CHAPITRE ¥♦- — ~]|£rHÛM OfttfaftfF DB PJHUBUPBGTITB

FS'p' sera touché par les plans tangents qui parient de. (0, (>') i,etce* droite*, an coupant la cercle Pp, feront trouver les deux points M et m du contour apparent qui sont situés soc ce parallèle ; il testera enfin à projeter sur ces deux pointa en* M'surPy.

US. La même méthode s'appliquera à tout autre parallèle ;, mai» si l'on oonsidàre le cercle Qf tf pour lequel, la tangente Qf S," de la méridienne- va ahoutÎK an même point T' r on trouvera immédiatement deux autres points N et »„ en prolon?» géant les. rayons CM et Cm à gauche du centre C , jusqu'à ce qu'ils coupent le cercla Qq; et ces deux points devront être projetés en N' sur Q 7 q'. La raisoni de cette différence tient à ce que le parallèle QV et le cercle Z'T' ne sont pas sur la» même nappe du cône Q'S"q' qui est circonscrit le long du parallèle tyq'.

444. On trouvera directement les deux points du contour appajpent qui seront situés sur le cercle de gorge (H' A.',H/i); car,, tous les plans tangents de la scotie le long de ce parallèle étant verticaux., cens d'entre eux qui partiront du point (0, Of ) r auront leurs points de contact situés: à l'intersection du cercle HA avec le cercle CIO; ce seront donc les deux pointa (D,D) et (tf r D').

De même, les points (A, A') et (F, F), situés, suc le méridien principal pour lequel tous les plana tangenta sont perpendiculaires au plan vertical, s'obtiendront en menant du point 0' des tangentes 0* A ; etO'E' à cette, courba méridienne»

445. On peut encore trouver les points situés dans le méridien CC perpendiculaire au plan vertical , en observant que les deux plans tangents qui correspondent à ces points et qui partiront de l'œil (0, 7 ), seront perpendiculaires au plan vertical CC et conséquemment ils se couperont suivant l'horizontale (OC, / Z y ) ; or otite droite allant percer le plan méridien GC ' au point (C, Zî ), il suffira de mener par ce point deux tangentes à la méridienne contenue danaleptan vertical CC'. Pour effectuer cette opération r je fais tourner cette méridienne autour de l'ase ver* tical C, jusqu'à ce qu'elle; sa confonde avec la. méridienne principale ; puis , je tire Icb tangentes Z'y'i Z'/, dont lea points de contact devront être ramenés sur la verticale C'Z' en y, qui sera le point cherché du contour apparent sur le plan vertical. U serait facile de trouver les pointa correspondante sur le pian horizontal r en y projetant le parallèle / y" ; mais noua n'avons pas effectué cette construction* dans notre épure,. attendu qpe ce parallèle est. trop rapproché du cercle de gorge.

Aftfi. D'après ce qui précède,, la contour apparent sur la scotie sera donc repré* sente par la ligne à double courbure;

CABMDNEFendmftA, A'B'BTD'N'E'F'),

et elle présentera la circonstance teèôHremarqpablaquJil y» aura quatre points singuliers (B t V) et (6,B'), (E,E') et (*,.£'), pour lesquels le rayon visuel sera nonseulement tangent à la scotie , maia*enoon* tangent a» wteur appanent que Ton peut regarder comme la hase, du ctoe oireanaerit donbee rayoa estime génératrice*

156 MVRB II. — PERSPECTIVE LINEAIRE.

Or, comme cette position singulière da rayon visuel produira , si elle existe , quatre points de rebrôussement sur la perspective, il est nécessaire de démontrer l'existence de ces points singuliers , en donnant une méthode graphique pour les construire.

447. (PL ?3, fig. 3.) Posons d'abord la question dans un ordre inverse. Étant donné un point (M, M') sur le méridien g'h'k* d'une surface de révolution quelconque, trouver quelle doit être la position de l'œil, pour que le rayon visuel mené en (M, M 7 ) soit à la fois tangent à la surface de révolution et au contour apparent.

D'après les théorèmes relatifs à la courbure des surfaces (G. />., liv. 8), on sait que dans toute surface de révolution, les sections normales de courbure maximum et de courbure minimum sont: i° la méridienne g f h f k! dont je construiraiici le rayon de courbure GH / = R relatif au point M'; 2° la section perpendiculaire à ce méridien et passant par la normale GM'H de la surface, laquelle section a précisément- pour rayon de courbure la portion M ; H=R' de cette normale. En outre , on sait (G. /)., n° 698) que Ton obtiendra un hyperboloïde gauche 2 osculateur de la scotie tout autour du point M', si l'on rend l'ellipse et l'hyperbole principales de 2 osculatrices des deux sections indiquées ci-dessus. Donc, si Ton désigne par ic Taxe dirigé suivant la normale M' G, et par 2a et 2b les autres axes, il faudrai choisir leurs longueurs de manière que Ton eût les relations

^ = R et ^ = R'j c c

mate puisque c reste arbitraire , prenons c —a , et alors l'ellipse de gorge deviendra le cercle osculateur EM'F décrit avec M'G = R , tandis que Taxe imaginaire sera b === y/R ; . a = M' D qui s'obtient par une moyenne proportionnelle entre M' G et M' H, avec le soin de se représenter cet axe imaginaire, égal à M'D 7 , comme élevé perpendiculairement au cercle de gorge par le centre G. Par là Fhyperboloïde 2 se trouvera complètement déterminé, et il sera osculateur de la scotie tout autour du point (M, M').

&&$• Cela posé, lorsqu'un cône est circonscrit à une surface quelconque, on sait (G. D. , n° 757) que la tangente dans un point de la courbe de contact et là génératrice du cône qui aboutit à ce point, sont deux tangentes conjuguées qui jouissent de la propriété d'être respectivement parallèles à deux diamètres conjugués de la section faite , parallèlement au plan tangent , dans l'ellipsoïde ou l'hyperboloïde osculateur de la surface au point considéré. Ainsi, dans le problème qui nous occupe , le rayon visuel tangent à la scotie en M', et la tangente à ce point du contour apparent , seront, pour chaque position de l'œil, parallèles à deux diamètres conjugués de la section hyperbolique faite dans Fhyperboloïde 2 par. le plan EF perpendiculaire au cercle de gorge. Or, puisque nous cherchons un point de vue tel, que le rayon visuel et la tangente au contour apparent soient