CHAPITRE If. — EXEMPLES DIVERS

pour lesquels les plans tangents seront parallèles au rayon lumineux (SO, S'O'"); et je vais chercher , par exemple, le point (#,#') de cette courbe qui serait situé sur une génératrice quelconque projetée suivant OB. La projection verticale B'O^ de cette génératrice s'obtiendra en projetant le point B en B', et en prenant la hauteur fe"0"' égale à la distance constante /i'O'; puis si je mène la tangente BT égale à Tare BA rectifié, et que je joigne le point T avec la trace (G , G') de la génératrice, on sait (G. Z). , n° 621) que la droite GT sera la trace horizontale du plan tangent à Thélicoïde gauche pour le point (B, B').

157. Maintenant, par cette génératrice (OB, 0"'B') conduisons un plan parallèle aux rayons lumineux , lequel aura évidemment pour trace «G ; ce plan devra être, comme on sait, tangent à l'hélicoïde dans un certain point inconnu x; mais pour trouver ce point, il suffira (G. D. t n°627) de prolonger «GE jusqu'à ce qu'elle rencontre en E la tangente BT, puis de tracer Ee parallèle à OB, et par le points où elle rencontre la ligne TO, on mènera ex parallèle à BE. Par ce moyen très-simple , on obtiendra donc un point x de la projection horizontale cherchée MxN ; et en projetant a; en a;' sur B'O'", on aura un point de la projection verticale M'a'N'; d'ailleurs, comme ce procédé peut s'appliquer à toute autre génératrice, il suffit à lui seul, pour construire autant de points qu'on le voudra de la séparation de lumière. Mais, attendu que cette portion de courbe est extrêmement aplatie 9 il serait très-avantageux de savoir déterminer directement les extrémités M et N situées ^sur les hélices extérieure et intérieure, parce que ces deux seuls points suffiraient ordinairement, dans la pratique, pour tracer d'une manière assez exacte la partie utile de cette ligne de contact ; aussi nous allons nous occuper de la recherche de ces points extrêmes M et N.

158. (PL io. ) Observons d'abord que , pour tous les points de l'hélice ( ABD , A'B'D') , les divers plans tangents de l'hélicoïde sont tous également inclinés sur l'axe de la vis ; car la génératrice de cette surface et la tangente de l'hélice font entre elles et avec la verticale menée par le point de contact , trois angles qui restent évidemment constants pour les divers points de l'hélice considérée. D'où il suit qne ces divers plans tangents sont tous parallèles à ceux qui toucheraient le cône de révolution dont le sommet serait en (0, O w ), et qui aurait pour base le cercle décrit avec la perpendiculaire OH abaissée sur la trace GHT du premier plan tangent que nous avons construit pour le point (B, B'). En outre, on doit voir que l'angle GOH compris entre la projection OB de la génératrice que contient ce plan et la projection OH de sa ligne de plus grande pente, restera aussi invariable, tant que le point de contact (B, B') du plan tangent ne sortira pas de la même hélice