CHAPITRE H. — EXEMPLES DIVERS

la position E"OV ; si donc nous désignons ce plan ainsi transportésur la fig. 3, sous le nom de plan auxiliaire de projection, et que nous le rabattions autour de sa ligne de terre EV, le demi-cercle situé dans l'hémisphère postérieur deviendra E" VV. D'ailleurs ce plan sécant E'O' renfermait le rayon lumineux (E'O 7 , ES) dont il est facile de retrouver la position sur le plan auxiliaire rabattu ; car ce rayon était l'hypoténuse d'un triangle rectangle qui avait pour côtés E'O 7 et l'horizontale (OS, O 7 ) ; donc si Ton prend sur la perpendiculaire à E"0" une distance 0"S" égale à OS , la droite E"S" sera le rabattement du rayon lumineux.

59. Gela posé, le rayon lumineux E"S" et le grand cercle E" VV se trouvant tous deux dans le même plan sécant E'O', ne pourront manquer de se couper en un point qui sera celui où ce rayon va percer la sphère ; or, comme ce point est évidemment projeté en F ;/ sur le plan auxiliaire, on en déduira sa projection F' sur le plan vertical primitif , au moyen d'à ne perpendiculaire F"F' à la ligne de terre EV relative à ces deux plans.

Ensuite, un autre plan sécant G'H' coupera le cylindre oblique suivant un rayon lumineux qui se projettera sur G" H" mené parallèlement à E"S"; ce même plan coupera la sphère suivant un petit cercle projeté sur la circonférence décrite avec 0"G" pour rayon; donc le point de section H" de ces deux lignes, étant ramené sur le plan vertical primitif, fournira un nouveau point H' de la ligne d'ombre cherchée, laquelle sera enfin F'H'K'L'. Cette courbe doit évidemment passer par le point L' où le rayon lumineux projeté sur L'U', devient tangent à la sphère; et la méthode précédente, si on voulait rappliquer au point L', conduirait aussi à cette conséquence.

60. On doit apercevoir que la courbe d'ombre qui nous occupe se trouve projetée suivant une droite 0"K"H"F" sur le plan auxiliaire. En effet, si l'on considère deux points quelconques F ;/ et H" de cette projection, on voit qu'ils appartiennent à deux triangles isocèles 0"E"F" et 0"G"H", dans lesquels les angles à la base E" et G" sont égaux ; d'où il résulte nécessairement que les deux angles au sommet E"0"F" et G"0"H", sont aussi égaux, et, par suite, les deux derniers côtés 0"F" et 0"H" doivent coïncider en direction. De là nous conclurons que l'ombre portée par l'arc de tête (AD B r , ÂB) sur la partie sphérique de la niche est une courbe plane, laquelle ne peut être qu'un grand cercle de cette sphère , puisque sa projection 0"F" passe par le centre 0" ; par conséquent aussi la projection L'H'F'P" de cette ligne d'ombre sur l'élévation est une ellipse qui a pour grand axe le diamètre P"L'.

61. On pouvait prévoir ces résultats d'après le théorème démontré au n° 745 de la Géométrie descriptive; car on a vu que quand la courbe if entrée d'une sphère et d'un cylindre est plane, la courbe de sortie est aussi plane , et égale à la première; de plus, le plan de la courbe de sortie est perpendiculaire à un plan auxiliaire qui serait ù la fois parallèle aux génératrices du cylindre et perpendiculaire à la courbe d'entrée. Or, ici le cylindre oblique des rayons lumineux a pour ligne commune avec la

sphère , ou pour courbe d'entrée , le grand cercle A'D'B'; par conséquent le théorème rappelé ci-dessus s'applique an problème» actuel.

. 62. Si l'on veut profiter de ce théorème potrr simplifier la contraction dte l'ombre portée- •sur la partie sphérique de la niche, il faudra dire immédiatement (rt°58) que Ton adopte un plan auxiliaire Ë'O' parallèle au rayon lumineux et perpendiculaire au cercle vertical A'D'B', qui est la courbe d'entrée, parce qu'il est certain que la courbe de sortie, ou la ligne cP ombre, se projettera sur un pareil plan suivant un diamètre. Ensuite on transportera ce plan auxiliaire parallèlement à loimême avec le grand cercle qu'il contient , et ou les rabattra suivant E" VV ; puis, comme au n° 58, on construira le rabattement E"S" du rayon lumineux , qui ira rencontrer le grand cercle au point F" ; et dès lors on pourra affirmer que la courbe d'ombre est projetée latéralement suivant la droite 0"F" sans tracer aucun des petits cercles que nous avions employés au n" 59.

Maintenant, pour revenir de la projection auxiliaire 0"F" à la projection sur le plan vertical , il suffira de tracer divers rayons lumineux G'H' , FK 7 ,... , lesquels seront projetés sur le plan auxiliaire suivant les droites G 7/ B 7/ , FK' 7 ,... parallèles àE /7 S 77 ; et les points H' 7 , K 77 ,.,. où ces derniers rencontreront le diamètre O^F*, étant rapportés sur le plan vertical par des perpendiculaires à la ligne de terre EV 7 , fourniront autant de points H'K'... de la courbe cherchée L 7 K 7 H 7 F 7 F 7 .

63. (Pi. 4). fti point de raccordement. La courbe d'ombre portée sur la sphère par Parc de tête ( A / D / B' , ÀB) doit évidemment se terminer au point M 7 oit elle rencontrera le cercle horizontal ( À 7 B' , ACB) r puisque ce cercle est la limite qui sépare la sphère du cylindre droit ; et, par la même raison , ce point M' devra aussi appartenir à l'ombre portée déjà sur ce cylindre par le même arc de tête. De plus , en ce point commun M 7 , les deux courbes L 7 H 7 M 7 et C 7 Q'M 7 devront se raccorder, c'està-dire avoir la même tangente. En effet , pour l'une ou pour l'antre de ces courbes, la tangente sera l'intersection du plan tangent au cylindre lumineux le long «te la génératrice M'D 7 , avec le plan tangent de la sphère en Vf , ou avec le plan tangent du cylindre droit en M'* r or ces deux derniers plans sont confondus pour ce point, puisque la sphère et le cylindre droit se touchent tout le long du cercle horizontal (A 7 B 7 , ACB); donc aussi les tangentes aux deux courbes ne formeront qu'une seule et même ligne droite. Ces diverses circonstances doivent faire sentir combien il est important de savoir déterminer ce point W par une construction directe, afin que le contour de l'ombre totale n'offre pas en cet endroit une discontinuité qui choquerait l'oeil ; et c'est cette recherche qui va nous occuper.

Gft. Le point (M , M 7 ) qu'il s'agit d'obtenir se trouve à la fois sur deux grands cercles de la sphère , savoir : le cercle horizontal (ACB , A 7 B 7 ) , et le grand cercle cPombre portée , lequel est projeté latéralement sur la droite O^F* ; donc le point en question se trouvera placé sur le diamètre horizontal qui sera l'intersection des plans de ces deux grands cercles. Or ce diamètre inconnu , que je représente provi-

CHAPJTAE 11. — EXEMPLES JMYfifiS.

soirement par OR , serait déterminé si j'avais la distance BR à laquelle il va renonntrar la tangente horizontale (BR , B') ; mai6 cette tangente se projette évidemment, sur le plan auxiliaire, suivant la droite B,B' perpendiculaire à la ligne de terre; d'ailleurs , le diamètre inconnu étant dans le plan de la oourbe d'ombre, il a pour projection la droite 0"F" qui va rencontrer B 2 B' au point R"; donc la longueur B a R" est la portion cherchée de la tangente horizontale (BR, B') , car cette dernière droite était parallèle au plan auxiliaire , -et a dû s'y projeter en vraie grandeur.

Ainsi, il faudra porter la longueur B,R" de B en R; puis, en tirant RO, 05 diamètre coupera le cercle ÂCB en un point M que Ton projettera en M' sur A'B', Dans la pratique , on pourra simplifier cette opération en l'exécutant sur le cercle A'D'B', que Ton recréera comme le rabattement du cercle horizontal ( ACB, A'B' ) autour de la droite A'B'; mais no os n'avons pas voulu parler d'abord de ce nouveau rabattement, parce qu'il aurait rendu les raisonnements plus longs et moins faciles à saisie

. 65. Il arrive quelquefois que le point R" se trouve à une diâtanoe très-grande et incommode ; alors , pour déterminer le diamètre inconnu OR , il n'y a qu'à chercher le point Z ou il rencontre l'autre tangente VZ. Or le point ( V , O' ) se projette en Y" sur le plan auxiliaire, et V"Z" représente alors la distance cherchée; mais comme elle ne se projette pas ici en vraie grandeur, il faudra projeter le point Z" sur A'B' en Z', puis ramener ce dernier point sur VZ, et tirer le diamètre ZO qui fera connaître le point M.

66. De Ja tangente. Cette «droite s'obtiendrait, pour un point quelconque H' , par la règle générale qui «consiste à combiner le plan tangent du cylindre oblique le long du rayon lumineux G'H' , avec le plan tangent de la sphère au point H'; mais il sera plus simple de remplacer ce dernier plan tangent par le plan môme de la ligne d'ombre que nous savons être ici une oourbe plane ; et c'est cette méthode que nous aUonsappliquer spécialement au point M' qui offre le plus d'inténôL

Le plan de la oourbe d'ombre passe par In centre O' de la epbère , et ausBi par le point U qui appartient à la oourbe même ; «tancO'L'O" est la trace de ce plan sur le plan de tête AB que nous adoptons pour plan vertical de projection. Ëauéte, le plan tangent du cylindre oblique pour le point M! doit passer par le rayon lumineux M'D et par la tangente D'T' menée à Tare de télé qui est la directrice de ee cylindre; donc cette tangente, qui se trouve dans le plan de tête, est poécisémetft la trace verticale du plan tangent au cylindre oblique. Par conséquent le point T' on se couperont les deux traces O'L'O" et D'T', sera un point de l'intersection du plan tangent avec le plan de la courbe , et par suite uti point de la tangente <cheiv chée , laquelle sera donc projetée sur TMf. U faudra se souvenir que cette droite dûii m trouver aussi tangente à la courbe C'Q'N'M' , puisque nous avons prouvé ( n° 63 ) que les deux courbes d'ombre se raccordaient au point M'*

24 LIVftB I. — THÉORIE DES OMBRES,

67. Au reste , lej>lan tangent de la sphère pour le point (M , M') était bien aisé à obtenir, puisqu'il est évidemment vertical et a pour traces MT et T9; de sorte que cette dernière ligne doit aller couper la trace DT précisément au point T déjà déterminé. Mais cette seconde méthode serait beaucoup moins simple , s'il s'agissait d'un point quelconque H 7 .

68. (Pi. 4)- Ombres du chambranle. L'arête verticale (6, b" b') est évidemment une ligne de séparation d'ombre et de lumière , puisque la face B6 est éclairée , tandis que la face by ne Test pas* Donc le rayon lumineux , en glissant le long de cette arête , va produire un plan vertical bë qui coupera le parement yu du mur suivant une droite 6" 6', laquelle se terminera au points' où aboutit le rayon lumineux (AS, b'g)*

69. A partir de cette dernière position , le rayon lumineux va glisser le long de l'archivolte , et produira un cylindre oblique ayant pour directrice le cercle vertical (b f l f d f , ab). Donc ce cylindre ira couper le parement yu du mur suivant un cercle égal au précédent, et dont le centre («, «') se trouve en tirant une parallèle (ou , OV) aux rayons lumineul. Ainsi , avec un rayon a/? égal à O'b' , on décrira un arc de cercle S'X' qu'il faudra terminer au point X' correspondant au diamètre u!ï! qui sera perpendiculaire au rayon lumineux; puis, à partir de ce point, le contour de l'ombre sera complété par la droite /'X' qui doit se trouver parallèle au rayon lumineux et tangente à la fois aux deux cercles b f l ! et S'X'.

En effet, la saillie que présente- l'archivolte sur le parement vxyu du mur a la forme d'un petit cylindre droit dont les génératrices sont perpendiculaires au plan vertical ; et c'est en glissant sur la base antérieure (b'I'd'a! , ba) de ce cylindre que le rayon lumineux trace la courbe d'ombre S'X'. Or, quand ce rayon mobile est arrivé au point f et qu'il va percer alors le parement du mur en X' , il est devenu évidemment tangent au cylindre de l'archivolte ; donc dès lors il ne continuera pas sa course sur le cercle antérieur , car il entrerait ainsi dans le solide cylindrique ; mais il glissera sur la génératrice projetée au point /' , et produira un plan d'ombre perpendiculaire au plan vertical , dont la trace sera la tangente /'X' elle-même.

Ces détails, et d'autres analogues qui se rencontreront dans la suite, paraîtront peut-être trop minutieux ; mais nous avons cru devoir nous y arrêter t pour apprendre au Dessinateur-Géomètre à étudier soigneusement les formes et les causes des discontinuités et des ressauts que présentent souvent les contours des ombres , dans les corps naturels ; car ce sont là des circonstances indispensables à reproduire pour accuser les formes dans toute leur vérité.

70. Ombres de ta tablette. L'arête inférieure ( j/, jf") est évidemment une ligne de séparation d'ombre et de lumière, puisque la face latérale de la tablette, à gauche, est éclairée, tandis que la face inférieure ne l'est pas; donc le rayon lumineux, en glissant sur cette arête, produira un plan d'ombre perpendiculaire au plan vertical et dont la trace sera la droite $V parallèle à S'. On pourrait trouver la