CHAPITRE H. — EXEMPLES DIVERS

stante A, D" ou À, D*, en laissant d'ailleurs chaque point de la surface mobile sur la même verticale où ce point se trouvait d'abord. De là on doit conclure que Ie6 lignes de séparation d'ombre et de lumière sur ces deux hélicoïdes , auront les mêmes projections horizontales PQ et pq , et que pour trouver celles-ci , nous pourrons continuer d'opérer sur le premier hélicoïde décrit par la droite indéfinie k'Of A, , mais en considérant actuellement la nappe supérieure de cette surface.

162. (P/. 10.) Tout ce que nous avons dit au n° 158 sur les plans tangents de la nappe inférieure de l'hélicoïde , pour des points de contact tels que (B, B ) toujours situés sur l'hélice (ABD, A'B'iy) , s'applique également aux plans tangents de la nappe supérieure , pourvu que l'on choisisse encore leurs points de contact sur la même hélice, comme le point projeté en B, et qui appartient au prolongement de la génératrice (BO, B'O'"). Ainsi ces nouveaux plans tangents seront encore parallèles à ceux qui touchent le cône de révolution qui a son sommet en (0 , 0'") et pour base le cercle du rayon OH ; et l'angle analogue à GOH sera aussi constant pour chacun d'eux , et égal à ce qu'il était pour le point (B, B') ; seulement, pour le plan tangent relatif au point B 2 , la ligne de plus grande pente, au lieu d'être, comme OH, en deçàdeOBG, se trouverait au delà, ainsi qu'on doit l'apercevoir aisément d'après la position qu'aurait le pied de la tangente à l'hélice pour le point B a . Par conséquent, après avoir mené au cône OH les deux plans tangents qui ont été conduits par le rayon lumineux (Ou, 0"V), et avoir déterminé leurs lignes de plus grande pente OF et Of, il faudrait porter l'arc BI en sens contraire de KM et de km, puis prolonger les rayons au delà du centre pour obtenir les points limites P et p ; mais cela se réduit évidemment à prendre l'arc K t p égal à KM, et l'arc k t V égal k km; ou enfin , à tracer les branches PQ et pq comme symétriques de MN et mn par rapport au diamètre OC qui est perpendiculaire sur OS.

163. Cela fait, on projettera les points P et p en P 7 et p', P" et p",.*» sur l'hélice extérieure; puis, sur l'hélice intérieure, les points Q et q devront être projetés en (ï et qf, Q y et q", . . . Avec ces points limites , un praticien habile pourra déjà tracer d'une manière exacte les courbes FQ\ p' q\ P* Q",. . . qui n'ont qu'une faible courbure dans la portion utile ; au surplus , nous allons donner une méthode complète pour trouver ces courbes dans toute leur étendue sur la surface gauche indéfiniment prolongée.

164. Pour atteindre ce but , on pourrait d'abord prescrire de considérer successivement les diverses hélices situées sur l'hélicoïde , et qui ont des rayons plus petits et plus grands que OB; puis, de leur appliquer les procédés des n M 159 et 162 , ce qui ferait connaître tous les points de la surface où le plan tangent est parallèle aux rayons lumineux. Mais cette marche serait assez laborieuse, et il sera bien plus simple de trouver ces points en les cherchant sur chaque génératrice de l'hélicoïde , par la méthode du n* 157 qui apprend à trouver quel est le point de

56 LIVRli U — THÉORIE DBS OMBRlîS.

contact (x, od) d'un plan mené par une génératrice quelconque (OB, W B'), parallèlement aux rayons de lumière.

Il faudra donc construire (n° 156) diverses positions de la droite mobile indéfinie (AO, A'O'A,) ; par chacune de ces positions on conduira un plan parallèle au rayon lumineux , et Ton déterminera (n° 157) le point de cette génératrice où ce plan est tangent à la surface, point qui pourra se trouver tantôt sur la nappe inférieure , tantôt 6ur la nappe supérieure ; et la suite de tous ces points fournira les deux courbes indéfinies *

(MNOQP , M' N' *' Q, P,) , (mnOqp , m" » V. . . ) ,

comme lignes de séparation d'ombre et de lumière sur les deux nappes de la première 6pire de l'hélicoïde engendré par le mouvement de la droite (AO, A'O'Â,). Les spires suivantes décrites par la 2% la 3',... révolution de celte droite, offriront des séparations d'ombre identiques , lesquelles seront encore projetées horizontalement sur MNOQP et mnOqp ; mais les projections verticales de ces séparations de lumière, dont nous n* avons marqué ici que les portions utiles pour les filets de la vis, savoir, M"N", m"V", M"N W ,..., se trouveront plus élevées que M'NV etmVz", de 1, 2, 3,... fois le pas À' A" de l'hélice.

165. Les points (0, z')> (0, /),.•• où ces courbes vont couper Taxe de la vis, seront donnés par la rencontre de cet axe vertical avec les génératrices qui seront situées dans le plan méridien SO ; car, dans ces points de rencontre , le plan tangent de l'hélicoïde qui devra passer par la génératrice et par Taxe, se trouvera bien parallèle aux rayons lumineux , puisqu'il coïncidera avec le plan vertical SO lui-même. Ainsi le premier z' de ces points s'obtiendra eri construisant la première génératrice qui est projetée suivant Os; l'autre z" en construisant celle .qui est projetée suivant OS, et ainsi de 6uite, de manière que tous ces points z', z", z'",... seront distants les uns des autres d'une quantité égale à la moitié du pas A' A" de l'hélice directrice.

166. Toutefois, il faut observer que la branche supérieure z'Q,P, n'appartient pas précisément aux faces inférieures des filets de notre vis , et qu'il faudrait abaisser tous ses points d'une quantité constante A 3 D" ou À 3 D' pour retrouver les courbes P"Q" et P'Q 7 qui sont les vraies séparations de lumière sur ces faces du filet. Gela tient à la distinction que nous avons établie au n° 161 entre les deux hélicoïdes de même forme que décrivent les droites 0' A, et A"0".

167. (PL 10.) Des ombres portées. Les rayons lumineux qui touchent la face inférieure du filet le long de la courbe de contact (PQ, P'Q 7 ), iront tomber sur la face supérieure du filet situé au-dessous, et y traceront une ombre portée (QY, Q 7 Y") qui se terminera au point (Y, Y 7 ) où elle coupera l'autre séparation de lumière (MN, M'N') ; car le rayonlumineux , parvenu dans la position (VY, Y' Y'), se trouve tangent à la fois aux deux faces du filet, et va tomber 6ur le plan horizontal qu'il

CHAP1TM U. — EXEMPLES MVBI8. 57

rencontre an point (<p,Y). Poor construire la courbe (QY, (J'Y'), on construira d'abord les traces horizontales p<(4 et X<p des deux cylindres formés par les rayons lumineux qui glissent sur les courbes (PO, P'Q') et (MN, M'N'), traces qui ont Jet points p et X communs avec la trace ARyàad,... du cylindre dont nous avons parlé au n° 156. Gela posé, le point <j> où se couperont les denx traces pcp<|< et A<p fournira évidemment le rayon lumineux (tpYV, <p'Y'V) qui est tangent à la fois aux deux faces du filet 9 et qui fait connaître le point (Y, Y 7 ) où doit aboutir l'ombre portée que nous cherchons. Ensuite, après avoir construit une génératrice de l'hélicoïde A' a' qui parte d'un point intermédiaire en Q 7 et N', on mènera par cette droite un plan parallèle aux rayons lumineux, et on cherchera le point où sa trace horizontale rencontre la courbe pyty ; alor6 le rayon lumineux mené par ce point de rencontre ira couper la génératrice considérée en un point qui appartiendra à la courbe (QY, Q' Y'). Nous nous contentons ici d'indiquer ces opérations très-simples; et le résultat Q'Y' devra être transporté identiquement sur les autres 6pires en

<yY",<rï'",....

Sembla blement, de l'autre côté de la vis, il existera une ombre (çy, <fy") portée sur le filet par la courbe (pq, p^q"), et cette ombre se déterminera comme ci-dessus au moyen des traces *, n 7 et p], des cylindres formés par les rayons lumineux qui glissent sur les deux courbes (pq, p" q") et (mn, m n n")\ puis il faudra transporter aussi la ligne d'ombre q" y" identiquement sur les autres spires du filet , suivant q'y', q r// y f " y ...- y mais les extrémités supérieure et inférieure de la vis , où les filets se trouvent tronqués, exigeront quelques modifications dont nous allons parler.

168. Dans la partie supérieure, la vis est terminée par le plan horizontal h!" 1 <X W , au-dessus duquel nous avons laissé subsister une petite portion du noyau cylindrique, afin de faciliter l'engagement de la vis dans son écrou. Or, ce plan horizontal k""d"" a dû couper les faces inférieure et supérieure du filet suivant deux courbes ALd et kld qui 6ont deux spirales d'Archimède (G. />., n°620), et que nous avons construites de la manière suivante : après avoir mené des rayons qui divisaient la demi-circonférence APD en huit parties égales , nous avons diminué ces rayons successivement de {,£,£,••• de l'intervalle Aa , et par tous les points ainsi déterminés nous avons fait passer la courbe ALd; pour l'autre spirale kld, on a opéré semblablement.

109. Cela posé, sur la nappe A'Vrf"" la séparation de lumière est réduite à la portion de courbe (Q W L", QL) , et par suite l'ombre portée Q* Y" 7 est réduite à la portion (Q" Z', QZ) dont le dernier point est fourni par le rayon lumineux (L" Z', LZ) ; car, à partir de cette dernière position , les rayons lumineux vont glisser le long de la spirale (LU, I/U'), et ils iront percer le filet qui est au-dessous suivant une courbe nouvelle (Z' W, ZW) qui devra se terminer au point (W, W) où elle coupera la séparation de lumière (M W N", MN) déjà tracée.

Pour construire cette ombre (Z'W, ZW), il faudra d'abord chercher la trace s* édU. s

58 Liras i> — néOBis dus onans.

horizontale du cylindre lumineux qui aurait pour directrice la spirale (Ld, L"é") ; ensuite, par une génératrice quelconque de la surface gauche du filet , on conduira no plan parallèle au rayon de lumière, et par le point où la trace de ce plan rencontrera la trace du cylindre précédent , on tirera un rayon lumineux qui ira couper la génératrice considérée en un point de la courbe que Ton cherche.

170. De l'autre côté de la vis, le dernier filet présentera une séparation de lumière qui sera réduite ici à la portion {ml , m""/") ; et il n'y aura pas ici d'ombre portée sur ce filet. Mais le noyau cylindrique qui fait saillie, projettera sur le plan des deux spirales une ombre qui se composera évidemment de deux droites tangénies au cercle du rayon Oa, et il' une demi-circonférence égale à ce même cercle; seulement une faible partie de cette demi-circonférence subsistera ici , attendu que le plan horizontal A"" tf"" n'est pas prolongé au delà des deux spirales.

i7f . Dans la partie inférieure de la vis, le plan horizontal A'cf coupe aussi le filet suivant les deux spirales ALrf et A/d, et les séparations de lumière sur le premier tour du filet sont réduites aux portions (PL , P'"L') et (n/, vlV). Encore, cette dernière courbe se trouve réduite à la partie (/y, ttf) , à cause de l'ombre (qy, (fyf) portée par la courbe (pç, p'q').

172. (PL 10.) Ombres portées sur le plan horizontal. Gomme la construction de ces ombres 6e réduit à trouver les traces horizontales de divers cylindres parallèles aux rayous lumineux et dont les directrices sont des courbes connues par leurs deux projections, nous nous contenterons d'énumérer ces ombres , en indiquant les courbes d'où elles proviennent.

D'abord la courbe (ly, l'y[) projettera sur le plan horizontal une ombre lr t terminée au rayon lumineux (vyn , t>'«/V); puis, à partir de cette position , ce rayon glissera sur la courbe (vp, vfpl) et produira l'ombre r t z dont le dernier points se trouvera évidemment sur la courbe

qui est la trace du cylindre lumineux ayant pour directrice l'hélice extérieure de la vis, trace que nous avons recommandé (n° 156) de construire d'abord.

173. Parvenu dans la position (prr, pV), le rayon lumineux va glisser sur Tare d'hélicefpm, p f m") et produira l'ombre np; puis, à partir de cette situation (mp, m"p'), ii montera le long de la courbe (mu, m n n fr ) et produira l'ombre p», terminée au rayon lumineux (vyn 2 , t/'yV) ; car dans cette dernière position, il aura atteint la courbe (pq 9 p"q") sur laquelle il glissera depuis le point (t>, v u ) jusqu'en (p,p ff ),ce qui donnera lieu à la courbe d'ombre a, n t . Après cela, le rayon lumineux glissera sur Tare d'hélice (pm 7 p'W"), ce qui produira l'ombre * a p, ; et ainsi de suite pour les autres spires.

174. Dans la partie antérieure de la vis , on trouvera des circonstances analogues y mais un peu moins distinctes 7 a cause de la petitesse de certains arcs;