CHAPITRE II. — MÉTHODE DBS POINTS DE FUITE

MN du plan de front où est située la verticale M. Ensuite , si Ton imagine que cette dernière droite soit transportée parallèlement jusqu'en N, elle 6e trouvera alors comprise entre les deux horizontales projetées sur AB, et qui ont pour perspectives TY et Vf; donc N'N" sera la perspective de la verticale h projetée en N, et c'est aussi la grandeur qu'il faut donner à la perspective M' M" de la verticale h projetée en M. Cette conséquence est fondée sur ce que ces deux verticales de môme longueur étant situées dans le même plan de front , leurs perspectives N ; N" et M 7 M* doivent être égales , comme nous allons le démontrer en généralisant ce théorème de la manière suivante.

275. (PL i3, fig. 4)* Lorsque deux droites AB et CD, égales en longueur, sont situées dans un même plan de front LMN, leurs perspectives A'B' et CD 7 sont égales entre elles , quelle que soit la direction des lignes originales. En effet, puisque le plan LMN est parallèle au tableau VXY, ce dernier plan coupera les triangles OAB et OCD formés par les rayons visuels, suivant des droites A 7 B 7 et CD* respectivement parallèles aux bases ; ainsi le rapport de AB avec sa perspective A 7 B' égalera le rapport des rayons visuels OA et (VA 7 , ou bien celui des perpendiculaires OP et OP abaissées de l'œil sur les deux plans : donc on aura

AB: A'B' ;;OP:OP'. Mais on aura de même

CD:C'iy::OP:OF;

et puisque AB= CD, il résulte bien de ces proportions que A / B' = C / Q / .

Lorsque AB et CD seront inégales, une conséquence plus générale à tirer de ces proportions, c'est que les longueurs des perspectives seront dans le même rapport que les longueurs originales.

Ainsi , une suite de pilastres identiques , et qui correspondent à un même plan de front, doivent avoir tous sur le tableau des hauteurs égales et des largeurs égales , quoiqu'ils soient inégalement éloignés du point de vue. Mais, leurs dimensions diminueraient en s'éloignant du tableau ; et les proportions précédentes montrent que , pour une droite parallèle au tableau , la grandeur perspective est à la grandeur originale , comme ta distance du point de vue au tableau est à cette distance augmentée de celle du tableau à la droite primitive.

\ 276. En général, tout polygone situé dans un plan de front aura pour perspective un autre polygone semblable au premier ; car la perspective obtenue ne sera autre chose que la section faite dans la pyramide des rayons visuels par un plan parallèle à sa base. D'ailleurs, toutes les dimensions de cette perspective auront, avec les dimensions du polygone original , le rapport de grandeur qui a été cité au numéro précédent.

Remarquons enfin que si un point divise une droite parallèle au tableau en deux

100 LIVRE IT. — PERSPECTIVE LÏÏNB/URK.

parties qui soient : : m :n y la perspective de ce point divisera pareillement la perspective de la droite en deux parties qui offriront le même rapport.

: 277. (PL i3,y?</. 9). Des droites obliques a l'horizon. Si une telle droite était définie par sa projection AB sur le géométral et par sa projection A' B' sur le tableau, il suffirait de prolonger ÀB jusqu'en T sur la ligne de terre XY, et d'élever la ver* ticale TT' qui, par sa rencontre avec A'B', donnerait la trace V de la droite en question. Ensuite, le rayon visuel conduit parallèlement à cette droite aurait pour projection verticale PF' parallèle à A'B'; et sur le plan d'horizon qui est rabattu ici autour de sa ligne de terre DPF, ce même rayon visuel serait projeté suivant 0' F parallèle à AB ; donc , en élevant la verticale FF 7 , elle irait couper PF' en un point F' qui serait le point de fuite de la droite (AB, A'B 7 ), et conséquemment la perspective de cette droite serait T' F'. Mais cette marche , que nous indiquons ici simplement comme un exercice pour le lecteur, ne s'emploie jamais parce qu'elle exigerait que l'on traçât la projection de l'objet original sur le tableau même , et qu'ainsi cette projection se trouverait mêlée avec la perspective que l'on veut obtenir.

278. (Fig. 9). Définissons donc une droite oblique en donnant seulement sa projection MN sur le géométral , avec son inclinaison w sur l'horizon , et la hauteur h d'un de ses points projeté en M. Alors le rayon visuel mené parallèlement à la droite proposée aura pour projection sur le plan d'horizon la ligne O'F parallèle à MN; et il formera avec cette projection 0' F un triangle rectangle que nous allons rabattre autour de son côté vertical FF'. Pour cela on prendra FO"=FO' et l'on tracera l'angle F0"JF' égal à *>, la ligne 0" F' sera le rabattement de ce rayon visuel sur le tableau. Donc le point F' où elle ira couper la verticale élevée par F, sera la trace de ce rayon visuel, et conséquemment ce sera le point de fuite de la droite en question.

Maintenant, pour obtenir la perspective du point projeté en M , nous allons chercher d'abord celle de la projection M, en combinant les deux droites TM et RM qui ont évidemment pour perspectives t¥ et R'P, lesquels se coupent en m (*); puis, il restera à élever par ce point une verticale m M" qui soit perspectivement égale à h. Nous prendrons donc sur le tableau R'R"=/i, et la ligne R"P représentera une parallèle àR'P, laquelle coupera la verticale indéfinie menée par m dans un point M" qui sera bien à la même hauteur que R". Ainsi M" est la perspective du point de la droite originale qui est projeté en M ; et dès lors la perspective de cette droite sera enfin M" F'.

279. Remarque. Au lieu de donner l'inclinaison de la droite proposée, on aurait pu assigner les hauteurs des deux points projetés en M et N ; alors en opérant pour ce dernier comme nous venons de le faire pour M , on obtiendrait les deux points M"

(*) Ou bien menons par M deux horizontales à la hauteur A, et nous aurons directement If.