CHAPITRE II. — EXEMPLES blVBBft

rehaussement 6} le point (D,D')lepoint3; (E,E') donnera te point de rebrousse» ment • , et ainsi de suite. Mais cette ombre sera en partie recouverte par celle du bandeau et de la base, que nous allons construire.

102. D'abord , les rayons lumineux qui glisseront sur le demi-oercle supérieur (L9/, lé" g") produiront un cylindre oblique qui viendra couper le plan horizontal suivant un demi- cercle V" XV 7 dont le centre a s'obtiendra en menant un rayon de lumière par le centre (0, 0"). Ensuite le rayon lo ruineux glissera le long de la verticale L'L" qui est évidemment la séparation d'ombre sur le cylindre du bandeau , et il produira ainsi une ombre rectiligne V V" qui sera tangente au cercle précédent. Parvenu au point (L, L'), le rayon lumineux glissera le long du demi-cercle inférieur (LG/, L'G'), et produira encore un cylindre oblique qui coupera le plan horizontal suivant une demi-circonférence V'XV dont le centre sera le point (S, S').

On trouvera d'une manière semblable que l'ombre portée sur le plan horizontal par le cylindre K f k f k ff K ff se compose de deux droites UW et uw , et d'un demi-cercle WYwdont le centre est donné par le rayon de lumière qui partira du point (O, (f),

IQ& ( PL 6, fig. 1 .) Toutefois , il faut observer que le demi-cercle V'XV venant rencontrer la courbe 6&... au point y, cela indique que le rayon de lumière qui aboutit à ce point, s'appuie à la fois sur le cercle inférieur du bandeau et sur la scotie qu'il touche en un point p que l'on déterminera en tirant le rayon lumineux / p' ; de sorte qu'à partir de cette position , l'ombre du bandeau tombera sur la scotie et y tracera une courbe p'AV que Ton déterminera de la manière suivante :

On coupera la scotie par un plan horizontal quelconque QV, ce qui donnera un cercle facile à tracer sur le plan horizontal, puisque l'on connaît son diamètre Qq; le même plan sécant coupera le cylindre oblique des rayons lumineux qui s'appuient sur le bandeau , suivant un cercle égal à celui du bandeau , et dont le centre sera à la rencontre de QV avec O'S'; alors ces deux circonférences fourniront par leurs intersections deux points de la courbe cherchée, lesquels devront être projetés sur QY* Nous n'avons pas effectué ici cette construction , par la crainte de jeter de la confusion dans l'épure ; mais nous nous sommes contenté de marquer le point n qui correspond à p', et de construire le point le plus haut par la méthode suivante :

104. Ce point le plus haut est évidemment fourni par le rayon lumineux qui part 4u point (p, p ), et qui va rencontrer la méridienne située dans le plan vertical SOp; par conséquent, si l'on rabat cette méridienne sur le plan vertical , et que par le point G' on mène une parallèle G'X" à O'S", le point A", où elle coupera la méridienne principale, devra être ramené par une horizontale sur la projection p'X', et donnera ainsi le point le plus haut A' que l'on cherchait.

Il n'est pas besoin d'observer que si l'on voulait compléter, sous le rapport géométrique , la courbe en question qui est l'intersection d'une surface de révolution avec un cylindre oblique k base circulaire, on trouverait une ligne fermée dont tons les points se construiraient par la méthode du n° 103 , et doat le point le plus bas

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s'obtiendrait en agissant comme nous venons d'opérer pour le point le plus haut.

105. Le cercle WYw allant couper aussi la courbe 63e au point ç , il s'ensuit que le rayon lumineux qui aboutit à ce point Ç s'appuie en (Z, Z') sur la base du piédouche, et touche en même temps la scotie au point (<|>,i|/); par conséquent la portion (<j/ME, <f'M'E') de la séparation d'ombre et de lumière sur la scotie ira projeter son ombre sur cette surface même, suivant une courbe (EZ, E'Z') dont on pourra trouver un point intermédiaire par la construction suivante que nous ne ferons qu'indiquer au lecteur.

Par un point (M, M') on conduira un plan vertical qui soit parallèle au rayon lumineux, et l'on construira la courbe suivant laquelle ce plan coupera la scotie, ce qui sera bien facile à effectuer, puisqu'il n'y aura qu'à projeter sur le plan vertical les points où la trace horizontale de ce plan sécant rencontrera les divers parallèles de cette surface de révolution. Cela posé, en menant par le point (M, MO un rayon lumineux, sa projection verticale ira rencontrer la section dont nous venons de parler, en un point qui appartiendra à la courbe (EZ, E'Z').

106. Cette ligne d'ombre portée par la scotie sur elle-mépie viendra se terminer précisément au point (E, E% parce que nous démontrerons plus loin (n° 113) qu'en ce point singulier le rayon lumineux a un contact du second ordre avec la scotie, ce qui indique qu'alors trois points de section de la droite avec la surface se sont réunis en un seul; or cette circonstance est évidemment celle qui doit se présenter pour l'endroit où la ligne d'intersection (EZ, E'Z') se réunira à la ligne de contact (DMF, D'M'F'). On trouvera semblablement une autre branche (e% 9 e'z*) qui sera encore l'ombre portée par la scotie sur elle-même.

107. (Fig. i et 4.) Ce qui précède montre que l'arc (EF*, E'FV) de la séparation de lumière devient tout à fait inutile comme ligne d'ombre; et pour expliquer ce résultat singulier, il faut observer que les rayons lumineux qui glissent sur la scotie, depuis le point (B,B') jusqu'en (E, E'), sont tangents extérieurement à cette surface; tandis que depuis le point (E, E') jusqu'en (F, F'), les rayons lumineux seraient tangents à la paroi interne de la surface , et ne peuvent pas arriver effectivement jusqu'à ces points de contact, attendu qu'ils sont interceptés par le solide opaque du piédouche qu'ils ont déjà rencontré antérieurement. Afin de bien discerner cette différence de position , le lecteur pourra construire , par la méthode du n° 105 , plusieurs sections de la scotie faites par des plans verticaux parallèles aux rayons lumineux , lesquelles auront une forme analogue à celle que nous avon6 représentée dans la fig. 4 ; et il reconnaîtra qu'entre les point6 (B, B') et (E, E') , le rayon de lumière prend la position SMp , où il touche la section en M et va la couper ensqite en p; tandis qu'entre les points (E, E') et (F, F), le rayon lumineux prend la position S^M, dans laquelle il coupe cette section au point p 3 avant de la toucher au point M,. Mais il y aura une position intermédiaire S,e où le rayon lumineux se trouvera tangent à la section verticale précisément au point d'inflexion e,