CIJ A PITRE II, — EXEMPLES DIVERS

c'est pourquoi nous a vois commencé l'explication par l'autre partie. Ainsi, ta séparation de lumière (PL, Y n \J) produira l'ombre LR; ensuite le rayon lumineux • glissera sur Tare d'hélice (PM, P"'M') et produira l'ombre RyX; puis, en glissant «UT Tare (MY, M 7 Y') , il donnera lieu à l'ombre X<p terminée au rayon lumineux (VY<?, V'Y'f'). Mais dans cette dernière position, ce rayon aura atteint la courbe (PQ, P / Q / ) sur laquelle il glissera suivant le petit arc (VP, VF), et produira l'ombre cpp ; puis, à partir de la position (Pp, PY), il glissera sur Tare d'hélice (PM , P' M") , en produisant l'ombre py, X, ; et ensuite on retrouvera successivement des courbes identiques avec les précédentes.

175. (PL 10.) Discussion. Dans l'épure actuelle, la séparation d'ombre et de lumière sur l'hélicoïde gauche est composée de deux branches séparées

(MNOQP, M'NVQ,P 2 ) et (mnOqp, rri'ri'z". ..),

dont chacune se prolonge indéfiniment sur les deux nappes de cet hélicoïde; et il en sera ainsi toutes les fois que l'angle &> formé par le rayon lumineux (SOu, S'0"V) avec l'horizon , sera plus petit que l'angle a formé par la génératrice (AO, A'O') avec le même plan. Mais si l'angle a> était plus grand que «, les deux branches ONM et Qnm iraient en se rapprochant de la droite Oo>, et finiraient par se réunir en un point situé à une petite distance au delà de cette droite; il en serait de même des deux autres branches supérieures OQP et Qqp , de sorte que la séparation d'ombre et de lumière deviendrait alors une courbe fermée. Pour justifier ces assertions, rappelons d'abord quelques principes qui sont évidents par eux-mêmes ou par les détails précédents :

i°. La pente d'un plan quelconque , c'est-à-dire l'angle qu'il fait avec l'horizon , est toujours plus grande que la pente de toute droite contenue dans ce plan ; et cette dernière devient au plus égale à l'autre, quand la droite considérée est perpendiculaire à la trace horizontale du plan en question.

2°. Lorsque le point de contact d'un plan tangent à l'hélicoïde gauche se meut sur une même génératrice de cette surface, en s'éloignant de l'axe vertical , la pente du plan tangent diminue depuis 90° jusqu'à ce qu'elle devienne égale à la pente a de cette génératrice, limite qu'elle n'atteindrait que si le point de contact était à l'infini. Cela deviendra évident si l'on se rappelle la manière dont nous avons construit (n°156) le plan tangent pour le point quelconque (B, B') de la génératrice (OBG, 0"'B'G'); car il en résulte que l'angle BGT est nécessairement aigu.

3°. Au contraire, lorsque le point de contact du plan tangent se meut en restant sur la même hélice , la pente de ce plan (n° 158) demeure constante.

176. Cela posé, lorsque l'angle a> sera plus grand que a, il y aura sur l'hélicoïde une certaine hélice (facile à déterminer et que j'appelle H) pour tous les points de laquelle les plans tangents auront une pente égale à » (*)• Or si , pour trouver

O Pour trouver cette hélice H , après avoir tracé le rayon lumineux (O"*»'» «) , il faudra décrire

60 JJVBB I. — THÉOniB DBS 0MB1IK8*

celai de ces plans qui est parallèle au rayon lumineux , on applique à l'hélice H la méthode employée au n° 159 pour l'hélice du rayon OB, on doit apercevoir immédiatement et sans effectuer les constructions, que les deux tangentes «F et w/vont se réduire à une seule droite, attendu que le cône auxiliaire ayant actuellement une pente égale à celle du rayon lumineux (Ou, 0"' «'), sa base, qui était le cercle du rayon OH , deviendra une circonférence passant par le point u lui-même* D'où il suit que, sur l'hélice H, les deux points analogues à M et m se réduiront à un seul ; et il en sera de même des points analogues à P et p.

Quant aux hélices d'un rayon plus grand que H, elles ne contiendront plus de points appartenant à la séparation d'ombre, parce qu'alors la base du cône auxiliaire embrassera le pied o> du rayon lumineux mené par le sommet; conséquence qui s'accorde avec la remarque faite plus haut (n° 175, i*), puisque les plans tangents relatifs aux points de ces hélices auront tous une pente moindre que «, et ne sauraient dès lors renfermer aucun des rayons lumineux qui ont une inclinaison égale à *>.

177. D'après ces détails, on comprend que, sur la vis de la PL 9, il deyait y avoir aussi une courbe fermée Y représentant la séparation d'ombre et de lumière sous le rapport géométrique, c'est-à-dire comme ligne de contact de l'hélicoïde avec des droites parallèles aux rayons lumineux ; mais cette courbe n'ayant aucune existence physique, attendu qu'elle se trouvait alors recouverte par les ombres portées , nous n'avons pas pris la peine de la tracer dans cette épure.

Ombres (tune Vis à filet carré.

178. (PL 1 1 .) Le noyau de cette vis est encore formé par un cylindre vertical projeté sur le Cercle abde; mais le filet saillant est engendré par le mouvement d'un carré (A" A'W, An) dont les deux bases vont rencontrer toujours l'axe de la vis sous un angle droit, tandis que l'un des sommets (A, A'") demeure constamment sur une hélice (ABDE, A r D x A //r D w . . . ) dont le pas A' A"' est ordinairement double du côté A" A'". Il résulte de là que les faces supérieure et inférieure du filet sont deux hélicoïdes gauches à plan directeur (G. D. , n° 628) ; mais le filet offre en outre une face latérale décrite par le côté A" A'", et composée de zones cylindriques , .projetées toutes sur le cercle ABDE.

avec un rayon égal à 0<*> , une circonférence qui sera la base d'un cône ayant son sommet en (0. 0*) et dont les arêtes auront la pente w; puis , conduire à ce cône un plan tangent passant par la génératrice (OBG, 0"'B'G'), ce qui se réduit à mener au cercle précédent une tangente partant du point 6. Alors ce plan, qui aura bien une pente égale à *>, devra ôlre tangent à l'hélicoïde dans un certain point de la génératrice (OBG, 0"B'G') ; donc, en cherchant ce point de contact par le procédé fort 8impledu n° itf7, on obtiendra un point de l'hélice limite que nous ayons désigné par H f ce qui suffit pour déterminer complètement cette courbe.

(Xn trouvera un exemple de cette détermination au n* 180, mais pour un hélicoide particulier.