CHAPITRE I. — NOTIONS GÉNÉRALES

pour les rayons lumineux. Dès lors le problème des ombres se* réduit à trouver : i° la courbe de contact du corps T avec un pareil cylindre circonscrit, et cette courbe sera la séparation d'ombre et de lumière sur ce corps, ou V ombre propre; y l'intersection de ce même cylindre avec la surface VXY qui reçoit l'ombre, et ce sera le contour de Y ombre portée. Or, la Géométrie descriptive fournit , pour la solution des deux parties de ce problème, une méthode générale que nous allons indiquer, mais qui peut recevoir des simplifications notables ? ou acquérir plus de précision suivant la forme des corps, ainsi que nous le ferons voir plus loin en parcourant divers exemples particuliers.

17. i°. On coupera le corps opaque T par une série de plans P, P', ?",.••> tous parallèles au rayon de lumière, et Ton fera bien de les choisir, en outre, perpendiculaires à l'un des deux plans de projection; par exemple, de les prendre .verticaux; puis, à chacune des courbes produites par ces plans sécants P, P',.*., on mènera une ou plusieurs tangentes parallèles au rayon lumineux, et leurs points de contact détermineront la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur le corps T, ou V ombre propre de ce corps.

2°. On cherchera aussi l'intersection de la surface VXY avec chacun des plans sécants , tel que P; et la rencontre de cette intersection avec le rayon lumineux qui aura déjà été conduit tangenliellement à la section de ce même plan P dans le corps T, fournira un point de la courbe d'ombre portée sur la surface VXY.

Si cette exposition générale laissait quelque obscurité, le lecteur pourrait consulter immédiatement le n° 21, où nous avons appliqué cette méthode à l'ombre d'une sphère.

18. Observons toutefois que , dans l'énoncé des règles précédentes , nous avons admis tacitement que le corps opaque se trouvait limité par une seule et même surface continue; maïs la plupart des corps étant terminés par des portions de surfaces courbes différentes , quoique contiguës , ou par des faces planes diversement inclinées , l'enveloppe totale de ces corps est discontinue sous le rapport géométrique , et elle offre des arêtes saillantes , curvilignes ou rectilignes. Donc , pour définir généralement le cylindre circonscrit. qui détermine la séparation de lumière, il faut dire qu'il est formé par des lignes easàntbs, toutes parallèles au rayon lumineux; et nous entendons ici par ligne rasante toute droite indéfinie qui s'appuie sur l'enveloppe du corps sans la pénétrer nulle part , ou qui du moins ne coupe cette enveloppe qu'au delà du point d'appui , dans le sens où se meut la lumière ; car, dans ce dernier cas, ce serait le corps en question qui porterait ombre sur luimême, et cette circonstance ne doit pas être omise sur le dessin.

Ainsi ces lignes rasantes, parallèles au rayon lumineux, ne seront pas toujours de véritables tangentes dans le sens géométrique; et elles composeront, par leur ensemble, un cylindre discontinu, formé de plusieurs portions de surfaces cylindriques différentes, dont quelques-unes pourront être planes; mais ce sera tou-

jours par leurs interjections avec les surfaces environnantes que Ton obtiendra les ombres portées.

19. (PL i , fig. 4)- Par exemple, pour un tronçon de colonne ABCD, si Ton conçoit les deux plans tangents NMN', QRQ 7 , qui sont parallèles aux rayons lumineux , il est clair que les arêtes de contact MN et RQ formeront une partie de la se* paration d'ombre et de lumière, et que tous les rayons lumiùeux qui s'appuieront sur ces arêtes , tels que EE', FF', NN', seront véritablement tangents à l'enveloppe latérale du corps. Mais Tare de cercle NCQ sera aussi une autre branche de cette ligne de séparation , puisque la face supérieure DNGQ est éclairée , tandis que la surface latérale ne Test pas au delà des arêtes MN et QR ; or, quand le rayon lumineux glissera sur cet arc NCQ, les positions successives PF, GC' r - qu'il occupera seront simplement des lignes rasantes , et non plus de véritables tangentes par rapport à l'enveloppe dç corps; d'ailleurs ces lignes rasantes formeront une portion de surface cylindrique à base circulaire , qui ira percer le plan horizontal suivant un arc de cercle N'Ç'Q' égal à NCQ, tandis que les rayons lumineux tangents le long de MN et RQ, forment deux plans verticaux qui coupent le plan horizontal suivant des droites MN' et RQ 7 . Le contour de l'ombre portée est donc MN'C'Q'R , et la séparation d'ombre et de lumière est la ligne discontinue MNCQR, à laquelle on doit ajouter l'arc inférieur RAM qui repose sur le sol.

20. On voit, par cet exemple, que souvent la séparation d'ombre et de lumière se déterminera sans aucune construction géométrique, et à l'inspection seule du corps, surtout s'il est terminé par des faces planes. Car, pour un polyèdre donné , et en connaissant la direction commune assignée aux rayons de lumière , il est bien facile de distinguer immédiatement si une face est éclairée ou non ; et cette distinction une fois faite pour toutes les faces, la série des arêtes qui sépareront une. face éclairée d'avec une face obscure, formera la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur le corps en question. Ainsi, dans un paralléltpipède éclairé parallèlement à sa diagonale FC, chacune des six arêtes AB, BG, GH, HE, ËD, DA, (PL i, fig 4 5), sépare évidemment une face éclairée d'avec une face obscure; donc ces arêtes forment bien la ligne de séparation d'ombre et de lumière , et le cylindre circonscrit à ce corps devient ici le système de six plans , menés chacun par une des arêtes précédentes et parallèlement au rayon lumineux. Quant à l'ombre portée, elle s'obtiendrait en cherchant les intersections de ces six plans avec les surfaces environnantes.