CHAPITRE II. — MÉTHODE DES POINTS DE FUITE

et N" qui suffiraient pour tracer la perspective demandée M" N", sans recourir au point de fuite F 7 . C'est ainsi que les questions relatives à des lignes obliques peuvent être ramenées à la seule combinaison de droites horizontales et de droites verticales ; et par cette méthode très- élémentaire il est facile de tracer la perspective d'un polyèdre quelconque, quand on connaît sa projection sur le géométral avec les cotes ou hauteurs de ses divers sommets.

Voilà les principes généraux de la méthode des points de fuite , exposés sur des droites et des points isolés; et, pour les rendre bien familiers au lecteur, nous allons les appliquer à quelques corps très-simples, terminés par des contours rectilignes. Mais auparavant, nous compléterons ces notions générales en ajoutant ici quelques définitions propres à abréger le discours dans certains problèmes plus compliqués.

280. (PL i3,jty. 5). Nous appellerons Plan principal le plan vertical conduit par le point de vue perpendiculairement au tableau ; c'est donc le plan OPZ qui contient le rayon principal OP, et qui servira quelquefois , conjointement avec le géométral et le tableau , à définir la position des objets au moyen de données numériques, analogues aux trois coordonnées d'un point de l'espace.

281. On désigne sous le nom de Plan fuyant tout plan vertical non parallèle au tableau. Ainsi le plan fuyant (Tune droite originale n'est autre chose que le plan qui projette orthogonalement cette droite sur le géométral , pourvu qu'elle ne soit pas parallèle au tableau ; car, dans ce dernier cas, son plan projetant serait un plan de front.

Une ligne fuyante désigne généralement une droite non parallèle au t^leau ; mais on applique surtout cette dénomination aux horizontales non parallèles au tableau, lesquelles ont toujours leurs points de fuite sur la droite d'horizon (n* 260).

282. Enfin, on appelle plan de fuite d'un plan quelconque 71, le plan 7/ mené par le point de vue, parallèlement à rc; et l'intersection du tableau avec le plan 7/ est dite la ligne de fuite du plan n , parce que celte intersection contiendra nécessairement les divers points de fuite de toutes les droites situées dans le plan n, ou simplement parallèles à 7:, attendu que tous les rayons visuels menés parallèlement à ces droites se trouveraient évidemment contenus dans le plan *'. Mais on se sert rarement de ces lignes de fuite (excepté la ligne d'horizon DPD' qui est celle des droites horizontales), parce qu'elles exigent. des constructions moins élémentaires dont nous donnerons cependant un exemple au n° 361.

Perspective de divers Pilastres.

283. (PL ih> fig- 1.) Soit ÂBGE le carré qui, sur le plan géométral, sert de base au premier pilastre : ce corps a la forme d'un parallélipipède rectangle, et il est surmonté par un chapiteau que nous réduirons à un autre parallélipipède pro-

102 L1VRB II. — PBRSPBCT1VE LINÉAIRE.

jeté sur le carré «6ye , mais qui est réuni avec le carré supérieur du pilastre par quatre faces en biseau , lesquelles présentent la forme d'un tronc de pyramide guadrangulaire , ainsi qu'on le voit indiqué dans tefig. 3. SoitXY la base du tableau vertical , c'est-à-dire son intersection avec le géométral ; après avoir transporté ce tableau parallèlement à lui-même jusqu'en X' Y' (n° 26ft) , et l'avoir rabattu sur le géométral autour de celte droite , nous y marquerons le point principal P et la droite d'horizon sur laquelle nous prendrons une longueur PD égale à la distance que Ton veut mettre entre l'œil et le tableau (*) ; alors D sera l'un des points de distance, et il deviendrait le véritable point de vue dans l'espace si Ton relevait la droite DP autour du point P, perpendiculairement au tableau. Il est inutile ici de rabattre ce point de vue en 0' sur la verticale PZ , parce que toutes les droites que nous aurons à combiner formeront avec le tableau des angles de 90 ou de 4$% et qu'ainsi leurs points de fuite P et D seront connus immédiatement (n" 261 et

2%. Cela posé , les côtés, AE et BC ayant leur point de fuite en P et leurs traces en T et R qu'il faut transporter en T' et R', auront pour perspectives totales (n° 253) les droites T'P etR'P. Ensuite, la diagonale AC venant percer le tableau en 6 et ayant son point de fuite en D (n° 261 ) , elle aura pour perspective la droite G'D; donc cette dernière ligne , en coupant les droites T'P et R'P, déterminera les points A' et C pour les perspectives des deux sommets A et C.

Quant aux sommets B et E , on pourrait obtenir leurs perspectives en tirant la diagonale BE dont le point de fuite serait à l'autre point de distance ; mais , sans recourir à oe point qui fournirait d'ailleurs une droite trop oblique dans ce cas-ci , il n'y a qu'à observer que les côtés AB et EC, étant parallèles au tableau, devront rester en perspective (n*256) parallèles à leur direction primitive; donc il suffira de tracer les horizontales A'B' et CE' qui achèveront de déterminer la perspective A'B'C'E' du carré ABCE.

285. Les arêtes verticales du pilastre qui sont projetées en A , B, C , E , deviendront en perspective (n* 256) les verticales indéfinies élevées par les points A, B', C , E'. Mais pour trouver leurs longueurs dégradées, j'observe que la diagonale AC de la base supérieure du pilastre ira percer le tableau en un point de la verticale 6 , et que ce point doit être à une hauteur G' G" égale à la hauteur absolue h assignée pour le pilastre; donc G'D est la perspective de cette diagonale supérieure, et sa rencontre avec les verticales partant de A' et C déterminera les som-

(*) Cette distance PD peut sembler plus courte qu'elle ne devrait être d'après les limites indiquées au n° 249; mais il faut observer d'abord que le cadre de nos épures, sur lesquelles nous avons réuni quelquefois plusieurs objets indépendants les uns des autres, n'est pas précisément le cadra du tableau de perspective; ce dernier n'aurait besoin d'offrir que la grandeur nécessaire pour embrasser le résultat qui se rapporte à un seul objet. Ensuite, nous avons souvent diminué cette distance PD, pour rendre sensibles certains détails qu'il importait d'étudier sous le rapport de la géométrie

GHAPITfifi H. — MÉTHODE DBS POINTS DE FUITE. 108

mets A' 7 et C\ Ensuite, les horizontales A"B" et CE" menées par ces derniers points, couperont les autres verticales aux deux derniers sommets B" et C"; et d'ailleurs les côtés A"E" et B"C" ainsi déterminés devront converger vers le point P, puisqu'ils représentent deux droites perpendiculaires au tableau.

286. Considérons maintenant le chapiteau et d'abord le petit parai lélipipède rectangle , projeté sur le carré aSye- Nous pourrions nous borner à dire qu'il faut exécuter les constructions toutes semblables à celles qui ont servi pour le pilastre , avec le soin de prendre , au lieu de X'Y', deux lignes de terre élevées à la hauteur des bases du chapiteau : mais, pour varier les méthodes, nous observerons que les deux diagonales de ces bases, qui sont encore projetées sur G«y, vont percer le tableau sur la verticale G , en deux points G 3 et G 3 dont les hauteurs audessus de G" dépendront des dimensions du chapiteau, et seront assignées par la question , soit au moyen de données numériques , soit au moyen de Vélévation représentée dans la fig. 2 ; dès lors ces deux diagonales auront pour perspectives les lignes G,D et G,D. Ensuite, si Ton cherche les perspectives * et y' des deux angles a et y considérés comme étant sur le géométral même , et qu'on élève par ces points a et y' des verticales indéfinies , elles iront couper les deux diagonales précédentes G,D et G,D aux points a" et a", y" et y w , qui seront évidemment quatre sommets du chapiteau. Alors , en joignant les sommets a" et y" avec Je point

principal P, on achèvera aisément la perspective <%"6"y''*" de la face inférieure de ce chapiteau ; et les sommets «'" et y'" détermineront de même la face supérieure a '"g'"y"V". d'ailleurs les angles correspondants de ces deux bases devront être deux à deux sur une même verticale. Enfin , on réunira lés sommets inférieurs du chapiteau avec les sommets supérieurs du pilastre par les droites A'V, B"6", C"y", E V , qui représenteront les arêtes obliques suivant lesquelles se coupent les quatre faces en biseau.

287. La distinction des arêtes visibles et des arêtes invisibles est trop facile à faire ici , d'après la position assignée au point de vue en avant du plan vertical XY, pour que nous ayons besoin de l'expliquer. Seulement, nous rappellerons que, suivant les conventions adoptées dans la Géométrie descriptive (n* 35) , il faut, marquer les lignes peiwcipales avec un traU plein quand elles sont visibles , et en points ronds lorsqu'elles sont invisibles , sans que cette distinction s'étende aux lignrs auxiliaires qui doivent toujours être pointUtées.

288. (PL 14, fig. 1.) Deuxième pilastre. Ce pilastre, qui a pour base sur le géométral le carré abce , a ses faces latérales dans le prolongement des faces du premier ; ainsi les côtés ae et bc auront encore pour perspectives indéfinies les droites T'P et R'P; puis, comme la diagonale ae vient percer le tableau en g , elle a pour perspective la ligne g'D qui coupe les deux précédentes aux points a' etc', avec lesquels il est bien facile d'achever la perspective a'b'c'e' du carré abce.

La diagonale ac de la base supérieure de ce pilastre ira percer le tableau XY sur

la verticale g , mats à une hauteur g' g JI égale à G' G" , parce que les deux pilastres sont supposés de même grandeur. Donc g"D sera la perspective de cette diagonale ; et elle coupera deux des quatre verticales élevées par les angles a', b\ c', e', aux points a 7 ' etc", avec lesquels ou achèvera la base supérieure a! 1 b"c" e" , d'autant plus facilement que les côtés a" e" et b u c" devront être les prolongements des lignes déjà tracées À 7 ' E" et B" C".

289. Quant au chapiteau de ce pilastre , deux de ses angles seront donnés immédiatement par la rencontre de la diagonale g 7 D avec les prolongements des lignes «"e" et è' r y" , ce qui suffira pour tracer la base inférieure de ce chapiteau ; puis on en déduira la base supérieure au moyen de verticales combinées avec les côtés prolongés du premier chapiteau.

290. Observons ici que , pour un problème aussi simple , on pouvait se passer entièrement du plan géométral. 11 suffisait de connaître en nombres : i° les dimensions des pilastres; a° les distances TA et Ta de ces pilastres au tableau ; 3° la dis-

tance T'Z de la face latérale du pilastre à la verticale PZ du tableau; car les points G' et g' dont on a besoin , s'obtiendraient évidemment en prenant

T'G'=TG=TA, et Vg'=Tg=Ta.

291. Pour un pilastre vu obliquement , on opérerait comme nous allons le faire pour le socle ABGE de la fi g. 3 , qui est aussi un parallélipipède rectangle , et ne diffère d'un pilastre que par la hauteur qui est beaucoup moins considérable. Cest ce que les artistes appellent une vue accidentelle , où aucune des faces ni des diagonales n'est parallèle ou perpendiculaire au tableau. Une vue (T angle désignerait la position où Tune des diagonales serait perpendiculaire au tableau , et enfin la fi g. i offre une vue de face.

Perspective <fun Obélisque.

292. (PI. ikjfig* 3.) Cet obélisque est formé par un tronc de pyramide régulière , dont les deux bases parallèles sont projetées sur les carrés abce et «6ye ; mais cette pyramide repose sur un socle ABCE , dont nous allons d'abord chercher la perspective, en conservant pour le tableau et le point de vue les mêmes données que dans le problème précédent.

Les côtés AE et BC , situés dans le plan géométral , vont percer le tableau aux points T et R qu'il faut reporter en T ; et R' , sur la nouvelle base de ce tableau qui a été transporté de la position XY à la position X ; Y'; ensuite , si je rabats le point de vue sur la verticale du tableau, en prenant PO'=PD, et que je tire la droite O'F parallèle à AE , on sait (n° 263) que F sera le point de fuite des côtés AE et BC ; par conséquent ces côtés auront pour perspectives T'F et R' F.

Les côtés AB et EC sont trop inclinés pour que leur point de fuite soit commode à employer; mais si je tire la diagonale EB qui vient percer le tableau en G , et que

CHAPITfVB II. — MÉTHODE DBS POINTS D£ FCITB. 105

je lai mène la parallèle 0'/, le point de fuite de celte diagonale sera en / (n° 263), et elle aura pour perspective G'/, laquelle coupera les droites T'F et R'F aux points B' et E', perspectives des deux angles B et E.

298. Pour trouver l'angle A, j'emploierai la méthode par la corde de tare (n° 260) ; c'est-à-dire qu'après avoir rabattu la dislance AT suivant T'L', et le rayon de fuite F0 ; suiyant FO", je tracerai la droite 0"L' qui, étant la perspective de la corde AL, déterminera le point A' perspective de l'angle A. De même, en prenant R'M'=HC, la droite 0"M' déterminera le point C, perspective de l'angle C; et alors A'B'C'E' sera la perspective complète du carré ABCE.

29ft. Quant à la base supérieure du socle, j'observe que les côtés projetés sur AE et BG iront percer le tableau en deux points projetés en T et R , mais qui seront réellement situés en T" et R", à une hauteur T'T" égale à celle qu'on voudra donner au socle ; par conséquent les perspectives de ces deux côtés seront les droites T"FetR"F, qui rencontreront les verticales A'A", B'B'\C'C", E'E", aux quatre angles de la base supérieure A"B"C"E" que Ton voulait déterminer.

295. Yenons maintenant à la pyramide dont la base inférieure abce est dans le plan horizontal qui a pour ligne de terre T'R", Les côtés ae et bc ont leurs traces sur le tableau aux points t" et r" que Ton déduit des points t et r ; donc les perspectives de ces côtés sont les droites i"F et r"F, lesquelles combinées avec la diagonale B"E"/ déterminent les deux angles b" et e", perspectives de b et e. Pour les deux antres sommets a et c, on agirait comme au n° 293 , en rabattant les deux distances at et cr sur la ligne de terre actuelle T"R", et joignant leurs extrémités avec le point 0"; mais, pour éviter quelque confusion dans l'épure, nous nous sommes bornés à déterminer les angles a" et c" au moyen de la diagonale A"C" du carré supérieur du socle , déjà construit sur le tableau.

296. Quant à la base supérieure «6ye du tronc de pyramide , elle est dans un plan horizontal dont la ligne de terre xy sera située à une hauteur Zy égale à celle que Ton veut donner à l'obélisque au-dessus du sol ; ainsi nous rapporterons les traces 9 et p en 0' et p' sur cette nouvelle ligne de terre, et alors 8' F et p'F seront les perspectives des côlés projetés sur ai et 6y. Ensuite , la diagonale e6 qui vient percer le tableau en (G, G") , sera représentée par la droite G"/, laquelle coupera les précédentes aux points 6' et % qui seront les perspectives des angles projetés en 6 et g.

Pour les deux autres sommets a et y , on opérera comme au n° 293 ; c'est-à-dire qu'après avoir rabattu les distances «0 et yp suivant O'X' et pV> on tirera les droites X'O" et p'O" qui détermineront les perspectives a et y 7 des deux damiers sommets. Enfin, l'on joindra les quatre angles de cette base supérieure «'S'y V avec les angtes correspondants de la base inférieure a n b n c n e" , et l'on achèvera ainsi la perspective totale de l'obélisque, où les arêtes visibles sont trop faciles à distinguer pour que nous ayons besoin de justifier les diverses ponctualions employées dans notre épure.

2* édit. ih

106 LIVRE il. — PERSPECTIVE LIMÉAIKE*

Remarque. Au lieu, de faire porter l'obélisque sur un simple socle, il eâtété pla* convenable de le poser sur un piédestal tel que celui qui est représenté en éleva* lion dans la jfy. 4, ou dans la fig. 5 , dont toutes les moulures sont des cylindres horizontaux qui se répètent sur les quatre faces ; et nous engageons le lecteur à s'exercer sur de pareilles données , mais en ne traçant a l'encre sur le tableau que les portions de lignes qui seront visibles.