, oft projettera les points Q et Q t , 9 et 9,, sur les courbes supérieures et inférieures auxquelles ils appartiennent; le point milieu Q, devra être projeté à une hauteur au-dessus de 6' 6" qui sera fournie par la fig. a, et il en sera de même du point q 3 ; puis, les points milieux des courbes latérales Qq, Q 3 q 7 , devront être placés précisément sur l'horizontale X'X',.

On opérera d'une manière semblable pour le joint normal qui passe par le point (R, R'), en prenant sur la fig. 3 toutes les différences de niveau avec l'horizontale 9 Va» et I e8 deux P°' n te Y' et Y' a , déduits de Y et Y a , seront ceux par lesquels on doit mener des perpendiculaires à la tangente R'8', pour obtenir les côtés de la face normale à la courbe moyenne du limon. Il résulte de là que le solide capable est ici un parallélipipède rectangle qui a été tronqué par deux plans obliques aux arêtes latérales, et non parallèles entre eux ; si d'ailleurs on adopte cette forme, ce n'est pas précisément pour économiser les matériaux, attendu que les carriers ne fournissent guère que des blocs ayant ta forme de parallélipipèdes rectangles ; mais c'est afin d'économiser la main d'œuvre, parce qu'au lieu de dresser les bases ordinaires du parallélipipède rectangle qui devraient disparaître plus tard, l'ouvrier pourra tailler immédiatement les faces normales à la courbe moyenne du limon.

852. La fig. 5 représente l'intersection delà face supérieure U'V du solide capable avec les deux cylindres verticaux BCDEFL et B,C a D, E, F, L,. Pour obtenir ces courbes, il a suffi de prolonger toutes les verticales Cy', C,/,, D^, D,^,... jusqu'à leurs rencontres avec la droite U'V'; puis, en rabattant la face supérieure autour de cette droite, les points d'intersection se sont transportés en G', C',, D 7 , D 7 ,,... qui doivent être placés chacun à la même distance de U'V' que C, C„ D, D„... le sont de la droite UV.

Nous aurions dû aussi rabattre la face inférieure w V avec ses intersections par les deux mêmes cylindres ; mais comme ces nouvelles courbes seraient des sections parallèles et conséquemment identiques avec les précédentes, nous avons supposé que la face inférieure . v! t/ s'était élevée d'abord jusqu'à la position ti'V; et en la rabattant alors autour de cette dernière droite, lès traces des deux cylindres sont venues se confondre, du moins dans une partie de leur étendue, avec les premières courbes C'D'E', C',D',E',.

853. Sur la fig. 6, on a représenté le panneau de tête du solide capable, rabattu autour de r horizontale XPX,, c'est-à-dire qu'après avoir pris une distance arbitraire PP\ on a mené par le point P / une parallèle X'P'X',, à partir de laquelle on