CHAPITRE IL — EXEMPLES DIVJBBS

Gela posé , si noua considérons sur Tare de télé un point quelconque E" qui sera évidemment projeté en E' sur le plan vertical , et que par ce point nous menions un rayon lumineux, il sera projeté sur le plan auxiliaire suivant E"F" parallèle à CS", et verticalement suivant E'F' parallèle à C'S'; donc ce rayon ne pourra percer le berceau de l'arche que sur la génératrice horizontale projetée latéralement au point F". Or il est facile de retrouver cette génératrice sur le plan vertical , en prenant Gf égal à la hauteur du point F" au-dessus de la naissance CA , et en tirant l'horizontale /'F'; donc le point F' où cette génératrice /'F' va couper la projection E'F', est un point de la courbe d'ombre qu'il s'agit de traoer, et tous les autre» s'obtiendront d'une manière semblable.

75. Lorsqu'on choisira pour point de départ du rayon lumineux le point H" où sa projection latérale H"L" est tangente à la base du berceau , ce rayon deviendra évidemment tangent à ce cylindre droit; de sorte que son point d'entrée et son point de sortie étant coofondos, le point (H", H') sera le premier point de la ligne d'ombre portée snr le berceau ; et au-dessous , la portion H"C de l'arc de tête cesse d'être une ligne de séparation d'ombre et de lumière.

Au contraire , quand on considérera le rayon lumineux (A"G", A'G') parti du sommet (À", A 7 ) de l'arc de tête, on obtiendra par la méthode générale le dernier point G' de la courbe d'ombre , attendu qu'ici le cintre de l'arche est supposé terminé au sommet A" ; mais si le cercle CA" était complètement achevé , il faudrait continuer les constructions générales jusqu'au point diamétralement opposé à H",

76. La courbe d'ombre qui nous occupe est nécessairement une ellipse , et con~ séqueounent il en est de même de sa projection H' F' G'. En effet , cette courbe résulte de l'intersection du berceau de l'arche avec le cylindre oblique formé par les rayons lumineux qui s'appuient 6ur l'arc de tête (CA", CÀ), lequel se trouve ainsi la base commune de ces deux cylindres; or, nous avons démontré au n° 748 de la Géométrie descriptive que , quand deux cylindres du second degré se coupent suivant une première courbe plane que l'on nomme courbe d'entrée, la seconde branche d'intersection 7 ou la courbe de sortie, est aussi plane; donc cette dernière ne peut être ici qu'une ellipse.

D'ailleurs, comme nous avons reconnu (n° 75) que le point H" appartenait à la courbe de sortie , et qu'il en serait évidemment de même du point diamétralement opposé à celui-là sur le cercle de tète CA", il s'ensuit que le diamètre AH" est l'intersection commune du plan de la courbe de sortie avec le plan de la courbe d'entrée.

77. (PL 5.) De la tangente. Pour un point quelconque F' de la courbe G'F'H', la tangente pourrait s'obtenir par la méthode ordinaire , en cherchant l'intersection des deux plans qui sont tangents dans le point (F, F"), l'un au cylindre droit de la voûte, l'autre au cylindre oblique des rayons lumineux; mais, puisqu'ici la courbe d'ombre est plane (n° 76), il sera plus simple de combiner le plan de cette courbe avec mm seul des plans tangents aux cylindres. D'ailleurs cette seconde méthode

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devient la seule applicable au point (H', H 77 ), parce qu'en cet endroit les deux plans tangents sont confondus et laisseraient la tangente indéterminée.

En effet , le plan tangent du berceau de l'arche passe par la tangente H"L" menée à Tare de télé, et par la génératrice horizontale qui se projette sur le plan auxiliaire AC au point H"; donc ce plan tangent est perpendiculaire au plan auxiliaire, et a pour trace H"L". Quant au plan tangent du cylindre oblique, il doit passer encore par la même tangente H"L" et par le rayon lumineux qui part du point (H' 7 , H'); mais ce rayon particulier est projeté sur le plan auxiliaire suivant la droite H"L" elle-même ; donc ce deuxième plan tangent est aussi perpendiculaire au plan auxiliaire, et il a la même trace H" L" que le premier plan tangent ; par conséquent il se confond avec lui , et leur intersection demeure indéterminée.

78. Pour obtenir la tangente au point (H 7 , H") nous sommes donc obligés de combiner le plan tangent du berceau de l'arohe avec le plan de la courbe d'ombre, et nous allons chercher leurs traces sur le plan vertical CD tangent à la naissance de la voûte , lequel est plus rapproché de nos constructions. Or le plan tangent du berceau , conduit par la droite H"L", ira couper le plan vertical CD suivant une horizontale qui passera évidemment par le point rabattu en L 77 ; donc en relevant ce point autour de AC, il se projettera en L', et la droite L'T sera la projection de la trace verticale de ce plan tangent.

Quant au plan de la courbe d'ombre, il passe (n° 76) par le diamètre AH" qui va percer le plan vertical CD au point M", lequel doit être évidemment relevé en M 7 . D'ailleurs ce même plan devra contenir une parallèle à ce diamètre , qui sera menée par un point quelconque de la courbe , tel que (G", G 7 ); or cette parallèle a évidemment pour projections la droite G"N" parallèle à AH", et la verticale G'N'; et comme elle va percer le plan vertical CD au point N' 7 qui doit être relevé et reporté en N' sur G'N' y il s'ensuit que M'N' est la projection de la trace verticale du plan de la courbe d'ombre. Donc enfin , les deux traces M 7 N 7 et L'T 7 allant se couper au point T, la droite T'H' est la tangente demandée.

79. 11 est bon d'observer que le point K 7 où la trace M'N' va couper la génératrice' (CD, CD 7 ) située à la naissance du berceau , appartient nécessairement à la courbe d'ombre prolongée ; et que cette courbe doit être tangente à la trace M 7 N 7 au point K 7 . En effet , cette trace est l'intersection du plan de la courbe d'ombre avec le plan vertical CD ; et celui-ci se trouve tangent au berceau tout le long de la génératrice (CD, CD 7 ).

80. Pour achever le contour des ombres portées sur le berceau de l'arche , il faut reprendre la marche du rayon lumineux à partir de la position (A" G 77 , A 7 G 7 ) où il était parvenu au point culminant du cintre; et observer que , dans cette position, ce rayon avait pour projection horizontale AG parallèle à CS; donc si l'on projette sur cette droite le point G" en G, ce dernier point devra correspondre à G 7 , ce qui fournira une vérification des constructions antérieures. Ensuite , puisque l'arche est