CHAPITRE H. — BXEMPLB8 DIVERS* A

une tangente parallèle au rayon lumineux. Pour cela, rabattons cette méridienne sur le plan vertical OX, en supposant qu'elle entraîne avec elle la droite (OS, (y S') ; par là , un point quelconque (<j, </) de cette droite se transportera en a", et OV sera le rabattement du rayon lumineux. Dès lors , il faudra conduire à la méridienne E' F' une tangente parallèle à Qf V, et le point de contact étant ramené dans le plan méridien OS , fournira le point (g , 6') que Ton cherchait.

131. On doit remarquer que cette courbe a'6'M'y' rencontrera la courbe P'R'Q'N' en deux points m' et-n' dans lesquels le rayon lumineux sera tangent à cette dernière. En effel , pour le point «', là tangente doit être l'intersection du plan de la courbe P'R'Q' qui est parallèle aux rayons lumineux, avec le plan tangent du quart de rond qui est aussi parallèle aux mêmes rayons pour tout point de la courbe a' 6' M'; donc l'intersection de ces deux plans sera une droite rin" parallèle à la mêfne direction.

En outre, ce rayon lumineux rin" devra rencontrer la courbe N'6' en un point qui appartiendra à l'ombre portée par le quart de rond sur le filet ; donc ce point ri' devra se trouver sur la courbe q/cV... dont nous parlerons plus loin.

132. Avant de continuer la recherche des autres lignes d'ombre, il est utile d'exposer une autre méthode qui serait moins exacte pour le tracé des courbes FR'tfN', N'8', 9'pV, X' Y, «S 7 M', déjà trouvées, et que nous recommandons au lecteur de construire par les moyens précédents ; mais cette méthode nouvelle deviendra plus expéditive et suffisamment exacte pour les lignes d'ombre qui nous restent à trouver, attendu que ces courbes seront très-aplaties dans le sens vertical.

133. (PL 8.) Méthode des sections. Si nous menons un plan vertical dh qui soit parallèle au rayon de lumière, il coupera le larmier suivant la verticale d'd" et le quart de rond suivant une courbe e f k r f, qui se construit en projetant sur le plan vertical les points e , k , /, où la trace dh rencontre les divers parallèles de cette surface de révolution. Le même plan coupera le filet suivant la verticale /'/", et le cavet suivant une courbe f'qf qui se construira comme ci-dessus pour le quart de rond. Enfin, ce plan sécant coupera le gorgerin suivant la verticale fc'A", et les diverses moulures de l'astragale suivant des lignes analogues.

134. Cela posé, voici le parti que l'on tirera d'une pareille section. En menant par le point d" une droite <fV parallèle à O'S', elle ira rencontrer la courbe e'tif en un point r' qui appartiendra évidemment à l'ombre portée par le larmier sur le quart de rond, et devra ainsi faire partie de la courbe FR'Q 7 déjà trouvée.

Si Ton mène à la courbe e' k'j' une tangente parallèle au rayon lumineux , et que Ton marque approximativement le point de contact a', ce point fera partie de la séparation de lumière *'6'M' sur le quart de rond; puis, en prolongeant cette tangente cl b' jusqu'à ce qu'elle rencontre la verticale/'/", le point de section V appartiendra à l'ombre portée par le quart de rond sur le filet, c'est-à-dire à la courbe 9 Y 6' dont nous parlerons plus tard.

46 L1VBE I. THÉORIE DES 0UBH9&.

De même, en tirant le rayon lumineux f u c\ il ira couper la courbe/"*/ en un point d qui fera partie de la ligne d'ombre y ^c' portée par le filet cylindrique sur le cavet ; et enfin le rayon lumineux (/ h!" ira couper la verticale h! h" en un point h!" qui appartiendra à l'ombre portée par le cavet sur le gorgerin. Maintenant, revenons à la description des diverses lignes d'ombre, que nous avions interrompue.

135. Ombre du quart de rond sur le filet. Cette courbe ç'eViV s'obtiendrait généralement en menant des rayons de lumière par les divers points de la ligne *' 6' M'y'? eteQ cherchant les points où les projections horizontales de ces rayons rencontreraient le cercle décrit avec OF; mais nous ayons déjà trouvé les points it" et U de cette courbe (n" 131 et 134), et il suffira bien d'y ajouter les deux points é et <y' dont nous allons indiquer la construction. Le premier, qui est le point le plus haut , se trouvera en menant le rayon lumineux qui part du point le plus bas (6, 6') de la séparation de lumière sur le quart de rond ; or, comme il va rencontrer en e le cercle OF, il n'y aura qu'à projeter ce point e sur 6V. Pour avoir le point q/, il faut tirer F S parallèle à OS, projeter le point à sur la courbe a' 6' M', et tirer par ce dernier point V une parallèle 3'ç' à O'S 7 , laquelle ira couper la verticale F' F" au point demandé <?'.

Cette courbe yt'n" b'v'... devra s'arrêter au point v' où elle coupera le cercle inférieur du filet ; mais comme on ne peut pas trouver directement ce point , on continuera les constructions précédentes comme si le cylindre du filet s'étendait indéfiniment au-dessous de l'horizontale F", et la courbe y'in u ... ainsi prolongée, ira couper le cercle inférieur du filet au point t/ où elle doit se terminer comme ligne d'ombre.

136. Ombre du filet sur le cavet. Cette courbe cp"f/c'ç'fA'p'cV... étant l'intersection d'une surface de révolution décrite par le cercle F" G', avec le cylindre oblique formé par les rayons lumineux qni glissent sur le cercle inférieur du filet F' F", elle s'obtiendra généralement eu coupant ces deux surfaces par des plans horizontaux; car les sections ainsi produites dans le cavet seront des cercles de rayons variables dont les centres se trouveront sur la verticale (0, O'Z') , tandis que, dans le cylindre oblique, ces sections seront des cercles d'un rayon constant et dont les centres se

% trouveront placés sur une parallèle au rayon lumineux menée par le centre de la base inférieure du filet. Il serait donc facile de trouver en^projection horizontale les points de rencontre de ces cercles comparés deux à deux , puis de rapporter ces points sur le plan vertical ; mais attendu que cette courbe d'ombre s'abaisse très-lentement , il vaudra mieux employer la méthode des sections verticales pour trouver deux ou trois points de cette courbe, ainsi que nous l'avons fait au n° 13ft pour le point cf. D'ailleurs, le point le plus haut p' de cette ligne d'ombre s'obtiendra par une construction directe et fort simple, laquelle consiste à mener par le point F" une parallèle au rayon rabattu OV', ainsi que nous l'avons expliqué et exécuté (n* 104) pour le piédouche. En outre, on obtiendra évidemment un non-

CBèPITAB II. — EXEMPLES DÏVBKS. f\l

veau point p de cette courbe, en tirant le rayon lumineux 6'p' qui ira couper la courbe 6'pV déjà tracée an point p'.

Quant au premier point <p" de cette courbe, on ne peut plus l'obtenir par un moyen direct, mais on y parviendra par le procédé suivant. On cherchera l'intersection du plan vertical OX avec le cylindre formé par les rayons lumineux qui glissent sur le cercle inférieur du filet. Cette courbe devra couper F"C au point <j>". Enfin , cette courbe devra se prolonger jusqu'à ce qu'elle rencontre le cercle inférieur du cavet en un certain point.

137. Toutefois, il faudra examiner si cette ligne d'ombre 9*pV... n'est pas recouverte en partie par l'ombre que projette le quart de rond , laquelle venait déjà aboutir au point t/ sur la base du filet. Pour cela, on mènera le rayon lumineux *V; et comme cette droite va rencontrer la courbe <p"pV... en un point t/', c'est une preuve qu'à partir de ce dernier point le cavet reçoit une nouvelle ligne d'ombre v"w" qui provient du quart de rond. D'ailleurs, cette nouvelle courbe %f'w n se construira en faisant des sections verticales par divers points •«/',.•• pris sur la séparation de lumière du quart de rond.

138. Ombre du cavet sur le gorgerin. Cette courbe y?'?//i w ... est l'intersection du cylindre droit H'H" avec le cylindre oblique formé par les rayons lumineux qui glissent le long du cercle inférieur du cavet; ainsi, on la déterminera aisément en tirant par divers points du cercle OG des rayons lumineux, lesquels iront rencontrer le cercle OH en des points qui appartiendront à la courbe cherchée. Le point le plus haut sera d'ailleurs dans le plan vertical OS; et le premier point n f de cette ombre sera fourni par le rayon lumineux projeté sur HI. Enfin, si du point n on tire le rayon rc'X' il rencontrera la courbe *'A' déjà tracée dans un point )/ qui appartiendra à l'ombre que nous cherchons ici.

139. Cette ligne d'ombre r/i'ft'VV' se trouve aussi recouverte en partie par l'ombre que projette le quart de rond , laquelle venait déjà aboutir sur le cavet au point w a ; car le rayon lumineux mené par ce dernier point vient rencontrer en nf" la courbe v{ï!hl u ... ; de sorte qu'il y aura une nouvelle courbe uFV* produite par l'ombre que projette le quart de rond sur le gorgerin. Le dernier point V" s'obtiendra en menant le plan vertical YU tangent au gorgerin et parallèle au rayon lumineux; et par le point (U,U') où il rencontrera la séparation de lumière, on tirera le rayon lumineux U'V" qui coupera la verticale V au point cherché V". Pour obtenir un point intermédiaire, on mènera un rayon lumineux par un point quelconque choisi entre w' et U', et la projection horizontale de ce rayon ira couper le cercle OH au point demandé.

140- Le rayon lumineux (UV, U'V 7 ) qui est tangent au gorgerin, poursuit sa route et va tomber ici sur la face plane de l'astragale qu'il rencontre au point (<»', «) ; il y aura donc une ombre portée par le quart de rond sur l'astragale. Or, 6i par un point voisin (ti, uf) on mène un rayon (uty, t^')» P u ' s *' ^ on construit la

48 LIVRE I. — THBORIB DBS OUBRtt.

section faite dans le tore de l'astragale par le plan vertical tup conduit suivant ce rayon , le point <[/ où cette section sera rencontrée par la projection verticale «'4/, serti un point de la courbe (0/4/, &4) suivant laquelle le quart de rond projette son ombre sur l'astragale.

ifti. Quand bien même le rayon lumineux (U V, U' V 7 ) n'aurait pas rencontré le lore de l'astragale, il aurait toujours existé sur cette surface une ombre portée parle gorgerin, et cette ombre se serait réduite à la section que tracerait, dans ce petit tore, le plan vertical UV qui est tangent au gorgerin suivant la séparation de lumière VV".

142. Nous n'ajouterons pas d'explications pour ce qui regarde le tore , le filet cylindrique et le congé qui composent l'astragale ; car ces moulures sont tout à fait identiques avec celles que nous avons déjà rencontrées. Nous dirons seulement qu'il existe sur ce tore une séparation de lumière qui se construit comme celle du quart de rond; le premier point et le dernier s'obtiennent par des tangentes à la méridienne. Le point 0" qui est sur l'équateur se déterminera en cherchant sa projection horizontale 9, qui est à l'intersection de OV et de la projection horizontale de l'équateur. Le filet reçoit une ombre portée par ce tore , et qui ne s'étend pas ici sur le congé ni sur le fût de la colonne ; ensuite le filet projette sur le cavet une ombre qui se construira comme au n° 136, et cette ombre se prolonge jusque sur le fût de la colonne , où elle se construit par la méthode du n° 138. Enfin, le dernier point V" de cette courbe est donné par le rayon lumineux (Vfx, V"V) situé dans le plan vertical VU qui touche le fût de la colonne suivant la verticale VV", et cette dernière droite forme la séparation de lumière sur cette surface que nous avons considérée comme cylindrique.

Ombres d'une Base de colonne.

143. (PL 7, fig. 3.) Cette base se compose de diverses moulures terminées toutes par des surfaces de révolution , et qui sont entièrement analogues à celles que nous avons rencontrées dans le chapiteau; ainsi il suffira d'indiquer succinctement la nature des diverses lignes d'ombre, et de renvoyer le lecteur à ce qui précède pour la manière de construire ces lignes. Sur le fût de la colonne, que nous supposerons encore cylindrique dans la faible portion qui est employée ici , il existe d'abord une séparation de lumière , qui est la verticale (A, A'A"), suivant laquelle le cylindre est touché par le plan langent AB parallèle au rayon lumineux ; et cette droite A'A" projette sur le congé C'F' une ombre AVB' qui n'est autre chose que la section faite dan scelle surface de révolution par le plan vertical AB. On construira donc cette courbe en rapportant sur l'élévation les points B, a,... où la trace AB coupe les divers parallèles FB, la,... de la surface du congé.

14&. Sur le premier filet cylindrique, il existe aussi une séparation de lumière qui est la droite E'E", laquelle projette sur le tore inférieur une ombre (EV, Ee)

CHANTRE II. — EXEMPLES DIVEHS. ft9

qui se construira comme ci-dessus , puisqu'elle est l'intersection de cette surface de révolution avec le plan vertical Ee tangent au cylindre du filet. Comme continuation de cette courbe , il s'en présente une autre (eft, e'h') qui provient de l'ombre portée sur le même tore par une portion E'H' du cercle supérieur du filet; cette dernière ligne d'ombre est donc l'intersection du tore avec un cylindre oblique à base circulaire, et elle pourrait se construire en coupant ces deux surfaces par divers plans horizontaux qui produiraient chacun deux cercles dont on chercherait les points communs. Mais il sera plus commode ici d'employer la méthode des sections exposée aux n" 133 et 134 ; et l'on devra prolonger cette courbe EVA' jusqu'à ce qu'elle vienne rencontrer la séparation de lumière a&ySf qui se construira aussi par la méthode des sections, ou plus exactement par les procédés employés déjà aux n M 128 et suivants. Sur le plan horizontal, nous n'avons tracé que la portion ky de celte séparation de lumière , parce que le reste est invisible en plan.

145. Sur le second filet cylindrique, il existe une ligne R'K'L' qui est l'ombre portée par le tore précédent, et dont on trouvera divers points par la méthode des sections, ou par les moyens indiqués (n° 135) pour un cas tout à fait identique. Le point le plus haut (K, K') sera donné par le rayon lumineux qui part de (S, 6') ; et l'on devra prolonger cette courbe jusqu'à ce qu'elle coupe le cercle inférieur du filet en un certain point L', à partir duquel l'ombre projetée par le tore ira tomber sur la scotie F r/ Gy.

146. (PI. jifig. 3.) Cette dernière surface reçoit d'abord l'ombre U'V'/' portée par le cercle inférieur du filet précédent, ombre qui étant l'intersection d'un cylindre oblique à base circulaire avec la surface de révolution de la 6cotie , pourrait se construire en coupant ces deux surfaces par des plans horizontaux qui donneraient des cercles faciles à déterminer; mais comme la courbe U'V'/' s'abaisse très-lentement, il vaudra mieux employer la méthode des sections verticales du n° 133 ; et le point le plus haut V sera donné par le rayon lumineux parti du point (K, K"). Cette ligne U'V'/' devra s'arrêter au point /' où elle rencontrera le rayon lumineux L'/' déjà trouvé, lequel touche le tore en X' et rase en môme temps le filet au point L'; car dès lors la scotie recevra l'ombre /' WM' portée par la séparation de lumière iVy'. Celte nouvelle ombre se construira au moyen de sections verticales faites parallèlement à OS, comme nous l'avons indiqué ici pour le rayon lumineux «' W, et elle se prolongera jusqu'à ce qu'elle aboutisse en un certain point M' sur le cercle inférieur de la scotie. La projection horizontale MW/ de cette ligne d'ombre n'est visible que dans la faible portion située en dehors du cercle Oi qui forme le contour apparent du premier tore.

147. Le troisième filet cylindrique présente d'abord une séparation de lumière qui est la droite (P, P*? ff ) ; et cette droite jointe à la partie (PM, PW) du cercle supérieur, projette sur le second tore une ombre (Ppm, P"p'm') tout à fait analogue à celle que nous avons rencontrée sur le tore précédent. Mais ici la courbe P"p'in'

2 è ëdit. 7

50 LITRE I. — THEORIE DBS OMBBB8.

venant rencontrer le rayon lumineux y'M'm' déjà reconnu comme tangent an premier tore en y', ayant d'avoir atteint la séparation de lumière p'vj/e'Q', il en résulte que l'ombre P"p'm' portée par le filet sera suivie d'une nouvelle courbe (n*V, mn) provenant des rayons lumineux qui touchent le premier tore le long de Tare -/N' et vont tomber sur le tore inférieur. Cette ombre (mV, mn) se construira aussi au moyen de sections verticales faites dans les deux tores , parallèlement à OS, et elle devra s'arrêter au point (n, n') où elle coupera la séparation de lumière pty'tty. Quant à cette dernière courbe , on la déterminera comme nous l'avons indiqué cidessus pour le premier tore ; mais nous n'avons tracé sur le plan horizontal que la partie visible eQit.

148. Enfin , la plinthe qui présente la forme d'un parallétipipède à base carrée , recevra sur sa face supérieure fombre (ïrqr, ttV) portée par la courbe (eQw, e'QV ), et elle projettera sur le plan horizontal des ombres rectilignes faciles à déterminer.

Ombres if une Vis à -filet triangulaire.

149. (PL 9.) Cette vis se compose d'un noyau cylindrique , projeté sur le cercle Oa, et qui est revêtu d'un filet saillant engendré par le triangle isocèle a! A' a" assujetti à se mouvoir de la manière suivante : son sommet (A, A') parcourt une hélice (ABCD..., A'B'C'D"A"D"\..) dont le pas A'A" égale la base dd' du triangle générateur, tandis que ses côtés prolongés A'O* et A'O" vont toujours rencontrer l'axe vertical avec lequel ils font des angles égaux et constants. Il résulte de là que les faces supérieure et inférieure du filet sont des portions de deux hélicoïdes gauches qui se coupent suivant une autre hélice intérieure (aM..., d'I/d!' a!" ...), ainsi que nous l'avons expliqué dans le chapitre V du livre Vil de notre Géométrie descriptive; en supposant que tous ces détails sont présents à la mémoire du lecteur, nous nous bornerons à rappeler ici que le contour de la projection verticale du filet est formé par deux courbes qui ont pour asymptotes les génératrices O'A', 0"A', et qui se raccordent avec un très-petit arc de l'hélice extérieure ; mais on peut, sans aucune erreur appréciable dans la pratique, tracer ces portions de courbes comme des droites que l'on rend tangentes à la fois aux deux hélices A'B'D"... et aFbfé'.... La tète de la vis est formée par un prisme droit, projeté suivant un octogone sur le plan horizontal qui peut être considéré comme la face supérieure de l'écrou dans lequel s'engage la vis en question.

150. Les rayons de lumière sont supposés parallèles à la direction (SO , S'E*) , et ceux de ces rayons qui raseront l'hélice extérieure, formeront un cylindre dont nous avons construit la trace horizontale

en cherchant les points où plusieurs de ces rayons, comme (Aa, ÀV ), (W, W #),...>