CHAPITRE III. — POINTS BRILLANTS ET DÉGRADATIONS DE TEINTES

195. Cela posé, par un poiut n choisi arbitrairement sur la droite donnée OS, mais pris entre et S, nous mènerons une normale na à la surface proposée, et nous chercherons le point a où elle va percer cette surface (voyez n° 197). Ensuite, nous tirerons parallèlement à Sa la droite Ov qui rencontrera nécessairement la normale an en un certain point v; puis nous chercherons sur cette normale un point a tel, que sa distance au point soit égale à l'intervalle Ov , ce qui s'effectuera aisément , dans une épure régulière, en rabattant sur un des plans de projection le plan des deux droites Ov et anv. Alors, si le point a ainsi déterminé coïncidait avec .a, on aurait trouvé le point brillant; mais, comme cela n'arrivera pas généralement , on répétera de semblables constructions pour une seconde normale n'a menée d'un autre point n' de la droite OS, et sur laquelle on déterminera un point a tel, que la distance 0<%' soit égale à Ot/j puis, en continuant ainsi, on se procurera deux courbes (terreur dont Tune ad a"... sera le lieu des points de la surface pour lesquels les normales vont rencontrer la droite SO, l'autre ««V... le lieu des points qui, sur ces normales, sont à la môme distance de l'œil que les points v, t/, t/',...; par conséquent, tout point A qui sera commun à ces deux courbes , remplira les deux conditions à la fois , et sera une solution du problème proposé.

196* II faut cependant observer que, parmi les divers points de section que pourront offrir les deux courbes d'erreur aa'a".*. et auto!'... prolongées dans tout leur cours , on ne devra admettre que ceux qui se trouveront situés dans la portion de surface qui est commune au contour apparent et à la séparation de lumière, portion que nous avons désignée par AFCDEF sur la fi g. i ; car, au dehors de cette région , le rayon incident ou le rayon réfléchi serait obligé de traverser le corps opaque, ce qui ne peut convenir aux rayons lumineux.

Il pourra même n'y avoir aucune solution, lorsque l'enveloppe du corps sera formée, comme il arrive souvent, par diverses portions de surfaces brusquement terminées, et qui ne s'étendront pas jusqu'à la région où serait placé le point brillant sur la surface géométrique complètement achevée.

197. Quant à la manière de mener une normale à une surface, par un point donné extérieurement, problème que suppose résolu la méthode du n° 195, il faut avouer que la Géométrie ne fournit pas de solution directe et rigoureuse, quand la surface a une forme tout à fait quelconque; aussi, dans ce cas, le moyen le plus court pour un praticien habile, sera de mener une normale approximative, et, après avoir construit le plan tangent pour le point où elle ira percer la surface , d'examiner de combien et dans quel sens ce plan tangent s'éloigne de la direction perpendiculaire qu'il devrait offrir par rapport à la normale supposée ; puis , en modifiant convenablement la position du point de contact , il arrivera après deux ou trois essais à la normale exacte. Toutefois, si l'on désire un procédé plus méthodique, on peut employer la marche suivante.

6R MVRK I. — TIIKOniB DKS ONBMCS.

198. Par le point donné n on mènera une droite quelconque, par exemple une verticale, et suivant cette droite on conduira divers plans dont on cherchera les intersections avec la surface proposée; puis, à ces courbes planes on mènera des normales partant de n, ce qui s'effectuera aisément (G. D. f n° 324) après avoir rabattu chacune de ces courbes sur un des plans de projection; et la suite des pieds x 7 x\ #",.•• de ces normales sur la surface formera une première courbe qui contiendra évidemment le point cherché a. Semblablement , par une seconde droite menée du point n, une horizontale par exemple, on conduira une série de plans sécants qui fourniront des courbes planes auxquelles on mènera des normales partant de n; alors la courbe yy y"... formée par les pieds de ces normales, coupera la courbe précédente xx'x"... en un point a, pour lequel la droite na se trouvera perpendiculaire à deux tangentes de la surface, et conséquemment elle sera normale à cette surface même.

Mais il est bien rare qu'on ait besoin de recourir à ces procédés laborieux ; parce que dans les applications usuelles on ne rencontre guère que des surfaces de révolution, des cylindres et des plans, et qu'alors la recherche de la normale se simplifie beaucoup.

199. En effet, lorsque la surface est de révolution , quel qu'en soit le méridien, on conduit un plan par Taxe et par le point en question n , ce qui fournit une section méridienne à laquelle on mène une normale parlant de n, et c'est la normale de la surface même. Cette opération s'effectuera aisément après avoir rabattu sur un des plans de projection la méridienne en question , et Ton obtiendra en

ipème temps le point où cette normale perce la surface proposée.

200. Dans ce cas , on pourrait aussi ne pas prendre arbitrairement le point de départ n de la normale sur la droite OS (n° 195) , mais considérer un parallèle de la surface de révolution , et chercher quelle est , parmi toutes les normales correspondantes à ce parallèle , celle qui va couper la droite OS. Or,, on y parvient trèsfacilement en conduisant un plan par la droite OS et par le sommet du cône , lieu Je toutes ces normales; car l'intersection de ce plan avec le pian du parallèle sera une droite qui coupera ce cercle en deux points par lesquels passeront les normales cherchées : mais il n'y aura ordinairement qu'une seule d'entre elles qui soit admissible ici , d'après les restrictions du n° 196.

201. Lorsque Ja surface proposée est cylindrique , il suflSt de mener parle point considéré n un plan perpendiculaire aux génératrices de ce cylindre ; et, après avoir construit la section droite produite par ce plan , on lui mène une normale partant de n , laquelle est évidemment la normale de la surface même.

202. (PL i2 y fig. 4.) Enfin , quand il s'agit d une face plane MP , le point brillant s'obtient immédiatement par une construction connue, laquelle consiste à abaisser la perpendiculaire SB que l'on prolonge d'une quantité BC égale à ellemême ; et en tirant CO , cette droite va couper le plan au point cherché A. En effet,