CHAPITRE I. — NOTIONS GÉNÉRALES
5. Quant à la construction graphique des courbes précédentes, on sait (G. D. , n° 347) que la méthode générale consiste à mener du point S divers plans sécants dont on détermine les courbes d'intersection avec la surface T ; puis on tire, par le même point S, des tangentes à chacune de ces courbes , et leurs pointe de contact déterminent la ligne de séparation d'ombre et de lumière AMBN, Ensuite, on cherche les intersections de ces mêmes tangentes avec la surface VXY, et Ton obtient ainsi la courbe d'ombre portée ambn. Mais quand la surface T est cylindrique, ou de révolution, ou du second degré, il y a des méthodes plus simples , et que nous avons exposées au livre Y de la Géométrie descriptive.
6. (PL i , fig. 2.) Supposons à présent qu'il existe deux points lumineux S et S 7 qui éclairent simultanément le corps T. Pour chacun de ces points considéré isolément, on déterminera, comme ci-dessus, les lignes de séparation d'ombre et de lumière AMBN et A'MB'N, puis les courbes d'ombre portée ambn et a'm'b'ri ; ces dernières doivent avoir une tangente commune en m et m', parce que c'est l'intersection du plan YXY avec le plau tangent de la surface T en M , lequel plan touche à la fois les deux cônes circonscrits (G. D. , n° 395). Alors on connaîtrait < les parties illuminées et les parties obscures du plan YXY, s'il était éclairé tour
à tour par chacun des points S et S'; mais, attendu que la lumière vient simultanément de S et de S' , cela donne lieu à de nouvelles distinctions. En effet, tout point qui sera dans la partie aïlb'Ga commune aux deux courbes, ne sera éclairé ni par le point S ni par S' ; c'est donc là V ombre pure. Tout point qui se trouvera dans la partie Ga'HaG ne recevra pas de lumière de S', mais il en recevra de S; au contraire, tout point situé dans la partie Gb'RbG sera éclairé par S', et non par S : ces deux parties forment donc ce qu'on nomme la pénombre , où l'obscurité n'est pas complète. Enfin , les parties du plan YXY qui sont en dehors des deux courbes à la fois recevront de la lumière aussi bien du point S que du points', sans que le corps T y mette aucun obstacle, et c'est là la portion illuminée du plan.
7. Les mêmes distinctions se représenteront sur la surface même du corps T ; car oo voit bien que tous les points situés entre D et les arcs M AN et MB'N ne peuvent être éclairés ni par S, ni par S', et c'est là Y ombre pure; la pénombre est composée ' des deux portions de surface MANAM et MBNB'M , car chacune ne reçoit de lumière que d'un seul des deux points lumineux ; enfin la partie illuminée du corps T est comprise entre C et les deux arcs MA'N et MBN.
8. Des circonstances semblables à celle* que nous venons de discuter se reproduiraient pour trois ou un plus grand nombre de points lumineux; et lorsqu'il! forment par leur ensemble un corps de dimensions finies , on pourrait répéter pour chaque point de ce corps lumineux les constructions précédentes ; pais , en cher* chant Y enveloppe intérieure et Y enveloppe extérieure He toutes les courbes ambn , aW6V, ..., la première déterminerait l'ombre pure , et la seconde la pénombre,
qui ont lieu sur le plan VXY ; mais au lieu de cette marche très-compliquée, il est préférable d'employer la méthode suivante.
9. (PL i,fig. 3.) Soient S le corps lumineux et Tle corps opaque, qui peuvent avoir des formes quelconques. Imaginons un plan rc qui soit tangent aux deux surfaces S et T à la fois ; ce plan sera susceptible d'occuper une infinité de positions, à moins que Tune de ces surfaces ne soit développable ; mais nous exclurons ici cette hypothèse particulière, attendu qu'elle ne se rencontre jamais dans les applications utiles de la théorie des ombres , et que d'ailleurs les restrictions auxquelles elle donnerait lieu sont faciles à prévoir, d'après ce que nous avons dit aux n M 428 et 429 de la Géométrie descriptive.
10. Nous pouvons donc faire rouler le plan tt sur les deux surfaces S et T , de manière à les toucher extérieurement , c'est-à-dire en laissant ces deux surfaces toujours d'un même côté du plan mobile, et la suite des points de contact formera deux certaines courbes AB et A'B' que nous avons appris à construire (G. D. , n° 425) ; d'ailleurs les positions successives de ce plan mobile se couperont consécutivement selon des droites qui seront les génératrices d'une surface développable S , laquelle se trouvera circonscrite extérieurement aux deux corps S et T. Gela posé, la courbe de contact A 7 B 7 de la surface S avec T sera la limite de Y ombre pure sur ce dernier corps , puisque évidemment tout point situé au delà de A'B' ne pourra recevoir la. lumière directe partie de quelque point que ce soit de S, tandis qu'il serait éclairé en partie s'il était situé en deçà de la ligne A'B', De même, en cherchant les points d'intersection du plan YXY avec les diverses génératrices de la surface développable S, on obtiendra la courbe A"B" qui enferme Y ombre pure portée par le corps T sur ce plan.
il. Mais nous pouvons mener un autre plan n qui soit tangent intérieurement aux deux surfaces S et T, c'est-à-dire qui les touche en laissant d'un côté Tune de ces surfaces, et l'autre du côté opposé ; alors, en faisant rouler ce plan tangent n sur S et T, il donnera lieu à une seconde surface développable £' qui se trouvera circonscrite intérieurement aux deux corps proposés, et les touchera suivant deux nouvelles courbes CD et CD 7 . Or, la ligne CD 7 est la limite qui sépare la pénombre d'avec la partie illuminée du corps T; car tout point situé au delà de CD 7 ne sera éclairé que par une portion plus ou moins grande du disque lumineux , tandis que si ce point est en deçà de CD', il recevra la lumière directe du disque total , c'est-àdire de toute la portion de S que peut circonscrire un cône dont le sommet serait au point considéré sur T. Enfin , l'intersection C"D" du plan VXY avec cette surface développable S', donnera aussi la limite de la pénombre sur ce plan.
12. (PL ijfig. 3.) Hâtons-nous d'éclaircir ces généralités, en prenant l'exemple très-simple de deux corps sphériques S et T. Ici tous les plans tangents communs à ces deux sphères, et qui lcâ toucheront extérieurement, iront évidemment rencontrer la ligne des centres STO en un même point ; donc les intersections con-
CUAPITfiE I. — NOTIONS GÉNÉRALES.
sécutives de ces plans seront des droites qui passeront toutes par ce point , et conséquemment elles fourniront , pour la surface développable 2 , un eône AOB circonscrit extérieurement aux deux sphères S, T, et qui les touchera suivant deux petits cçrcles projetés sur les droites AB, A'B'. De même, la seconde surface développable 2' se réduira ici au cône CO'D, circonscrit intérieurement aux deux sphères , et qui les touchera suivant deux cercles projetés sur les droites CD, CD*. Ensuite , ces deux surfaces coniques iront couper le plan VXY suivant deux courbes A"B" et C"D", lesquelles formeront les limites qui séparent l'ombre pure de la pénombre, et celle-ci de la portion illuminée sur le plan VXY; d'ailleurs la pénombre n'offrira pas une clarté partielle qui soit uniforme , mais cette clarté augmentera progressivement à mesure que l'on s'éloignera de l'ombre pure , ainsi que nous allons le prouver en étudiant les faits seulement dans une section méridienne des deux corps sphériques, parce que tout est semblable autour de la droite qui réunit les centres.
13. D'abord, tout point L" situé en dedans de la courbe A"B" ne peut évidemment recevoir la lumière directe partie de quelque point que ce soit de S, puisque le point L" est renfermé dans le cône AOB qui enveloppe extérieurement les deux sphères; tandis que si l'on considère un point P" placé entre les courbes A"B" et CD 7 ', et que l'on tire les tangentes FP'P, P"p, on voit que le point P" sera éclairé par l'arc PBp du corps lumineux. Cependant ce point P" ne reçoit pas autant de lumière que si le corps T était enlevé ; car alors il serait éclairé par l'arc lumineux pBPp', lequel se détermine en tirant les tangentes P"p, P"p', et forme ce que nous avons appelé ci-dessus le disque total du corps lumineux vu du point P". Il résulte de là que le corps opaque T intercepte encore une portion de la lumière qui arriverait directement au point P" , et que celui-ci se trouve bien dans la pénombre qui est ainsi séparée de Y ombre pure par la courbe A'B'.
D'ailleurs la clarté partielle de cette pénombre va augmenter graduellement de P" en Q"; car ce dernier point se trouvera éclairé par l'arc lumineux QB</, plus étendu que le précédent , mais néanmoins plus petit que le disque total relatif au point de vue Q 7/ . Enfin , tout point R" situé hors de la courbe C"D", se trouvera éclairé par le disque total du corps lumineux , sans que la présence du corps T lui dérobe aucun rayon de lumière, parce que les tangentes menées du point R" au corps S ne rencontrent plus la surface T. Donc la courbe C"D" est la limite qui sépare la pénombre de la partie illuminée totalement , sur le plan YXY.
Ift, Tous les raisonnements que nous venons de développer s'appliquent évidemment aussi à la surface même du corps opaque T; de sorte qu'un point L', situé à droite de la ligne de contact A'B', sera entièrement dans l'ombre; un point tel que V sera éclairé par l'arc lumineux PBp, et le point Q' par Tare plus étendu QBq ; tandis que tout point R ; situé à gauche de l'autre bourbe de contact CD' sera éclairé par le disque total. Donc, sur le corps opaque T, la courbe de contact A'B'
est bien aussi la limite qui sépare l'ombre pure A' E ; B' d'avec la pénombre À'B'C'iy, et cette dernière zone offre une clarté qui va en augmentant jusqu'à la seconde courbe de contact CD', où commence la portion D'F'C totalement illuminée.
15. D'après ces détails, on voit que la solution générale du problème des ombres, pour deux corps de forme quelconque, serait très-laborieuse, puisqu'elle exigerait l'emploi des deux surfaces développables S et 2' dont nous avons parlé aux n" 10 et 11. Mais , heureusement , les seuls résultats qui soient vraiment utiles dans la pratique se rapportent au cas de la lumière solaire ; et comme la distance du Soleil à la Terre est extrêmement grande comparativement aux dimensions de tous les objets qui nous environnent, et même aussi par rapport au diamètre absolu du globe solaire (*) , il s'ensuit que les divers rayons lumineux qui nous arrivent de tous les points de cet astre, à une même époque, sont sensiblement parallèles entre eux. En effet, les observations directes nous montrent que le diamètre apparent du Soleil (c'est>à-dire l'angle A3D sous lequel un observateur, placé au point*}, aperçoit son disque lumineux) a pour valeur moyenne d=32 / , et que cet angle ne varie en plus ou en moins que d'une demi-minute environ; d'ailleurs, comme l'angle des deux rayons TA 7 , TD', est égal à celui des tangentes correspondantes, on en conclut que
arc A'D' = 3a' = ^ * = ^ du rayon ;
c'est-à-dire que sur un corps sphérique placé à la surface de la Terre, la largeur de la zone occupée par la pénombre solaire ne serait que la 107* partie du rayon de cette sphère ; et cette conséquence peut être étendue à un corps de forme quelconque, si Ton prend, pour chaque point, le rayon de courbure de la section normale faite parallèlement au rayon de lumière. La petitesse de ces résultats nous* permet donc de négliger la pénombre solaire ; ou du moins on saura y avoir égard subsidiairement , même pour V ombre portée , puisqu'il suffira de tirer un rayon lumineux qui fasse un angle de 32' avec celui de Y ombre pure.
16, Dans l'hypothèse des rayons de lumière parallèles entre eux, que nous adopterons dorénavant, la pénombre disparaît entièrement, puisque les tangentes intérieures DD' se confondent rigoureusement avec les tangentes extérieures A A 7 : en outre , il est évident que la surface développable I devient un cylindre circonscrit au corps opaque, et dont les génératrices sont parallèles à la direction assignée
(*) En appelant D la distance moyenne de la Terre au Soleil , R le rayon du globe solaire , r le rayon moyen du globe terrestre, on a
r = 6366654 mètres,
R= no.r,
D = a3 98/i. r = 38 ooo ooo lieues.
D'ailleurs , le rayon de la Terre à f équateur et le rayon aux pôles ne diffèrent du rayon moyen r, ai plus et en moins, que de 10 ooo mètres environ.
