CHAPITRE III. — POINTS BRILLANTS UT DÉGRADATIONS DB TEINTES

224» Au moyen de cette expression analytique , cherchons te point brillant de la surface éclairée, c'est-à-dire celui qui offre le maximum de clarté apparente. On

sait qu'il faut satisfaire aux deux conditions — = o, et — =o, lesquelles devien-

dp dq

nent ici

(P) z ■ j— jr^ = O.

Or on vérifie simultanément ces deux»équations par l'hypothèse p =o et q = o, ce qui donne X = B pour le maximum de clarté apparente , et annonce que cette circonstance aura lieu au point M de la surface où le plan tangent est parallèle au plan des xy : donc la normale en ce point sera parallèle à Taxe des % ; et d'après la disposition que nous avons admise au n° 223 pour les axes coordonnés , on voit que la normale MN du point brillant est telle, qu'elle divise en deux parties égales l'angle S'MO 7 formé par le rayon lumineux et le rayon visuel , résultat qui s'accorde parfaitement avec ce que nous avons trouvé par d'autres considérations dans le n* 193.

Si la surface en question était cylindrique ou développable , la condition précédente fournirait non pas nn point, mais une ligne brillante, puisque les normales seraient toutes parallèles le long d'une même génératrice.

225. Les équations (7) et (8) n'admettent pas d'autres solutions que la précédente: car, pour la question physique, il faut rejeter toutes celles qui rendraient négative la quantité X ; et par la même raison , celte variable n'admet d'autre minimum que zéro , valeur qui s'obtient en posant

(9) 1 — a*p* = o , d'où p =a±. -♦

La première de ces deux solutions indique tous les points de la surface T pour lesquels le plan tangent est parallèle à la droite AS qui a été représentée par x=gz; car l'équation générale du plan tangent

dans laquelle on poserait Y=o pour obtenir la trace sur le plan des as, donnerait nne droite parallèle à x=az, ce qui suffit bien pour que le plan tangent soit luimême parallèle à cette direction , quel que soit d'ailleurs q. Il s'ensuit que le lieu des points de la surface T qui répondent à la première valeur (9), est précisément ta séparation (T ombre et de lumière sur le corps T, et il est vrai de dire que la clarté apparente y est nulle, puisque nous ne tenons pas compte des reflets de l'atmosphère, dans les calculs précédents.

Quant à ta seconde racine de l'équation (9), on verra de même qu'elle indique Ions les points de la surface T où le plan tangent devient parallèle à la droite ÀO

qui a été représentée par x= — a*; donc le lieu de tous ces points est le contour apparent du corps T, puisque le spectateur est supposé ici placé à une distance infinie , dans la direction AO ; et pour ce contour, la clarté apparente devient effectivement nulle , puisque les points situés sur cette limite cessent d'être vus par l'observateur.

226. On peut aussi se proposer de trouver, sur la surface du corps éclairé , les courbes (T égale teinte , ou plutôt les zones infiniment étroites dont chacune offrira dans tous ses points la même clarté apparente, et devra conséquemment être recouverte d'une teinte uniforme. Il suffit, pour cela , d'égaler à une constante arbitraire la valeur de \ tirée de (4) ou (6) ; et si Ton s'arrête à l'hypothèse du parallélisme pour les rayons lumineux et pour les rayons visuels , la condition sera

laquelle , jointe à l'équation F (x, y,z)=o de la surface éclairée, déterminera les courbes cherchées. Chacune d'elles 6e distinguera des autres par la valeur particulière qu'on attribuera à c ; mais cette constante devra toujours rester comprise entre o et 1 , parce que la quantité \ a pour minimum zéro (n° 225), et pour maximum B (n # 22ù).