CHAPITRE II. EXEMPLES DIVERS

vont rencontrer le plan horizontal. Cette courbe fournirait le contour des ombres portées par la vis sur le plan horizontal , si Ton avait dessein de trouver ces ombres; mais, en outre, elle va nous servir à d'autres usages*

151. La courbe (C'M'KTL', CMKlL)est l'ombre portée par l'hélice extérieure sur ta face supérieure du filet, et par conséquent cette courbe est l'intersection du cylindre lumineux dont nous avons parlé au numéro précédent, avec la surface gauche engendrée par la droite A'a"0'. Pour trouver un point quelconque (M, M') de cette courbe , je construis d'abord une génératrice de cette surface gauche en menant le rayon arbitraire OB, projetant le point B en B' sur l'hélice extérieure, puis en portant sur l'axe, et à partir du niveau de B', une distance 30'" égale à la hauteur constante oO', et tirant enfin la droite 0"'B'. Maintenant, par cette génératrice je conduis un plan parallèle aux rayons lumineux, en tirant la droite (0"V, Ou); et la trace o>/3 de ce plan allant rencontrer la trace du cylindre au point q> , j'en conclus qu'il coupe ce cylindre suivant le rayon lumineux (<j>F , f'F") , lequel s'appuiera ainsi sur l'hélice extérieure au point (F, F"), et ira rencontrer la génératrice (BO, B'O'") au point (M, M') qui sera un point de la ligne d'ombre en question.

152. Le point (K, K') de cette courbe, situé dans le plan vertical SO, s'obtiendra directement par la rencontre du rayon lumineux et de la génératrice qui sont contenus l'un et l'autre dans ce plan , et dont les projections verticales E"K' et EV se trouvent immédiatement en projetant le point E en E' et E" , et le point e en e\

Le point extrême (C,C) sera donné par le rayon lumineux qui aboutit au point y où se coupent les deux branches de la trace horizontale du cylindre considéré au n° 150; car ce point commun y répond à une génératrice (yCG, y'C'G') qui s'appuie nécessairement à la fois sur les deux spires A'D" et À"D"\ De même, le point X où se coupent encore les branches de la trace du même cylindre, indique un rayon lumineux (HLX, H'L'V) qui s'appuie aussi sur deux spires consécutives m de l'hélice extérieure, et qui fournit ainsi l'autre extrémité (L, L') de la ligne d'ombre en question.

153. (PL 9. ) Ces résultats devront être reproduits identiquement sur les divers filets de la vis, en transportant sur les mêmes verticales les points déjà obtenus, tels que C, M', K',... ; toutefois, sur les filets voisins de la (été de la vis, apparaîtront de nouvelles lignes d'ombre qui pourront recouvrir les premières en totalité ou en partie. Ainsi, sur le filet K"a m ', il y aura une ombre (npj n'ff) portée par l'arêle horizontale (PN, PTï') , et qui sera l'intersection du plan d'ombre passant par cette droite avec la surface gauche du fileU Pour construire cette courbe, on tracera , comme au n» 151 , une génératrice de la surface gauche , et par cette droite on conduira un plan parallèle au rayon lumineux ; il sera bien facile de trouver le point de rencontre de ce plan avec l'hornantale (PN, P / N / ) Y et en menant pat ce point un rayon lumineux , il ira rencontrer la génératrice considérée en un

point qui appartiendra à la courbe (pn , pV). On trouvera semblablement l'ombre (pqtp'v'tf) qui est portée parla droite (PQfP'Q 7 ), et aussi fombre (qw f q f w f ) portée par la droite (QR , Q'R' ). Les limites de ces diverses courbes ne peuvent s'obtenir qu'en prolongeant chacune d'elles indéfiniment, jusqu'à ce qu'elle coupe la courbe voisine; mais Ton saura trouver directement le point (a/, «/) , en cher* chant la rencontre du plan conduit parla droite (QR, Q'R') parallèlement au rayon lumineux, avec la trace du cylindre DXaKy...; pour effectuer cette recherche, il sera bon d'employer un plan horizontal plus rapproché de la tête de la vis , tel que celui qui serait mené par le point a".

15ft. Ce dernier rayon lumineux (Ru; , R'u/) qui ne fait que raser l'hélice extérieure, continuera sa route pour venir tomber sur le filet situé au-dessous, et il le rencontrera nécessairement au point (r, r') où il coupera la courbe déjà tracée ( I"M"C" , IMC) ; le reste (RT , R'T' ) de l'arête horizontale donnera lieu à un plan d'ombre qui coupera la surface gauche suivant une courbe (r/, r' Y), laquelle se construira comme au n° 153. Enfin, l'arête horizontale (TU, T'U') produira une ligne d'ombre (tu, t'u') qui se construira d'une manière semblable. Il n'est pas besoin de faire remarquer au lecteur que ces deux dernières courbes, descendant plus bas que la ligne PST'C", feront disparaître une portion de cette dernière ligne d'ombre. •

155. Nous n'avons rencontré ici que des ombres portées , et point de séparation d'ombre et de lumière proprement dite, formée par des rayons lumineux tangents à la surface gauche du filet, parce que la direction (SE , S'E') faisait avec l'axe de la vis un angle trop petit pour que cette dernière circonstance pût avoir lieu [voyez n° 177); mais comme ce cas présenterait des recherches délicates et assez difficiles , nous croyons utile de reprendre le problème des ombres de la vis , avec une direction des rayons de lumière qui donne lieu à l'existence de ces lignes de contact.

Autre cas des ombres d'une Vis triangulaire.

156. (PL io. ) Sans rappeler tous les détails donnés aux n M 149 et 150, nous dirons seulement que le parallélipipède à base carrée qui forme la tête de la vis, a été placé ici en dessous, afin de laisser voir un plus grand nombre des lignes importantes ; la face supérieure de ce parallélipipède a été prise pour le plan horizontal de notre épure , et nous y avons construit la trace

ARyX3fX7rapy , 8 2 p 2 a, . . .

du cylindre formé par les rayons de lumière qui s'appuieraient sur l'hélice extérieure (ÂBD..., A'B'D'A"!)"...). Ensuite, pour obtenir la séparation de lumière (AIN, M'N') sur la face supérieure du filet qui est engendrée par le mouvement de la droite (AO, AVO') , il s'agit de trouver les points de cette surface gauche