SB.S'B

38. On voit par là que , dans l'hypothèse du rayon lumineux que nous adoptons

ici , ta longueur de F ombre MQ, portée par une droite verticale sur un plan horizontal, est toujours égale à la hauteur de cette droite.

39. Il est vrai que , pour trouver l'ombre portée par te point (M , M') sur un plan vertical donné xy , la marche à suivre est un peu moins simple ; car il faut évidemment prolonger le rayon MP jusqu'à sa rencontre avec xg , puis prendre sur la verticale une longueur M'p' égale à MP, et enfin tirer l'horizontale p'P 7 égale à pP.

Mais on pourrait adopter , pour la projection verticale , un nouveau rayon lumineux qui serait incliné à 45° sur le plan vertical , et qui offrirait alors les mêmes avantages que dans le n° 37. Les deux projections de l'objet, le plan et félémém, se trouveraient ainsi éclairées par des rayons de lumière différents; mais ce désaccord ne serait pas un inconvénient grave pour le but que l'on se propose dans les dessins d'architecture , d'autant mieux que ces deux projections sont quelquefois sur des feuilles séparées.

40. Observation. On doit sentir qu'un objet , tel que la barrière représentée dans la fig. 6 , se trouverait complètement défini en donnant seulement sa projection horizontale mec les ombres portées tracées dans l'hypothèse d'un rayon lumineux incliné à 45 # ; car la longueur des ombres ÂE, ÂF , Mm ,»•• indiquerait la hauteur précise (n* 38) à laquelle se trouveraient les divers points projetés eu A, M,... , et l'on aurait ainsi la troisième dimension de l'objet, qui seule n'était pas donnée par la projection horizontale.

Ajoutons même que l'objet serait encore complètement défini , quoique d'une manière moins commode , si les ombres étaient tracées dans l'hypothèse de rayons lumineux parallèles à une direction quelconque , pourvu qu'on étendit ce tracé à toutes les arêtes du corps , tant obscures (\W éclairées , ainsi que l'indique le parallélogramme Eb&F de la fig. 6. Car alors ces rayons lumineux formeraient véritablement une projection oblique de l'objet en question , laquelle jointe à la projection orthogonale déjà donnée, suffirait bien pour déterminer cet objet , puisqu'il serait ainsi l'intersection de deux surfaces cylindriques complètement assignées*

Ombres des Cheminées sur un comble*

Al. (PL 3). Le comble dont il s'agit présente quatre faces, qui sont des plans inclinés ; les deux faces projetées sur les trapèzes (ABDC, A'B'D'C) et (ABI^C",

CHAPIXU IL — EXEMPLES DIVBftS. 15

À'B'iyC ) se nomment les longs-pats, et elles se coupent suivanhjçe horizontale (ÀB, À'B') qui s'appelle la ligne de cour armement ; les deux autres faces, dont une seule (DBD", B'F'D') est ici visible, se nomment les croupes. Nous avons dit que oes quatre faces étaient planes, excepté à partir d'une ligue horizontale (EFF'E", E'F') voisine du bord inférieur, où le comble prend une légère courbure en forme de surface cylindrique , indiquée par une courbe F'D' qui doit se raccorder avec les droites B'F' et IfC. Au-dessous est la corniche , puis les murs qui supportent le comble, lequel est traversé par deux corps de cheminées, cou* ronnés chacun par un bandeau saillant. Enfin tous ces objets sont éclairés par des rayons lumineux parallèles à la direction (Sa, S'A'), et sont représentés ici sur deux plans de projection dont la ligne de terre xy est parallèle à ia ligne de couronnement; roue 4e ces projections se nomme le plan géoméiral ou simplement le plan , et l'autre s'appelle f élévation.

42. Première cheminée, à gauche. D'après la direction des rayons lumineux, on voit immédiatement que les faces verticales GI et GH sont éclairées , tandis que les deux autres ne le sont pas ; donc les arêtes verticales (I , I'G") et (H , H 7 H") sont les Kgnes de séparation d'ombre et de lumière sur le corps de la cheminée. Pour trouver l'ombre qu'elles portent sur le comble, j'imagine un rayon lumineux mobile qui glisse parallèlement à lui-même le long de la verticale H, et qui produit ainsi un plan vertical dont la trace horizontale est la droite HP parallèle à Sa ; ce plan coupera le long-pan suivant une ligne qui sera l'ombre portée par la verticale H. Or cette intersection a déjà pour projection horizontale la droite HP elle-même, puisque le plan Nombre est ici vertical ; et comme ce plan va couper la ligne de couronnement au point (P, F), il s'ensuit que H' F est la projection verticale de la même intersection ou de l'ombre en question. Mais cette ombre ne se prolongera que jusqu'à ce que le rayon lumineux qui glisse sur la verticale (H, H' H") ait atteint l'arête horiÊontale (KL, K'L') du bandeau ; or le plan vertical HP va couper cette arête au point (M , M'); donc le rayon lumineux M'N' ira marquer sur H'P' le point (N', N) où doit se terminer l'ombre en question.

&3. Observons, en passant, que ce rayon lumineux M'N' qui s'appuie à la fois sur le bandeau et sur la verticale (H,. H' H") fait connaître la limite G" H" de l'ombre portée par le bandeau sur le corps de la cheminée. Au surplus, quand on voudra trouver directement cette ombre, on mènera le rayon lumineux (ES, K'S') tracé dans la fig. 3 , et le point S ou sa projection horizontale rencontre le parement extérieur GH de la cheminée, étant ramené sur K'S', fera connaître le point S' par lequel on doit mener l'horizontale «"S'H".

Toutefois s'il arrive, oomme dans la jijr. 3, que ce point S' soit à droite de 0% l'ombre portée par l'arête antérieure du bandeau se terminera évidemment an point S' qui provient du dernier point (K\ K) de cette arête; mais le contour de la partie obscure sera complété par la droite S'T' qui jest l'ombre produite par l'arête

16 UYRE I. — THBORIB DBS OMBEUÎS.

latérale (Kk , JFf, laquelle donne lieu à un plan d'ombre qui se trouve perpendiculaire au plan vertical, et a pour trace la projection K'S' du rayon lumineux.

44* Revenons maintenant à la figure principale, et considérons le rayon lumineux parvenu dans la position (MN , M'N') ; alors il glissera le long de l'horizontale (ML, M'L') qui se trouve parallèle à la face de long-pan, et produira ainsi un plan d'ombre qui coupera cette face suivant une droite (NQ , N'O*) égale et parallèle à (ML , M' L'). Ensuite le rayon lumineux arrivé dans la position (LQ , L'Q') montera le long de la verticale (L , V IS) , et donnera lieu à un plan vertical qui coupera le long-pan suivant une droite (QR, Q'R') parallèle à (HN, H'N 7 ) ; cette ombre sera limitée par la dernière position L" R' du rayon lumineux.

À présent , le rayon de lumière glissera sur l'arête du bandeau (L/ , L") , et produira ainsi un plan d'ombre perpendiculaire au plan vertical ; la trace verticale de ce plan est évidemment L"R', et c'est en même temps la projection de son intersection avec la face de long-pan ; quant à l'autre projection , j'observe que le plan d'ombre L" R' coupe la ligne de couronnement au point (V, Y) , et qu'ainsi RV est la projection horizontale de l'ombre portée parla droite indéfinie (L/, L"); mais cette arête se terminant au point l, l'ombre en question devra être limitée par le rayon lumineux /T, et sera enfin (RT, R'T").

45. A partir de cette position (/T, L"T") , le rayon de lumière glissera le long de l'arête (tt, L"K"), et formera ainsi un plan qui coupera la face de long-pan suivant une droite (TU, T'U') égale et parallèle à lk. Ensuite, le rayon lumineux descendant le long de la verticale (K"K', k) , produira une ombre (UX, U'XQ qui sera limitée par la parallèle K'X'; puis, en glissant le long de l'horizontale (K' t AK), il produira l'ombre (X'Y', XY) parallèle à l'une des lignes déjà obtenues; et il en sera de même pour l'ombre (IY, l' Y') que projette l'arête verticale (I, l'G").

46. (PL 3.) Deuxième cheminée , à droite. On voit bien encore que les faces verticales GH et 61 sont éclairées , tandis que les deux autres ne le sont pas; ainsi les arêtes verticales (H, ET H") et (I , l'G") formeront les lignes de séparation d'ombre et de lumière sur le corps de la cheminée. Cela posé, un rayon lumineux qui glissera le long de la verticale H , donnera lieu à un plan vertical qui coupera les faces de long-pan et de croupe suivant une ligne brisée, laquelle aura d'abord pour projection horizontale la trace HMN du plan d'ombre en question. D'ailleurs, comme ce plan va couper en (M, M') l'arête du comble (BD, B'D') , il s'ensuit que H' M' est la projection verticale de la portion d'ombre projetée horizontalement sur HM ; quant à la partie MN , elle se confond avec la projection verticale BD de la face de croupe. Mais cette ombre doit être limitée au rayon de lumière qui , en glissant sur l'arête (H, H' H") , sera parvenu à rencontrer l'arête (KL, Y'L') du bandeau; or le plan vertical HMN va couper cette dernière arête au point (P, F) ; donc le rayon de lumière FN' fera connaître le point N', et par suite le point N où se termine l'ombre en question.

GOàFITAB II. — EXEMPLES DIVERS. 17

Bl7. Observons aussi, en passant , que ce rayon FN' fournit le poinfrfl" par lequel on doit mener l'horizontale G" H" qui limite l'ombre projetée par le bandeau sur la face antérieure du corps de la cheminée. D'ailleurs on obtiendra toujours directement cette ombre G" H", en tirant un rayon de lumière par un point quelconque de l'arête (KL, Y'L'); car la projection horizontale de ce rayon ira rencontrer GH dans un point qui, rapporté sur le plan vertical, appartiendra à la droite G" H".

48. Parvenu dans la position- (PN, PN'), le rayon lumineux glisse le long de l'arête du bandeau (PL, P / L / ), et forme ainsi un plan dont l'intersection avec la croupe sera une droite" qui partira évidemment du dernier point (N, N*), et aboutira au point (R, R') que l'on détermine en traçant, sur le plan vertical, le rayon lumineux L'R'. D'ailleurs le prolongement de cette droite (NR, N'R') doit aussi pas* ser par le point (Q', Q) où le plan de la croupe F ; B' va rencontrer l'arête (Y'L', KL) du bandeau , puisque cette arête est dans le plan d'ombre qui nous occupe.

49. Le rayon lumineux , arrivé dans la position (LR, L'R'), remonte le long de la verticale (L, L'L"), et produit un plan vertical qui coupe la croupe suivant la droite RT, dont l'extrémité se détermine en tirant le rayon I/T'; ensuite le rayon mobile glisse le long de l'arête horizontale (LV, L") , et forme un plan qui coupe la croupe suivant une droite TX égale et parallèle h LV; puis, en parcourant l'arête du bandeau (VY, L" Y"), il produit un nouveau plan qui coupe la croupe suivant XZ parallèle à RNQ , et le long-pan suivant une horizontale (Z* , ZV) dont l'extrémité se trouve en tirant le rayon (Ya , YV). Il est à remarquer d'ailleurs que la droite indéfinie* XZ doit aller passer par le point (Q", Q"') où le plan de croupe, projeté sur F'B'Q", va rencontrer l'arête du bandeau (Y"I/, YV) qui produit l'ombre en question (*).

50. A partir de la position (Ya , Y // a'), ,e rayon lumineux descend le long de la verticale (Y" Y', Y), et forme un plan d'ombre Y* qui est vertical et coupe la ligne de couronnement au point (g , 6') ; d'où l'on conclut que son intersection avec le

Observons ici que l'ombre MN portée sur la croupe par la verticale H aurait pu s'étendre jusque sur la partie cylindrique F'D' de cette face du comble , et cela n'aurait rien changé à la forme recti- Jigoe de la projection MN, puisque cette ombre provient d'un plan vertical (o* 30). Mais ensuite, an lieu de la droite NR, on aurait rencontré une courbe qui serait l'intersection du cylindre horizontal F' D' avec le plan d'ombre passant par l'arête (PL, P' L') ; or cette courbe se construirait par points, en traçant des rayons lumineux intermédiaires entre les points (P, PO et (L, L'), et dont on trouverait les points de rencontre* avec le cylindre F'D' sur le plan vertical, comme on l'a fait au n # 48 pour le dernier de ces rayons (LR, L'R').

Cette courbe serait encore suivie d'une droite RT, sur laquelle se projetterait la section curviligne faite par le plan d'ombre conduit suivant la verticale (L, L'L"); et celui qui passerait par l'arête (LV, L") couperait aussi le môme cylindre F'D' suivant une de ses génératrices, telle que TX. Mais à la suite de cette dernière ligne d'ombre viendrait une seconde courbe résultant du cylindre F' D' coupé par le plan d'ombre mené suivant l'arête (VY, L"Y"); cette nouvelle courbe se construirait par points, comme la première, et elle serait suivie enûn d'une droite telle que XZ, à partir de laquelle les circonstances redeviendraient les mêmes que dans le texte.

2* édit. S

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long-pan est. la droite («5, a' 6') : mais cette ligne d'ombre se terminera au point (/' '/) déterminé par le rayon lumineux Y y passant par l'extrémité inférieure de rareté Y'' Y' que nous considérons.

Ensuite, le rayon de lumière glissera le long de l'arête horizontale (YK, Y') et donnera lieu à un plan d'ombre perpendiculaire à V élévation 7 lequel aura pour trace verticale la droite Y y et ira rencontrer la ligne de couronnement au point (£', S) ; donc l'intersection de ce plan d'ombre avec le long-pan sera la droite (yd, y' à'). Mais cette ombre devra se terminer au point e que Ton obtient en tirant le rayon lumineux le; parce que ce dernier s'appuie à la fois sur l'arête horizon* taie YK du bandeau et sur l'arête verticale (I , I'G") du corps de cheminée, de sorte que le rayon lumineux, parvenu dans cette position , descendra le long de cette dernière arête. Il produira donc alors un plan vertical le qui coupera la ligne de couronnement au point (1, X'), et dont les intersections avec les deux longs-pans seront évidemment les droites (tX, el f ) et (XI, X'I'), lesquelles complètent le contour des ombres projetées par cette seconde cheminée.

51. (PL 3.) Du profil. Pour obtenir directement l'ombre (oZ, «Z') portée 6ur le long-pan postérieur par l'arête du bandeau (YV, Y"!/), ce qui est utile comme vérification , et surtout dans le cas où quelques-unes des lignes d'ombres RT, TX, XZ, sortiraient de la croupe, on peut recourir à un profil, c'est-à-dire à une projection auxiliaire faite sur un plan vertical EAE" perpendiculaire à la ligne de couronnement. Ce profil coupera le comble suivant un triangle isocèle ayant pour base EE", et qui, rabattu sur l'élévation , autour de la verticale A , deviendra évidemment e'AV. Dans ce rabattement , le point (a, A') du rayon lumineux primitif se transportera en a" ; un second point (S , S') de ce rayon , après avoir été projeté sur le profil en s, ira se rabattre en S"; donc S" a" sera le rabattement de la projection du rayon lumineux sur le profil.

Gela posé , l'arête du bandeau (YV, Y"L") allant se projeter sur le profil en un point y qui se rabat évidemment en y", le plan d'ombre produit par cette arête aura pour trace, sur le profil rabattu, la droite y" amenée parallèlement à S" a"; or cette droite va rencontrer la section AV du long-pan au point (*", *') , lequel doit être ramené en z dans le profil primitif; donc l'horizontale (zZ , s"Z') sera Pintersection du long-pan avec le plan d'ombre passant par l'arête du bandeau que nous avons considérée.

52. Quabt à l'ombre portée sur le parement du mur antérieur par l'arête inférieure du comble (CD, CD'), il suffit de prendre un point quelconque (m, m') de cette arête, et de mener le rayon lumineux (nui, mV); la projection horizontale de ce rayon allant rencontrer la trace np du mur en », on projettera ce point sur «V en «', et l'horizontale n'p' sera la limite de l'ombre cherchée.

Enfin , les ombres indiquées ici sur le plan horizontal sont censées reçues par le sol inférieur, et leurs limites seraient au delà du cadre de notre épure; c'est pour-