CHAPITRE II. — fiXBMPLBS DIVERS

rieor d'un sixième ; de sorte que si le module ou rayon inférieur a été divisé en 24 parties égales , il faut en prendre 20 pour le rayon mesuré à la hauteur du congé , ainsi que l'indique notre épure ; mais dans la faible partie que nous considérons ici, nous regarderons le fût de la colonne comme cylindrique.

117. Tous ces objets sont supposés éclairés par des rayons de lumière parallèles à la direction (OS, OS') ; mais comme nous rencontrerons fréquemment des plans ou des cylindres parallèles à la ligne de terre OX , et qu'ainsi ces cylindres ne se trouveraient pas commodément définis par la combinaison du plan horizontal avec le plan vertical OX , nous avons recours à un plan vertical auxiliaire OY , sur lequel il faut dès lors nous procurer la projection du rayon lumineux, sauf à rabattre ensuite ce plan auxiliaire sur le plan vertical primitif OX. Pour cela, prenons sur le rayon donné un point quelconque (S, S'), et abaissons la perpendiculaire (SY, SV); puis observons que le pied Y de cette perpendiculaire ira se rabattre en X, point qui doit être projeté en S /; sur l'horizontale SV; donc O'S" sera le rabattement de la projection auxiliaire que nous voulions obtenir.

118. Ombres du talon. Pour étudier plus clairement cette partie, nous l'avons tracée sur une grande échelle dans la PL 7 , où lajfy. 1 indique comment on compose le profil de ce talon , au moyen de deux arcs de cercle qui se raccordent en un point I de la droite BC. Nous ferons seulement observer qu'il est d'usage de prendre ce point I un peu au-dessous du milieu de BC ; et qu'après avoir élevé la perpendiculaire KO sur le milieu de BI, il suffira de tirer la droite OIO', pour obtenir les centres et O 7 des deux cercles demandés.

119. (PL 7,fig- 2.) Dans la fig. a, nous avons rapporté la projection verticale primitive / S / du rayon lumineux, ainsi que le rabattement 0'S"dela projection auxiliaire faite sur le plan vertical OY de la PL 8. Dès lors , le plan d'ombre formé par les rayons lumineux qui rasent l'arête Aa du larmier, ira couper le plan vertical auxiliaire OY suivant une droite qui se rabattra ici sur AE" parallèle à O'S" ; et comme le même plan vertical OY aurait coupé le talon suivant un profil qui coïnciderait en rabattement avec BE", C , il s'ensuit que le point E" est celui par lequel il faut mener l'horizontale E"F pour obtenir Tombre portée par le filet sur le talon. Cependant, comme le rayon lumineux qui part du point À se projette sur le plan vertical OX suivant AE' parallèle à O'S 7 , il en résulte que l'ombre précédente doit s'arrêter au point E'. Mais le contour de la partie obscure sera complété par la portion de droite E'e, laquelle provient des rayons lumineux qui glissent sur Farète latérale du filet, projetée verticalement au point A; car ces rayons produisent un plan perpendiculaire au plan vertical , et ce plan d'ombre coupe le talon suivant une courbe qui se projette sur sa trace AE'. Il arrive donc ici qu'une partie de la face latérale du filet projette son ombre sur la face antérieure du talon , parce que dans la PL 8, le rayon lumineux OS fait un angle plus petit avec OX qu'avec OY; mais si le contraire avait lieu , l'ombre E'e n'existerait plus sur la face antérieure du

2* ëdit. 6

42 LIVJtE I. — THÉORIE DES OMBRES.

talon, tandis qu'une circonstance analogue se reproduirait sur la face, latérale qui n'est pas visible ici.

120. La séparation d'ombre et de lumière GI sur le talon serait fournie par un plan tangent mené à ce cylindre parallèlement au rayon lumineux; or ce cylindre et ce plan tangent seront coupés par le plan auxiliaire OY de la PL 8 , suivant une courbe et une tangente qui , après le rabattement, coïncideront évidemment avec le profil BGC et la tangente GT" menée parallèlement à O'S"; c'est donc^en traçant cette dernière tangente que l'on obtiendra le point G par lequel on doit tirer la droite GI.

D'ailleurs cette tangente allant rencontrer la même courbe BG au point T", il en résulte que le plan tangent le long de GI va couper le cylindre suivant la génératrice T"L qui sera ainsi l'ombre portée par le talon sur lui-même; toutefois, cette ombre devra se terminer au point T', parce que le rayon lumineux parti du dernier point G de la génératrice GI , a pour plan vertical OX la projection sur la droite GT' parallèle à O'S',

121. A partir de la position GT, les rayons lumineux glisseront sur la courbe saillante projetée sur BGC, laquelle est produite par l'intersection de la face latérale avec la face antérieure du talon , et ils iront aboutir sur cette dernière face suivant une courbe T'RT qui se construira comme il suit. Par un point quelconque M on concevra un rayon lumineux dont la projection verticale sera MR' parallèle à O'S 7 , tandis que sa projection sur le plan auxiliaire OY se rabattra suivant MR" parallèle à O'S"; puis, comme le cylindre du talon se projette sur ce plan auxiliaire OY suivant une courbe qui coïncide en rabattement avec BGC , il en résulte que le point de section R" fera connaître la génératrice R"R' sur laquelle doit aboutir le rayon lumineux considéré; et conséquemment R' sera le point d'ombre cherché. On agira de même jusqu'au point H où le rayon de lumière a une projection verticale HP' qui se trouve tangente à la courbe BGC , et va tomber 6ur le talon au point F déterminé par la projection auxiliaire HP".

122. Mais le rayon lumineux arrivé dans la position HP', se trouvera évidemment contenu dans le plan qui touche le cylindre latéral du talon suivant la génératrice projetée au point H; dès lors , ce rayon lumineux va glisser le long de cette génératrice , et produira un plan d'ombre qui , étant perpendiculaire au plan vertical, coupera le talon suivant une courbe projetée sur la droite P V. Cette dernière ligne provient donc de ce que la génératrice H , qui est la séparation de lumière sur la face latérale du talon, projette une partie de son ombre sur la face antérieure, et cela tient à la cause déjà signalée au n° 119; quant au reste de l'ombre portée par cette génératrice H , elle tomberait sur la face latérale, suivatrt la droite projetée en Y ; mais nous n'avons pas ici à nous occuper de cette face latérale.

123. Par des considérations toutes semblables à celles du n° 119, on verra que r ombre portée par l'arête inférieure Cm du talon snr le larmier s'étend jusqu'à

CUÀPJTKE H. — - EXEMPLES D1VJSKS. 48

l'horizontale N"Q déterminée par le rayon auxiliaire rabattu CN"; mais que cette ombre est limitée à gauche par le rayon primitif CN'.

124. (Pi 8.) Ombres portées par le larmier* Les rayons lumineux qui vont raser l'arête inférieure (Dy, D"t/'), forment un plan dont il s'agit de trouver les intersections avec le quart de rond et les moulures qui sont au-dessous. Or ce plan d'ombre est évidemment perpendiculaire *u plan vertical auxiliaire OY , sur lequel l'arête du larmier est projetée en un seul point (t/, y') ; si donc nous faisons faire au système un quart de révolution autour de l'axe de la colonne, le point (y, y') se rabattra évidemment en (x, D"), et le plan d'ombre viendra se projeter, sur le plan vertical OX, suivant la droite DV parallèle à O'S". Dans cette position, le plan DV coupe un parallèle K'O" pris à volonté sur le quart de rond, suivant une corde qui se projette verticalement au point L' , et horizontalement suivant ptq; de sorte que les points p et q sont ceux où la circonférence de ce parallèle est rencontrée par le plan d'ombre rabattu. Or , en ramenant le système dans sa première position , la corde plq ne changera pas de distance à Taxe et deviendra PLQ; par conséquent les points P et Q que Ton projettera en P' et Q' sur le parallèle K'O", seront deux points de la courbe d'ombre P'R'Q'N' portée sur le quart de rond. La même méthode appliquée à d'autres parallèles fournira autant de points qu'on le désirera; mais remarquons bien à quoi se réduit la règle pratique. Tour chaque parallèle, on projettera le point de rencontre L'en /, on tracera l'ordonnée /pdu, cercle, et l'on portera immédiatement cette ordonnée depuis 0" jusqu'en P' et de 0" jusqu'en Q', ce qui est très-simple.

125. Le point le plus haut de cette courbe P'R'Q'N', c'est-à-dire celui où la tangente est horizontale, se trouvera nécessairement situé dans le plan vertical OY; et par une suite de la méthode générale, il s'obtiendra en rapportant en R' le point R où la méridienne principale est coupée par le plan d'ombre rabattu R" dans une nouvelle Ed. Si l'on achevait entièrement cette méridienne circulaire E'F', elle serait coupée une seconde fois par la trace DV, ce qui fournirait semblablement un second point projeté sur 0' Z' et où la tangente serait aussi horizontale ; mais nous n'avons pas tracé ici les arcs de la section qui aboutiraient à ce nouveau sommet, parce qu'ils seraient situés sur la nappe intérieure du tore dont le quart de rond ne fait pas partie. Quant au point N' situé sur le parallèle inférieur du tore, il s'obtiendra par la méthode générale du n° f 2ft.

126. Le même plan d'ombre qui passe par l'arête inférieure du larmier (Dy, D'Y), coupe le filet cylindrique FF" suivant une portion d'ellipse N'O' qui se construit par la méthode employée au n° 12&, et plus simplement encore, puisque dans ce cylindre tous les parallèles sont égaux au cercle du rayon OF. D'ailleurs le sommet de cette ellipse qui serait projeté sur O'Z', se trouverait en prolongeant la verticale FF" jusqu'à sa rencontre avec la trace DV.

127. Le même plan d'ombre coupe encore le cavet suivant une courbe e'pV*

hh LITRE I. — THÉORIE DBS OMBRES.

et le gorgerin suivant une ellipse XV, lesquelles go construisent aussi par la méthode du n° 124 ; et cette ellipse devra se terminer au point ($, *') où le gorgerin est rencontré par le dernier rayon lumineux (D*, D"* 7 ) qui s'appuie sur l'arête du larmier.

128. (PL 8.) Séparation cf ombre sur le quart de rond. Cette courbe étant la ligne de contact de la surface de révolution décrite par E'F' avec un cylindre circonscrit et parallèle aux rayons lumineux , elle se construira par la méthode générale qui est exposée au n° 384 de la Géométrie descriptive , et que nous allons rappeler succinctement. Après avoir choisi un parallèle arbitraire K'O", et avoir tracé à la méridienne la tangente K'T' qui décrirait un cône circonscrit le long du parallèle K'O", il faudrait mener à ce cône un plan tangent qui fût parallèle au rayon lumineux : mais, pour plus de simplicité, je transporte ce cône parallèlement à lui* même, jusqu'à ce que son sommet arrive au point (0, 0'), et alors sa génératrice devient la droite O'i' parallèle à K'T", tandis que sa base, considérée dans le plan horizontal S' z', est le cercle décrit avec le rayon 0/. Cela posé, comme il faut mener à ce cercle une tangente partant du point (S, S'), je décris une demi-circonférence sur OS comme diamètre, et le point m où elle coupe le cercle 0/ étant le point de tangence, j'en conclus que rareté de contact du plan tangent est projetée sur le rayon Om; puis, en prolongeant ce rayon jusqu'à ce qu'il coupe le parallèle OK en un point M que je projetterai en M' sur K'O", j'obtiendrai un point (M, M') de la ligne cherchée. Si l'on complétait le tore dont le quart de rond fait partie , on aurait une courbe fermée telle que

(«SMyrf.e,..., «'6'M r y V'6VV)-

La même méthode appliquée à d'autres parallèles fournira autant de points qu'on le désirera; mais il en est plusieurs qui s'obtiennent par une construction directe et facile.

129. Le point (y, /) situé sur l'équateur se trouve en menant le diamètre Oy perpendiculaire à OS, et projetant 7 en / ; car en ce point le plan tangent qui sera vertical se trouvera bien parallèle au rayon lumineux , et c'est là le caractère distinctif de tous les points de la courbe de séparation d'ombre et de lumière.

De même , en menant à la méridienne E' F' une tangente parallèle à la projection verticale O'S', le point de contact a' f que l'on projettera en a , sera un point de la courbe cherchée; car, en ce point, le plan tangent du quart de rond qui est perpendiculaire au plan vertical , se trouvera bien parallèle aux rayons lumineux.

130. Le point le plus bas (6, 6') de la séparation de lumière, c'est-à-dire celui où la tangente est horizontale , sera nécessairement situé dans le plan vertical OS , attendu que la construction du n° 128 ferait trouver, pour chaque parallèle, deux points placés sur une corde que ce plan diviserait en deux parties égales et à angle droit ; il suffira donc de mener à la méridienne contenue dans le plan vertical OS