CHAPITRE H. — EXEMPLES D1VER
179. Sur celte face latérale, les ligues de Réparation d'ombre et de lumière s'obtiennent immédiatement , puisque ce sont les portions successives des deux arêtes verticales B et E suivant lesquelles le cylindre est touché par les plans tan* gents qui sont parallèles au rayon de lumière (SO , S' G"). De même, sur le noyau cylindrique abde, les deux verticales b et e fourniront les séparations d'ombre et de lumière b'b\ e' e ff > .., ; mais une partie de ces dernières lignes sera recouverte par les ombres portées dont nous parlerons bientôt.
180. Sur la face gauche du filet, il n'y aura pas ici de séparation de lumière, quoique la méthode du q° 157 et celle du n° 159 demeurent applicables , et même avec plus de simplicité, à l'hélicoïde actuel dont la génératrice À"V" forme avec Taxe un angle constamment droit ; mais ces méthodes conduiraient à trouver pour ligne de contact des plans tangents parallèles au rayon lumineux , une courbe fermée qui serait entièrement comprise dans l'intérieur du noyau cylindrique abde.
Pour justifier cette assertion 9 il 6uffit de chercher l'hélice limite que nous avons désignée par H au n° 176. A cet effet, menons le rayon lumineux (CI', 01) , et décrivons le cercle 1K qui sera la base d'un cône de révolution ayant son sommet au point (C, 0) et dont les génératrices auront la même pente <ù que le rayon lumineux. Si alors nous menons à ce cône un plan langent passant par la génératrice (GO, C) de l'hélicoïde, ce plan, qui aura évidemment pour trace la droite K9 parallèle à GO, aura aussi une pente égale à *> , et se trouvera tangent à l'hélicoïde dans un certain point y de la génératrice (GO, £')• Or ce point inconnu y doit être sur une hélice dont la sous-tangente soit égale à OK ; donc , si nous menons la tangente CT égale à l'arc de cercle CA , et qu'après avoir tiré OT qui rencontre K0 au point 6, nous abaissions la perpendiculaire 0y , nous obtiendrons le point de contact demandé 7 ; car il est bien évident , par suite des triangles semblables , que Tare de cercle «y sera égal à 6y. Il résulte de là que l'hélice projetée sur <r/3... est telle que pour tous ses points , les plans tangents de l'hélicoïde ont une pente égale à w , et qu'ainsi (n° 176) la séparation d'ombre et de lumière ne peut s'étendre au delà de cette hélice ayi; or , puisqu'ici cette hélice est en dedans du noyau de la vis, il n'y a donc pas de séparation d'ombre et de lumière sur le filet saillant.
181. (Pi. ii.) Ombres portées. La courbe /'</'?'/' est l'ombre portée sur le noyau cylindrique abde par l'hélice inférieure (DAB , D A1)") , et c'est l'intersection d'un cylindre vertical avec un cylindre oblique ; on l'obtiendra donc aisément en tirant, par un point quelconque ( G , G') pris sur cette hélice, un rayon lumineux dont la projection horizontale Gg ira rencontrer la base du cylindre droit en un point g j lequel devra être rapporté en g 1 sur la projection verticale du rayon lumineux en question. Le point p' de cette courbe s'obtiendra en menant le rayon particulier aP, et les points extrêmes /' et/' se trouveront en employant les rayons éL et e¥ qui sont tangents au noyau.
182. Le rayon lumineux (LA, LT), qui est devenu tangent au noyau , ira tomber
6à UVAE I. — TttBORJE DES OUDOES.
sur la face gauche du filet en un point (M, M') qui sera déterminé par la rencontre de L'ï avec la courbe 6'M y 6' que nous allons apprendre à construire. Cette courbe est l'ombre portée sur la face gauche du filet par le plan qui touche le noyau le long de la verticale (6, b'W); ainsi on l'obtiendra en construisant diverses gêné* ratrices de l'hélicoïde, et en cherchant les points où leurs projections horizontales sont coupées par la trace bS du plan tangent dont nous venons de parler. Mais cette courbe 6'M'6' devra se terminer, comme ligne d'ombre, au point M' où elle sera rencontrée par la droite L'/'M' , attendu qu'à partir de cette dernière position , les rayons lumineux qui glissent sur l'hélice extérieur (L'R'D", LRD), iront tomber sur la face gauche du filet et y traceront une nouvelle ombre (MN, M'N') qui se construira de la manière suivante.
183. On devra d'abord déterminer la trace horizontale du cylindre formé par les rayons de lumière qui glissent sur l'hélice (A"L'D", ALD), courbe que nous avons déjà figurée plusieurs fois dans les vis précédentes; ensuite, par une génératrice quelconque de l'hélicoïde , on conduira un plan parallèle aux rayons de lumière , dont la trace horizontale ira couper la trace du cylindre précédent en un certain point; et si par ce point on mène un rayon lumineux , il ira rencontrer la généra* trice de l'hélicoïde en un point qui fera partie de la courbe cherchée (MN, M'N 7 ). Nous ne faisons qu'indiquer ces opérations très-faciles à effectuer , parce que la courbe dont il s'agit est extrêmement aplatie, et que le dernier point (N , N') s'obtiendra directement en cherchant l'intersection des traces horizontales des deux cylindres lumineux qui auraient pour directrices les deux hélices inférieure et supérieure A''R'D'' et A'B'D'..
184. (PL ii.) Tous les résultats précédents devront être reproduits identique** ment sur les diverses spires du filet ; en outre, en arrière du plan vertical AD, il y aurait une courbe d'ombre partant du point q> , et portée sur le plan horizontal par l'arc d'hélice (FE, F'E'); puis, sur chacune des spires suivantes , une courbe partant du point e'" , et qui étant l'intersection de la face gauche avec le plan tan* geutle long de la verticale (e,*?'"*?""), se construirait comme la courbe (6M6,6'M'6 / ) du n° 182. Mais, toutes ces lignes étant invisibles sur l'épure, nous n'avons pas jugé utile de les tracer.
185. Quant à la tête de la vis, qui a la forme d'un prisme octogonal VXY.«. , elle portera ombre sur le dernier tour de filet , suivant trois arcs d'ellipse
( 9 V, Eu), (t>' M V, vx) , (*y, xxj),
qui sont les intersections du cylindre vertical EABD avec les plans conduits parallèlement aux rayons de lumière suivant les trois côtés de l'octogone
(QV,Q'V), (VX,V'X'), (XY,X'Y').
II sera donc bien facile de construire ces courbes, puisque, après avoir tiré un
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rayon lumineux tel que (Vt>, W), il n'y aura qu'à ramener sur sa projection verticale , le point v où sa projection horizontale rencontre la base EABD du cylindre droit.
186. En prolongeant suffisamment la troisième ellipse ' x' y\ elle ira couper l'hélice inférieure du filet en un point y' tel que le rayon lumineux correspondant (Y'j/\ Yy) ne fera plus que raser ce filet; ce rayon poursuivra donc sa course , et il ira tomber sur la face gauehe en un certain point (w, &>') qui sera donné par la rencontre nécessaire de la droite ( Yy , Y'y') avec la courbe (MN , M'N*) , puisque cette dernière est déjà Pombre portée par l'hélice À"";/' sur la même surface gauche (n # 183).
Enfin , le reste du plai* d'ombre correspondant à la portion de droite (YZ, Y Z') ira couper la face gauche du filet suivant une courbe nouvelle («*, &>V) qui se déterminera en cherchant les intersections de ce plan connu avec diverses génératrices de Thélicoïde , lesquelles sont bien faciles à construire.
187. Nous n'ajouterons pas de nouveaux exemples de la détermination des ombres , parce que ceux qui précèdent ayant offert tous les genres de surfaces que l'on rencontre ordinairement, et les circonstances les plus délicates ayant été discutées avec soin , nous pensons dès lors avoir fourni an lecteur intelligent des ressources suffisantes pour résoudre tous les cas nouveaux qui pourront se présenter à lui. Mais, en parlant ainsi, nous supposons que le lecteur aura exécuté lui-même la plus grande partie, au moins, de nos épures, et qu'il aura suivi attentivement toutes les. discussions , en apparence minutieuses, dans lesquelles nous sommes entrés quelquefois j car c'est seulement par de semblables exercices qu'il acquerra l'habitude précieuse de savoir pressentir, avant les opérations graphiques , quelle sera la forme approximative et l'étendue des ombres principales sur un objet donné, quelles portions de celles-ci seront recouvertes par les ombres accessoires, les ressauts qui devront avoir lieu en passant d'une paroi à une autre non conttguë, etc. Or ce talent de prévision, qui est toujours utile, devient tout à fait indispensable dans les cas assez fréquents où l'absence de données géométriques , ou bien le manque de temps , ne permet pas d'employer les méthodes rigoureuses dont nous nous sommes servis; alors il ne reste d'autre guide que le sentiment des formes, lequel ne s'acquiert que par des exercices nombreux, exécutés au moyen de procédés géométriques.
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