CHAPITRE II. — EXEMPLES DIVEBS. SI
tion actuelle, et où Ton voit que la projection horizontale PQ de ce rayon ne coupe pas* te cercle DI. Dans ce cas, le rayon (PQ, P'Q') va percer le mur vertical du quai an point (9, 90? * la droite q[b' est encore l'ombre portée par la fin de l'arête culminante du berceau; mais sur l'éperon, Tare d'ellipse R'V n'existe plus, et la courbe DVf/ se prolonge jusqu'au point p! où le rayon lumineux (XV, X'//) devient tangent au cylindre vertical W. Par conséquent ce rayon poursuivra sa route jusqu'au point (W, W) où il rencontre le mur de quai , et ce mur recevra ici une nouvelle courbe d'ombre WY produite par la portion X"Q" du cintre de l' arche : cette courbe, qui sera un arc d'ellipse , se construira en prenant sur le cintre rabattu un point intermédiaire entre X" et Q", et après avoir ramené ce point dans ses projections verticale et horizontale , on tracera le rayon lumineux qui y correspond , puis on cherchera son intersection avec le plan vertical Wé, ainsi que le montre notre épure auxiliaire. Enfin, il existera toujours sur l'éperon une ligne de séparation d'ombre et de lumière qui sera l'arête de contact (V, y y!) de ce cylindre avec le plan tangent VW parallèle aux rayons lumineux ; et ce plan tangent ira couper le mur de quai suivant la verticale WW, qui sera l'ombre portée sur ce mur par le cylindre de l'éperon.
87. (PL 5, fig. a). Revenons à l'épure principale, et observons que le socle m, qui est terminé par un cylindre vertical , présentera aussi une ligne de séparation d'ombre et de lumière, laquelle sera l'arête de contact (*, t>V) du plan tangent vu mené parallèlement aux rayons de lumière. Ce plan ira couper, suivant la droite (u y d u") , la face verticale mu du socle qui règne au pied du mur de quai , et cette même face recevra aussi l'ombre u y m f portée par l'arc (vm, t/m'), cette dernière ombre vf m', qui est une portion d'ellipse , se construira aisément en tirant un rayon lumineux par chaque point de l'arc (um, t/m'), ainsi que l'indique l'épure; et la courbe u' m' devra évidemment être tangente à la droite vl u!'.
88. Ombres sur l'éperon CO. Le fût de cet éperon recevra l'ombre portée par le cercle inférieur (pmq, p'm'tf) du bandeau cylindrique, et cette ombre, qui sem l'intersection de deux cylindres, se construira en menant par un point quelconque (q, <f) de ce cercle un rayon lumineux (gr, çV); la projection horizontale allant percer la base CO de l'éperon au point r, on en déduira le point r' de la courbe cherchée o'rY; et le premier point d de cette courbe s'obtiendra en traçant la projection horizontale am du rayon lumineux qui doit rencontrer la verticale o t d'où Pon conclura le point m' par lequel bn mènera une parallèle à C S'.
Ensuite , le reste mp de l'arc du bandeau portera son ombre sur le mur de quai , et y produira une portion d'ellipse pV h' dont il vaudra mieux construire un point plus éloigné, tel que ft', en prolongeant le rayon lumineux (<yr, 9V) jusqu'à ce qu'il coupe en (h , h!) le plan vertical xy.
89. Le cordon saillant qui règne en dehors du parapet du quai projettera sur le mur de revêtement une ombre évidemment rectiligne et que Ton trouvera en tirant
32 LIVRE I. — THÉOBIE DES OMBRBS.
par un poiut quelconque {k , k f ) de l'arête inférieure du cordon , un rayon lumineux {kx, k! x') ; cette droite allant percer le plan vertical xy au pointa; que -l'on projettera en x', il restera à mener une horizontale par ce dernier point. Il suffira d'ailleurs de prolonger cette horizontale vers le côté droit de l'épure, pour obtenir l'ombre semblable portée sur cette partie du mur de quai.
90. Toutefois , s'il arrivait que le point x' fût placé plus haut que l'extrémité inférieure G' de la doucine <p'0', cela indiquerait que l'ombre du cordon tombe, non plus sur le mur de quai , mais sur cette moulure ; et comme elle est formée par un cylindre dont les génératrices sont parallèles à la fois aux deux plans qui ont pour ligne de terre XY, l'emploi de ces deux plans ne suffirait plus, et il faudrait recourir au plan vertical auxiliaire AG. Nous avons déjà projeté le rayon lumineux (CS, C'S') sur ce plan auxiliaire (n° 75) , en abaissant la perpendiculaire (SA, S'a 7 ) ; mais alors nous avions rabattu cette projection sur le plan horizontal , et ici nous la rabattrons sur le plan vertical XY, en faisant tourner le plan de tête AG autour de la verticale G ; dans ce mouvement , le pied (A , d) de la perpendiculaire ira évidemment se transporter en (a , S'") , de sorte que C' S'" sera le rabattement actuel de la pro • jection auxiliaire du rayon lumineux. D'ailleurs, le contour <j/<p'0', qui représente le profil du cordon relatif au parapet du pont , peut aussi être considéré comme le rabattement du profil que tracerait le plan vertical AG y dans le cordon du parapet du quai , attendu que ces deux cordons sont formés par des cylindres identiques dont les génératrices se coupent a, angles droits. Si donc , par le point ç' , on tire une droite parallèle à CS"', elle ira couper la courbe <j'6' en un point duquel il faudra mener une horizontale pour avoir l'ombre portée par le cordon sur la doucine. Cette construction, que nous ne faisons qu'indiquer ici, sera bien facile à exécuter par le lecteur, quand son épure offrira des données qui admettront ce résultat.
91. Enfin , il faudra tracer les ombres portées par le parapet du pont sur le trottoir, et par celui-ci sur la chaussée ; mais ces détails sont indiqués dans notre épure assez clairement pour qu'il devienne superflu d'ajouter de nouvelles explications.
Ombres <fun Piédouche.
92. (PL 6, fig. i .) Un piédouche se compose principalement de trois parties , terminées toutes par des surfaces de révolution qui ont un axe commun et vertical : i° le bandeau cylindrique décrit par la révolution de la verticale G' G"; a° la scotie dont la méridienne G'H'K' est une courbe qui tourne sa concavité à l'extérieur et qui se termine par deux tangentes horizontales ; 3° la base cylindrique décrite par la révolution de la verticale K'K". Le piédouche fait ordinairement partie des moulures qui entrent dans les bases des colonnes ; d'autres fois , et c'est le cas que nous considérons ici , le piédouche est employé comme un support isolé pour soutenir un
CHÀPJTAE II. — fcXKMPLES DIVERS. 33
buste ou quelque autre objet portatif. Dans ce cas , il est souvent accompagné de diverses moulures, telles que celles qui sont marquées dans lajty. a ; on y voit audessus de la sco lie deux filets cylindriques séparés par un petit tore, en forme de cordon saillant; puis, au-dessous de la scotie, se trouvent un autre filet cylindrique, un quart de rond et enfin un dernier cylindre pour base. Mais afin de manifester plus clairement aux yeux du lecteur les circonstances délicates et importantes qu'offre la détermination géométrique des ombres du piédouche, nous réduirons ce corps aux trois parties essentielles qui sont indiquées dans la fig. 1 •
93. (Fig. 2.) Pour tracer la scotie, on peut employer deux cavets ou quarts de cercle qui se raccordent ; et si Ton observe que la distance GL doit être la somme des rayons, et KL leur différence, on verra aisément qu'en élevant la verticale KO' égale à la demi-somme KD plus la demi-différence DO 7 , on obtiendra le rayon O'K de Tare inférieur KH, et le rayon OG de Tare supérieur 6H.
• 9&. Pour donner plus ou moins de profondeur à la scotie, on peut prendre le rayon go arbitraire , et décrire un arc indéfini gh; puis élever la perpendiculaire kd égale à go, tirer la droite od, et sur son milieu on élèvera la perpendiculaire io\ laquelle ira rencontrer la verticale kd au point o' qui sera le centre de Tare inférieur kh. Car on doit voir que ces deux arcs se raccorderont au point h situé spr la ligne des centres 00'.
95. (PL 6, fig. 3.) 11 est vrai que dans les deux méthodes précédentes, la méridienne offre aux points H et A un changement subit de courbure ; pour éviter cet inconvénient, il vaudrait mieux tracer un demi-cercle sur la droite GK comme diamètre , ou môme tracer une demi-ellipse qui aurait GK pour grand axe et un petit axe arbitraire; puis, on inclinerait toutes les ordonnées de cette première courbe de manière! à les rendre parallèles à l'horizontale GI, ainsi qu'on le voit dans là fig. 3; et l'on obtiendrait ainsi pour méridienne une demi-ellipse continue, laquelle serait bien terminée par deux tangentes horizontales.
96. (PL 6, fig. 1 .) Revenons à la figure principale que nous supposons éclairée par des rayons lumineux tous parallèles à la direction (OS, O'S'), et cherchons d'abord la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur la scotie. Cette courbe étant la ligne de contact de la surface de révolution avec un cylindre circonscrit qui serait parallèle à la droite (OS, O'S'), il suffira d'appliquer ici la méthode exposée au n # 38b de la Géométrie descriptive ,• et nous allons seulement la rappeler d'une ma- ' nière succincte.
97. Soit Fp' un parallèle quelconque de la surface de révolution , et Cp l la tangente du méridien qui correspond à ce parallèle : cette tangente décrira , en tournant avec la méridienne, un cône droit auquel il faudra mener deux plans tangents qui soient parallèles aux rayons lumineux. Pour cela , transportons ce cône parallèlement à lui-même jusqu'à ce que son sommet G vienne au point O 7 par lequel * nous avons déjà mené le rayon lumineux (OS, O'S') ; alors la génératrice de ce cône
hk LIVRE I. — THEORIE DBS OMBHB*.
deviendra la droite WV parallèle à C'p', et la trace horizontale sera le cercle du rayon OT. Si doqc on décrit un demi-cercle sur OS comme diamètre, les points d'intersection de ces deux circonférences feront connaître les génératrices 01 et Oi suivant lesquelles le cône est touché par les plans tangents dont nous avons parlé. Ensuite, les points M et m où ces génératrices rencontreront le parallèle Pp seront deux points de la courbe cherchée, et leurs projections verticales M' et m' s'en déduiront immédiatement.
On peut encore trouver deux autres points sans de nouvelles opérations, pourvu qu'on choisisse un parallèle QY P our lequel la tangente de la méridienne au point (y soit parallèle à C'p'/ car on a vu, en géométrie descriptive, qu'il suffisait de prolonger les rayons 01 et Oî jusqu'aux points n et N où ils vont rencontrer le cercle Q</, puis de projeter ces points en vl et N',
98. On trouve directement les deux points (D, D') et (rf, d!) situés sur le cercle de gorge ,4>arce que les plans tangents parallèles au rayon lumineux étant ici verticaux, leurs points de contact seront donnés par le diamètre Drf perpendiculaire à OS. Par une raison semblable , on obtiendra les points situés sur la méridienne principale en menant des tangentes à cette méridienne qui soient parallèles à la projectiontO'S'.
99. Le point le plus haut de la courbe- doit être évidemment dans le plan vertical OS , et il s'obtiendrait en menant à cette méridienne une tangente parallèle au rayon lumineux. Pour effectuer cette construction , on rabattra cette méridienne sur le plan vertical, et on cherchera le point d où la tangente est parallèle au rayon rabattu O'S"; puis, après avoir projeté ce point a' en a, on ramènera celui-ci par un arc de cercle en A, et enfin on projettera ce dernier en À 7 sur l'horizontale menée par le point a'. On trouvera le point le plus bas (F, F) par une construction semblable, et la courbe de séparation d'ombre et de lumière sera enfin
(ABDMEFeroetëA, A'B'D'M'E'FVm'd'6'A').
100. Observons ici que cette ligne aura quelques points (B, B'), (6,6')> ( E ? E'), (e,*'), où les rayons de lumière seront tangents non-seulement à lascotie, mais encore à la courbe de séparation d'ombre, comme noua le démontrerons plus loin (n° 108), en donnant une méthode graphique pour les déterminer. Mais pour ne pas faire ici une digression trop longue , nous admettrons provisoirement l'existence de ces points singuliers qui sont très-remarquables , surtout parce qu'ils produiront quatre points de rebrouesement dans la courbe d'ombre portée par la soolie sur le plan horizontal.
101. Pour trouver oette ombre portée «êta?..., il suffit de prolonger les rayon» lumineux qui passent par les divers points de la courbe de séparation d'ombre, et de chercher les points où ces rayons vont percer le plan horizontal. Ainsi le point (A, A') fournira le point a de l'ombre portée ; le point (B, B') donnera le point de
