EXEMPLES DIVERS

Ombres dune sphère.

2i. (PLX) Soient (0, 0') le centre de la sphère, et (OA, &A!) son rayon; en décrivant avec ce rayon deux circonférences ABC et A'G'iy, on aura le contour de la projection horizontale et de la projection verticale de ce corps. Soit aussi (OS, O'S') la direction commune de tous les rayons lumineux ; il faudra, suivant la méthode générale du n° 17 , conduire divers plans sécants qui soient verticaux et parallèles à (OS, / S / ), tels que RT, UV,...; puis, mener aux courbes qu'ils traceront dans la sphère , des tangentes parallèles au rayon lumineux. Mais comme ces courbes , projetées sur le plan vertical XY, deviendraient dés ellipses qu'il faudrait construire par points, nous simplifierons beaucoup les opérations graphiques, si nous adoptons un plan vertical auxiliaire X" Y" (fig. 3) qui soit lui-même parallèle aux rayons lumineux.

Sur ce nouveau plan, le centre (0, 0?) de la sphère se projettera en 0", à une hauteur X"0 // =XO / ; et le rayon de lumière (OS, O'S'), qui venait percer le plan . horizontal en S, aura pour sa nouvelle projection O^S". Ensuite, le plan vertical RT coupant la sphère suivant un cercle qui se projettera en vraie grandeur sur le plan auxiliaire X" Y", il suffira de décrire une circonférence sur le diamètre R // T // =RT, et de mener à cette circonférence deux tangentes M" m", N"n", qui soient parallèles à 0?S". Alors les points de contact M" et N", étant projetés sur la trace RT du plan sécant, fourniront deux points M et N de la projection horizontale de la séparation d'ombre et de lumière; puis, les projections verticales correspondantes M' et N' s'obtiendront en plaçant ces derniers points à la même hauteur au-dessus de XY que M" et N" le sont au-dessus de X"Y" ; ou bien, on pourra mesurer ces hauteurs à partir des deux plans horizontaux B"0"b ff et A'O'iy.

22. En outre, les rayons lumineux M" m" et N"*", qui sont tous deux projetés horizontalement sur RT, iront percer le plan horizontal aux points m et n, lesquels appartiendront à la courbe d'ombre portée par la sphère sur le plan horizontal. D'ailleurs, comme on peut choisir un second plan vertical rt qui coupe la sphère suivant un cercle égal à celui qu'avait donné le plan RT, les points M" et N' 7 fourniront en même temps deux autres points (P, F) et (Q, Q ; ) de la courbe de séparation d'ombre et de lumière; et l'on en déduira aussi deux nouveaux points p et 9 de l'ombre portée sur le plan horizontal.

2* édit. 2

23. Si l'on applique la même marche aa plan vertical UV, on devra tracer un cercle du diamètre U"V"=irV, et il faudra lui mener encore, parallèlement à 77 S' 7 , deux tangentes K"k'\ I"i", dont les points de contact se trouveront évidemment en ligne droite avec M" et N 77 . Par conséquent tous les points de la séparation d'ombre et do lumière seront projetés, sur le plan, auxiliaire X 77 Y 77 , suivant le diamètre G"H 77 perpendiculaire à CVS"; d'où l'on conclut que cette courbe est plane, et qu'elle est un grand cercle perpendiculaire au rayon lumineux; conséquence que Ton pouvait prévoir d'après le théorème connu (G. Z)., n° 381, note) sur la ligne 'de contact d'un cylindre circonscrit à une surface du second degré.

2ft. Points remarquables. Il est plusieurs points que Ton peut construire directement, et d'abord ceux qui se trouvent sur le contour apparent horizontal (ABD, A 7 D'); car les plans verticaux Ee, F/, qui touchent évidemment la sphère aux points (E,0' 7 ) et (F, 0*), renfermeront les rayons lumineux menée par ces points ; donc ces rayons seront eux-mêmes tangents à la sphère , et par conséquent (E, E') et (F, F') sont deux points de la séparation d'ombre et de lumière.

Cette courbe a aussi deux points situés sur le grand cercle vertical (AD, A'C'D 7 ) , et qui s'obtiennent en menant les tangentes K'k' et Ul' parallèles à la projection 7 S 7 ; car, dans les points (K , K 7 ) et (L , T/) ainsi déterminés , le plan tangent sera perpendiculaire au plan vertical et parallèle aux rayons lumineux.

Enfin le plan vertical Bo6, parallèle au rayon de lumière, donnera, par la méthode générale du n° 21, les points (H", H) et (G", G), qui seront le plus haut et le plus bas de la courbe ; et Ton en déduira leurs projections verticales H' et G 7 comme précédemment, ou bien en rabattant le point H en r l9 lequel se projettera en rf sur le grand cercle (A'C'D', AD), puis en tirant l'horizontale y/H 7 sur laquelle devra tomber la projection H 7 du point H. Pour justifier la dénomination attribuée à ces .points, il faut observer qu'en (H, H 77 ) le plan tangent de la sphère est perpendiculaire au plan vertical auxiliaire X*Y 7/ f et qu'il en est de même du plan de la courbe qui est projetée suivant G' 7 !!' 7 ; donc l'intersection de ces deux plans , qui est la tangente , sera aussi perpendiculaire à ce plan vertical , c'est-à-dire qu'elle sera horizontale.

25. On trouve marqué sur notre épure le point brillant de la sphère , X pour la projection horizontale, et y! pour la projection verticale; mais nous renvoyons l'explication de ces dernières constructions au chapitre III, où nous parlerons des recherches relatives aux points de ce genre.

Ombres (Tune barrière.

26. (PI. i fig. 6.) Après avoir appliqué à l'exemple précédent la méthode générale du n° 17, considérons un de tes cas assez fréquents où l'objet proposé étant terminé par des faces planes , on aperçoit immédiatement quelles sont les lignes de

Jf