CHAPITRE 11. — EXEMPLES DIVERS

ce qui fera réunir en cet endroit la branche d'intersection (EZ, E'Z') avec la ligne de séparation de lumière, comme nous l'avons dit n°106; et nous aurons prouvé suffisamment que cette réunion doit avoir lieu au point (E , E% lorsque nous aurons démontré (n° 113) qu'en ce point le rayon lumineux a tin contact du second ordre avec la scotie.

Semblabiement on verra que les rayons lumineux qui touchent la scotie sur Parc {BÀ6, B'A'ô') se trouvent tangents à la paroi supérieure, comme S,M 4 , mais ne peuvent arriver effectivement jusqu'au contact, tant que le plan du cercle Gg existe comme un corps opaque qui arrête les rayons de lumière en R. Il n'est pas besoin d'avertir le lecteur que si nous avons altéré le parallélisme des rayons lumineux dans la fig. 4> c'était pour ne pas avoir à construire plusieurs sections de formes analogues, quoique non identiques.

106. (PL 6, fig. 5.) Nous avons annoncé au n° 100 que la séparation d'ombre et de lumière sur la scotie présentait, en général, quatre points où les rayons lumineux étaient tangents non-seulement à cette surface, mais aussi à la courbe de séparation. Pour le démontrer, posons d'abord la question dans un ordre inverse : étant donné un point (M, M') sur la méridienne g'h! k\ trouver quelle doit être la direction du rayon lumineux passant par ce point, pour qu'il soit tangent à la fois à la surface de révolution et à la courbe de séparation d'ombre et de lumière.

D'après les théorèmes relatifs à la courbure des surfaces (G'. />., livre VIII), on sait que , dans toute surface de révolution , les sections normales de courbure maximum et de courbure minimum sont : r la méridienne dont je construirai ici le rayon de courbure M'G = R relatif au point M' ; a° la section perpendiculaire à ce méridien et passant par la normale GM'H de la surface, laquelle section a précisément pour rayon de courbure la portion M / H = R' de cette normale. En outre, on sait (G. D.j n°608) que l'on obtiendra un hyperboloïde gauche £ osculateur de la scotie tout autour de M', si l'on rend l'ellipse et l'hyperbole principales de £ osculatrices des deux sections indiquées ci-dessus. Donc, si l'on désigne par ic l'axe dirigé suivant la normale M 7 G, et par 2a et ib les autres axes, il faudrait choisir leurs longueurs de manière que l'on eût

^ = R et ^ = R'.

Mais puisque c reste arbitraire, prenons c=a y et alors l'ellipse de gorge deviendra le cercle osculateur EM'F décrit avecM'G = R, tandis que l'axe imaginaire

sera 6 = v/tf-R'=M'D qui s'obtient par une moyenne proportionnelle entre M' G et MPH, avec le soin de se représenter cet axe égal à M'D comme élevé perpendiculairement au cercle de gorge par le centre G. Par là l'hyperboloïde £ se trouve

38 LIVRE I. — TStoRIB DBS OMBEES.

complètement déterminé, et il sera oscillateur de ta scotie tout autour do point (M, M 7 ).

109. Cela posé, lorsqu'au cylindre est circonscrit à une surface quelconque, cm sait (G. D. , n° 758) que la tangente dans un point de la courbe de contact et la génératrice du cylindre qui passe par ce point, sont deux tangentes conjuguées qui jouissent de la propriété d'être respectivement parallèles à deux diamètres conjugués de la section faite, parallèlement au plan tangent , dans l'ellipsoïde ou ITiyperboloïde osculateur de la surface au point considéré. Ainsi, dans le problème qui nous occupe, le rayon lumineux tangent à la scotie en M', et la tangente à ce point de la courbe de séparation d'ombre et de lumière , seront pour chaque direction assignée aux rayons lumineux , respectivement parallèles à deux diamètres conjugués de la section hyperbolique faite dans l'hyperboloïde £ par le plan EF perpendiculaire au cercle de gorge. Or, puisque nous cherchons une direction telle que le rayon lumineux et la tangente à la courbe de séparation viennent à coïncider, il faut évidemment choisir ce rayon lumineux parallèle à f une des asymptotes de l'hyperbole projetée verticalement sur EF ; car, dans une telle courbe , on sait que deux diamètres conjugués qui se rapprochent de plus en plus l'un de l'autre, finissent par coïncider à la fois avec l'asymptote qui était la diagonale commune à tous les parallélogrammes formés par les divers couples de diamètres conjugués (*).

110. Effectuons cette construction. Les demi-axes de l'hyperbole projetée sur EF étant égaux à GF et M' D , j'imagine dans le plan tangent en M' un triangle rectangle qui ait pour base M / K / =6F, et dont le second côté perpendiculaire au plan vertical en K' soit égal à M'D; alors l'hypoténuse serait bien parallèle à l'asymptote* Or la projection horizontale de ce triangle s'obtient en projetant le point K' en I et prenant IK=M'D ; donc ME sera la projection horizontale, et M'K' la projection verticale d'un rayon lumineux qui remplira la double condition d'être tangent à la scotie et tangent à la séparation d'ombre , pour le point assigné (M, M 7 ).

111. Observons ici que ce rayon lumineux (ME , M' E') se trouve tout entier sur l'hyperboloïde osculateur £ , puisqu'il coïncide évidemment avec une des génératrices de cette surface gauche ; et par conséquent ce rayon lumineux aura aussi avec la scotie tin contact du second ordre , relation que nous aurons besoin d'invoquer plus loin.

112. (PL 6 , fig. 5.) A présent, reprenons la question dans le sens primitif: Étant donnée la direction (OS, O'S') d'un système de rayons lumineux parallèles, trouver quel est le point de la surface de révolution où le rayon de lumière sera tangent à la fois à cette surface et à la courbe de séparation d'ombre.

(*) On voit, par ce jraisoaneBQent , que le point singulier que news cherchons ici n'existera Jamais dans une surface convexe; car, pour une telle surface , la surface osculatrice 2 du second degré serait nécessairement un ellipsoïde , dans lequel toutes les sections sont des ellipses; et pour une courbe de ce genre, i! n'arrive jamais que deux diamètres conjogerés paissent coïncider Pan avec l'autre.

GHAP1TAB II. — BXHMPLBS DIVttS. g9

Pour y parvenir, je prends sur la méridienne principale ghk divers points M\ P', Q,.- et pour chacun d'eux je détermine, comme ci-dessus, les rayons lumineux (MK,M'K'), (PR, P'R'), (QT, QT),... qui rempliraient la double condition énoncée plus haut ; puis je leur mène des parallèles par le point (0,0% lesquelles forment un cône dont la trace horizontale est une courbe rki facile à construire; ensuite je fais tourner le rayon lumineux (OS, O'S') assigné par la question , autour de la verticale (0 , (V Z 7 ) , ce qui forme un second cône dont la trace horizontale est le cercle du rayon OS. Or, ce cercle allant couper en v la trace du premier cône, il en résulte que la droite (Ou, OV) est une génératrice commune aux deux cônes; et conséquemment si Ton trace la tangente N'V parallèle à OV, puis NV parallèle à Ov, on sera certain que le rayon lumineux (NV, N'V') jouira pour le point (N, N') de la propriété énoncée plus haut, et qu'en outre il fera avec la verticale le même angle que le rayon primitif (OS, O'S'). Alors il n'y aura plus qu'à faire tourner ce rayon (NV, N'V') autour de l'axe vertical 0, jusqu'à ce qu'il devienne parallèle à (OS, O'S') ; et le point de contact (N, N') allant se transporter en un point (B, W) tel que l'angle BOi=VNl, on sera sûr que le rayon lumineux (BW, B' W) parallèle à (OS, O'S') jouira de la double propriété d'être tangent à la scotie et tangent à la courbe de séparation d'ombre pour le point (B^O.

En faisant usage de la seconde asymptote, que nous n'avons pas employée ci-dessus , on trouvera un second point (b , à*) qui jouira de la même propriété , mais qui peut se déduire immédiatement du premier, en tirant la corde B6, perpendiculaire au plan méridien OS ; puis , en appliquant des procédés semblables à la méridienne ghk 9 lorsqu'elle aura fait une demi-révolution, on trouvera deux autres points analogues, qui sont ceux que nous avons désignés par (E, E') et (e 9 e) sur la fig* i .

113. Dans ces quatre points , le rayon lumineux se trouvera , par les raisons énoncées au n* fit , avoir un contact du second ordre avec la surface de révolution , ce qui justifie ce que nous avons annoncé aux n" 106 et 107.

114. (PL 6, fig. i.) Les points singuliers (B, B'), (E, E'),... produiront nécessairement quatre points de rebroussement 6, e,... dans la courbe <x6d,... qui est la trace horizontale du cylindre lumineux circonscrit à la scotie. En effet , le plan oscillateur de la courbe de séparation d'ombre, pour le point (B, B'), par exemple , est évidemment tangent au cylindre lumineux , puisqu'il contient deux tangentes consécutives de cette courbe , et que l'une d'elles est précisément la génératrice (B6, B'S') du cylindre en question; donc la trace horizontale 60 de ce plan osculateur devra être tangente à la courbe «63,.... Mais, dans une courbe gauche , le plan osculateur traverse la courbe , en laissant d'un côté l'arc BA et de Pautre l'arc BD (voyez G. £>., n p G53) ; donc la trace 69 du plan osculateur, qui n'est pas tracée ici , devra passer entre les arcs aS et tt , lesquels sont d'ailleurs

ÛO LIVRE 1. — THÉORIE DBS OMBRES. .

d'un même côté du plan vertical B6; par conséquent, il y aura au point 6, non pas une inflexion , mais un rebroussement de première espèce.

115. Quant à la manière de trouver ce plan oscillateur, j'observe qu'il doit coïncider avec le plan tangent de la scotieau point (B , B') , puisque ce plan osculateur est tangent , comme nous venons de le dire, au cylindre lumineux 9 lequel est circonscrit à la scotie. On construira donc, par la méthode connue, le plan tangent de celte surface de révolution pour le point (B, B 7 ), et la trace horizontale de ce plan sera la tangente cherchée 69.

Ombres tfun Chapiteau de colonne.

116. (PL 8.) Le profil de ce chapiteau est tracé sur un plan vertical passant par Taxe de la colonne , et ce même plan reçoit la projectipn qu'on nomme élévation en architecture; la projection horizontale , ou lep/an, qui est censée vue de bas en haut, afin de diminuer le nombre des lignes ponctuées ou invisibles, ne représente ici que la moitié antérieure de l'objet; mais on suppléera facilement à ce qui manque, et d'ailleurs voici rénumération et la forme des diverses parties de ce chapiteau. On y rencontre d'abord :

Le Filet rectangulaire A 7 A"; qui se compose de quatre faces verticales appartenant à un parallélipipède projeté horizontalement sur un carré quadruple de AXOY.

Le Talon B'C terminé par quatre cylindres horizontaux , respectivement parallèles à AX et AY , et dont chacun a pour section droite une courbe identique avec B'C ; il en résulte nécessairement que ces cylindres se couperont deux à deux suivant des courbes planes , projetées sur des droites à 45°, telles que BC.

Le Tailloir ou Larmier DD" formé par quatre rectangles verticaux qui sont les faces d'un parallélipipède projeté horizontalement sur un carré quadruple de DxOy; mais toutes les moulures qui vont suivre seront terminées par des surfaces de révolution, et se trouveront ainsi projetées entre des circonférences concentriques.

Le Quqrt de rond E'F', qui est décrit par la révolution du quart de cercle E'F' tournant autour do l'axe 0' Z'.

Le Filet cylindrique décrit par la révolution de la droite F'F" autour du même

axe.

Le Ccwet, qui a pour méridienne le quart de cercle F" G' dont la convexité est tournée vers l'axe, ce qui forme une portion de la nappe intérieure d'un tore.

Le Gorgerin, qui est un cylindre d$ révolution décrit par la verticale H' H".

Enfin, Y Astragale j qui raccorde le chapiteau proprement dit avec le fût de la colonue, et qui se compose d'un petit tore, d'un filet cylindrique et d'un cavet appelé congé.

Quant au fût de la colonne , il a ordinairement une forme conique, parce qu'il est d'usage de rendre le rayon supérieur de la colonne plus petit que le rayon infé-