ABD, A'B'D
159. Cela posé , comme la détermination du point M revient à trouver un plan qui soit parallèle au rayon lumineux, et qui touche l'hélicoïde sur l'hélice (ABD, A'B'D') , menons au cône défini ci-dessus et qui a pour base le cercle du rayon
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OH , un plan tangent parallèle au rayon lumineux; il devra passer par la droite (O'V, 0»), et sa trace sera la tangente «*F (*), tandis que sa ligne de plus grande pente se trouvera projetée suivant OF. Or , quoique ce plan wFO soit simplement parallèle au plan tangent de riiélicoïde qui répond au point limite M que nous cherchons , cela ne change rien à la projection horizontale de la ligne de plus grande pente ^ qui sera encore OF pour le plan tangent cherché; puis, afin de retrouver la génératrice inconnue que doit renfermer ce dernier plan, je rappelle que l'angle GOH demeure constant pour tous les points de l'hélice ( ABD , À'B'D' ) ; et dès lors en prenant Tare KM égal à 1B, le point M que Ton projettera en M' , jouira certainement de la propriété que le plan tangent de l'hélicoïde en cet endroit se trouvera parallèle au rayon lumineux. Ce sera donc là une des extrémités de la séparation de lumière sur la face supérieure du filet ; et l'autre extrémité (N, N') s'obtiendra en opérant d'une manière semblable sur le plan tangent qui touche l'hélicoïde au point b de l'hélice intérieure (dab, d'a'd").
160. Par le rayon lumineux (0&>, 0"'w').on pouvait conduire un second plan tangent au cône de révolution qui a pour base le cercle du rayon OH , et la ligne de plus grande pente de ce nouveau plan tangent eût été projetée sur 0/; par conséquent si, à partir de cette droite, on forme un angle égal à GOH, ou bien si l'on prend l'arc km égal à IB , on obtiendra l'extrémité m d'une autre ligne de séparation de lumière (mit, m" n") située encore sur la face supérieure du filet de la vis. D'ailleurs , comme toutes les spires de ce filet sont identiques et que les rayons lumineux sont toujours parallèles à une même direction « il n'y aura qu'à transporter sur les mêmes verticales les points déjà trouvés, pour obtenir les séparations de lumière analogues M"N", M'"N'", m'V,,.: qui existent sur les autres spires.
16i. Jusqu'à présent nous n'avons considéré que la face supérieure des filets, laquelle est décrite par la droite A' 0' ; mais la face inférieure de ces mêmes filets qui est engendrée par le mouvement de la droite À" 0", est aussi un hélicoïde gauche évidemment identique, quant à la forme, avec la seconde nappe du premier hélicoïde, laquelle serait engendrée par le prolongement O' A, de la génératrice 0? A ; . Toutefois, ces deux nappes décrites par A"0" et / A 1 n'appartiendront pas à un seul et même hélicoïde, si ce n'est dans le cas très-particulier où la droite A"0", après i ou 3 ou 5,... demi-révolutions, viendrait coïncider avec / A 2 ; mais du moins les deux hélicoïdes décrits par ces droites ne différeront que par leur hauteur au-dessus du plan horizontal, et ils se confondraient l'un avec l'autre dans toutes leurs nappes, si l'on faisait descendre l'un d'entre eux de la quantité con-
(*) Nous n'avons point marqué ici cette tangente o>F, pour éviter de la confusion , et parce que son point de contact P s'obtient directement par la rencontre du cercle décrit sur 0*> comme diamètre; ce qui suffit pour tracer la droite OP sur laquelle se projette l'arête de contact du cône avec ee plan tangent, arête qui est évidemment la ligna de plus grande pente de ce plan.
