CHAPITRE III. — PROBLÈMES DIVERS SUE LBS LIGNES DROITES

défini par les conditions suivantes : i° on donne la hauteur de Cyn des sommets k du cube, en assignant la ligne de terre XY suivant laquelle le tableau vertical est coupé par le plan horizontal conduit par ce sommet À , et nous prendrons ce plan horizontal pour le géométral de notre épure ; a° on donne Ut projection horizontale AB (Tune des arêtes du cube; 3° on donne enfin sur le géométral la trace ARQ et Y inclinaison *> du plan qui contient la base supérieure dont AB est un côté. Avec ces données, il serait facile de construire la projection complète du cube en question ; mais nous allons tracer seulement les arêtes qui nous sont nécessaires pour parvenir à la perspective de ce corps.

362. Prenons un plan de profil VU perpendiculaire à la trace AR , et formons-y un angle S"R"U égal à w. Sur ce profil , la droite S"R" sera évidemment la projection de toute la base supérieure du cube ; donc, si Ton fait tourner cette face autour de R"AR, le point (B, B") se rabattra en 6, et kb sera la vraie grandeur de i'arète assignée par sa projection AB. Alors tirons ke perpendiculaire et égale k kb, puis relevons la face bke pour la ramener dans le plan primitif S"R"A; on verra aisément que l'arête rabattue suivant Ae se projette sur AE, et ainsi on pourra achever le parallélogramme ABCE , lequel représentera la projection du carré qui forme la base supérieure du cube. Maintenant, une des arêtes perpendiculaires à cette base, par exemple celle qui part du sommet (E , E"), sera projetée sur les directions EF, E"F", respectivement perpendiculaires aux traces AR", R"S 77 ; puis, si Ton prend E 77 F /7 =A£, le point Y" déterminera le sommet F, ce qui permettrait d'achever le parallélogramme AEF, et par suite la projection des autres faces du cube ; mais nous n'avons pas besoin d'en tracer davantage pour obtenir la perspective de ce corps.

363. Toutefois, nous chercherons encore quelle est l'intersection RS' du tableau vertical XY, considéré comme un plan de projection , avec le plan S" R"A qui contient la base supérieure du cube. Or, d'après le n* 52 de la Géométrie descriptive , on sait qu'il faut prolonger la trace S /7 R 7/ sur le profil jusqu'à sa rencontre V" avec la perpendiculaire VV" élevée sur la ligne de terre VU ; puis , en ramenant la droite rabattue VV" dans la direction verticale VV, et joignant les, points V et R, on obtiendra la trace verticale RS 7 du plan en question qui avait déjà RQ pour trace horizontale.

36&. Cela posé, rabattons sur le géométral le tableau vertical XY, après l'avoir transporté parallèlement à lui-même en X 7 Y 7 ; soit alors P le point principal, et D le point de distance , ce qui suppose qu'ici le point de vue est au-dessous du géométral , disposition que nous avons adoptée pour rendre plus distincts les résultats de la perspective. En portant aussi sur la verticale PZ du tableau l'intervalle ZO = PD , nous obtiendrons en la projection horizontale du point de vue qui est déjà projeté verticalement en P sur le tableau.

365. Maintenant, cherchons la ligne de fuite (n* 282) de la face ABCE, c'est-à-

£26 UW II. — Pfifi6f!BCTIVe LlN&UftE.

#ire l'intersection du tableau XY avec un plan tt parallèle à cette face, et mené par le point de vue (0, P). Cette intersection sera évidemment parallèle à la trace RS'; et pour en trouver un point, je ooupe ce plan ir-et le plan d'horizon par un plan vertical OK perpendiculaire à ARQ , ce -qui produira un angle nécessairement égal à o> , dont le sommet sera au point de vue (0, P) , et dont les deux côtés iront parcer le tableau XY sur la verticale T. Or, si je rabats cet angle sur le tableau autour de cette verticale, le sommet (0, P) se transportera en 0" ; et si je tire la droite 0" T" inclinée de la quantité go, elle ira couper la verticale T'T" en un point T" qui restera immobile quand on ramènera l'angle en question dans le plan vertical OTj donc le point T " appartient à l'intersection du tableau avec Je plan *, et par conséquent cette intersection sera la droite T'Y menée parallèlement à la trace Y RS'. Yoilè donc la ligne de fuite du plan de la face ABCE ; et toutes le droites situées dans ce plan , ou qui lui seront parallèles , devront avoir leurs points de fuite sur la ligne 6'T'V.

366. D'après cela, si du point de vue on conçoit des parallèles aux côtés représentés par AB et AE , elles seront projetées sur 06 et Oe , et iront percer le tableau XY sur les verticales 6 et t ; puis , comme nous venons de dir%que ces points d'intersection doivent aussi se trouver sur la ligne de fuite 6'TV, ils seront en 6' et e' ; de sorte que c'est vers l'un ou l'autre de ces points que devront concourir les perspectives de toutes les arêtes parallèles à AB ou AE. De même, en tirant Oy parallèle à ÀC , le point y fera trouver le point de fuite y' de la diagonale AC , qui nous sera utile à employer plus loin.

367. Cherchons encore le point de fuite des arêtes qui, comme EF, sont perpendiculaires à la base ABCE. La parallèle à ces arêtes, menée du point de vue, sera évidemment comprise dans le plan vertical OT déjà employé ci-dessus, et ainsi elle ira percer le tableau XY sur la verticale T ; d'ailleurs , cette parallèle se trouvera nécessairement perpendiculaire au plan désigné par ir au n° 365 , et par suite elle sera perpendiculaire au côté de l'angle que nous avons rabattu suivant 0"T"; donc, si nou6 tirons O^cp' à angle droit sur 0"T", le point 9' sera le point de fuite de l'arête EF, et de toutes celles qui lui sont parallèles.

On* doit remarquer que le rayon visuel rabattu suivant 0"q/ serait projeté suivant Pcp' et qu'ainsi cette dernière droite devra se trouver perpendiculaire, à la trace e "T"S' du plan it, ce qui fournirait un autre moyen d'obtenir le point ç'.

368. Si Ton joint les points de fuite e' et y des deux arêtes AE et EF , on aura la ligne de fuite e'q/ de la face AEF; et, de même, la droite 6 V sera la ligne de fuite de la troisième face CEF qui , avec AEC , complète l'angle Arièdre E. Enfin , si l'on tire 0<|/ parallèle à AF, le point fy servira à trouver le point de fuite <j/ de la diagonale projetée sur AF.

369. Une fois ces préliminaires établis , je trouverai weémtsl les perspectives des diverses arêtes du cube. En effet, l'arête AB étant dans le plan QRS', elle