CHAPITRE H. — EXEMPLES DIVERS

quoi il n'y a pas lieu de nous en occuper. Mais les contours de ces ombres seraient bien faciles à tracer, d'après tous les détails précédents , si l'on avait marqué sur l'élévation la hauteur absolue du comble au-dessus du sol.

53. Nom avertissons ici le lecteur que, dans cette épure et dans les suivante», les hachures pointillées indiquent des ombres qui sont invisibles relativement au plan de projection sur lequel elles se trouvent.

Ombres d'une Niche.

54. (PL 4-) La niche dont il est question a pour surface intérieure un demi* cylindre de révolution (ACB, A"A'B'B"), lequel est surmonté d'un quart de sphère (ACB, A'D'B') qui est tangent au cylindre tout le long de sa base supérieure. Cette niche est entourée d'un chambranle (Aa, ax, AV'a'dWB'') dont la partie circulaire, qui se nomme archivolte y présente une zone conique comprise entre les cercles qui ont pour rayons O'A' et OV 3 . Le chambranle est en saillie sur le parement txyu du mur vertical dans lequel est pratiquée la niche; puis, dans toute la hauteur entre u/kf et le sol XY, ce mur est revêtu d'une plinthe dont la saillie est comprise entre vxyu et wabk. Enfin, au bas delà niche» se trouve une tablette (fyhi, g'g"U'h!) qui est soutenue par deux jambages (tâp, d^y ô") et (Xtt6, X'îtV'X").

Observons d'ailleurs qu'ici le plan horizontal représente , non pas une projection, mais plutôt une coupe faite à la hauteur de la tablette A"B"; quant à la projection verticale que l'on nomme Y élévation, elle est faite sur le plan XY situé en arriéra de la niche ; mais pour expliquer les constructions géométriques, nous emploierons souvent, comme plail vertical, le plan de tête AB qui passe par le centre de la sphère.

55. Occupons- nous d'abord de l'intérieur de la niche; et comme la direction (S, S'), adoptée pour les rayons lumineux, montre évidemment que la portion du cylindre ACB qui avoisine l'arête verticale (A, A" A 7 ) sera obscure, tandis que la face Aa du chambranle sera éclairée, j'en conclus que cette arête est une ligne de séparation d'ombre et de lumière. Pour trouver l'ombre qu'elle portera, j'imagine une droite mobile qui glisse parallèlement à (S, S') le long de l'arête (A, A "A 7 ) ; cela produit un plan vertical dont la trace est AC parallèle à S, et qui doit couper le cylindre droit suivant une de ces génératrices, laquelle est évidemment la ligne (G, C"C); mais cette ombre devra se terminer au point C où aboutit le rayon lumineux A'C mené par l'extrémité A' de l'arête en question.

66. A partir de la position (A'C', AG), le rayon lumineux va glisser le long de Y arc de téie (A'D'B', AB), et il produira ainsi un cylindre oblique dont il faut trouver l'intersection avec le cylindre droit de la niche. Si donc je prends un point quelconque (P, V) sur l'arc de tête, et que je mène le rayon lumineux (PQ, FQO, il ira percer le cylindre vertical ACB dans un point évidemment projeté en Q sur sa base ;

puis, en rapportant ce dernier sur FQ 7 , j'aurai un point Q 7 de la courbe demandée C'Q'N'M' laquelle devra être tangente à la verticale C'C". En effet, cette dernière droite se trouve située à la fois dans le plan tangent du cylindre de la niche le long de l'arête (C, C'C"), et dans le plan vertical AC qui est tangent au cylindre lumineux pour le point (A, A 7 ), et conséquemment tout le long de la génératrice (AC, A'C') : donc la droite (C, C"C) est bien l'intersection des plans tangents aux deux cylindres par le point (C, C'), et dès lors elle est la tangente à la courbe d'intersection de ces surfaces.

57. Observons, en outre, que la courbe CQ'N', considérée comme ligne d'ombre , devra se terminer au point M 7 où elle rencontrera le cercle horizontal (A'B 7 , ACB) ; car, au-dessus de ce plan, l'ombre portée par Tare de tête tombera sur une surface nouvelle , qui est la sphère, et y tracera une courbe de nature différente dont nous nous occuperons plus tard. Or, comme cette limite M' n'est pas connue d'avance, il faut savoir prolonger la courbe C'Q'N' au-dessus de A'B 7 , en la construisant comme l'intersection totale des deux cylindres indiqués au numéro précédent.

Pour cela , achevons le cercle A'D'B'P", et observons que le point P répondant à deux points différents P 7 et P 7/ de ce cercle , il y a deux génératrices du cylindre oblique qui sont projetées sur PQ , et qui ont pour projections verticales FQ 7 et P^Q 77 ; d'où il résulte que le point de rencontre Q fournit deux points distincts Q 7 et Q 77 de la courbe cherchée. D'un autre côté à la même projection verticale P 7 p 7 d'un rayon lumineux , correspondent deux projections différentes'sur le plan horizontal, savoir PQ et pq , lesquelles fournissent deux points Q 7 et c( appartenant encore à la courbe d'intersection ; donc cette ligne est enfin représentée sur le plafh vertical par

CWM 7 U'B , tty/N' 7 'Q 77 C 7 .

La première de ces deux méthodes revient à couper les deux cylindres par des plans verticaux PQ, EN,... qui sont parallèles à la fois aux génératrices des deux surfaces , suivant la règle donnée en Géométrie descriptive ; et l'on trouverait semblablement une seconde branche d'intersection, aussi fermée , si l'on achevait le cercle ACB qui sert de base au cylindre de la niche ; mais cette dernière branche n'a aucun rapport immédiat avec le problème d'ombre qui nous occupe.

58. (PL 40 Ombre sur la sphère. Cette ombre est produite par l'intersection de la sphère avec le cylindre oblique formé par les rayons lumineux qui rasent l'are de tête (A'D 7 B 7 , AB); si donc nous coupons ces deux surfaces par des plans E 7 / r G'H',„. qui soient parallèles au rayon de lumière et en même temps perpendiculaires au plan vertical (lequel est ici le plan de tête AB), nous n'aurons à combiner entre elles que des sections rectilignes et circulaires. Or, le premier E'O' de ces plans sécants coupe la sphère suivant un grand cercle que , pour plus de clarté, nous transporterons parallèlement à lui-même, jusqu'à ce que son diamètre E'OV ait pria