CHAPITRE V. — MÉTHODE GÉNÉRALE DE PERSPECTIVE

confondus ensemble ,. il faut évidemment choisir ce rayon visuel parallèle à l'une des asymptotes de l'hyperbole projetée verticalement sur E 7 F 7 ; car, dans une telle courbe , on sait que deux diamètres conjugués qui se rapprochent de plus en plus l'un de l'autre, finissent par coïncider à la fois avec l'asymptote qui était la diagonale commune à tous les parallélogrammes formés par les divers couples de diamètres conj u gués (*) .

4ft9. (PL 23, fig. 3.) Effectuons cette construction. Les demi-axes de l'hyperbole projetée sur EF étant égaux à GF et M 7 D, j'imagine dans le plan tangent en M 7 , un triangle rectangle qui ait pour base M'K'=GF et dont le second côté perpendiculaire au plan vertical en K' soit égal à M'D; alors l'hypoténuse serait bien parallèle à l'asymptote. Or la projection horizontale de ce triangle s'obtient en projetant le point K' en I, et prenant IK = M 7 D; donc MK sera la projection horizontale et M 7 K 7 la projection verticale du rayon visuel demandé ; de sorte que le point de vue étant placé où l'on voudra sur ce rayon , il remplira la double condition d'être à la fois tangent à la scotie et au contour apparent dans le point (M, M').

450. Observons en passant que le rayon visuel (MK,M'K') se trouve tout entier sur l'hyperboloïde osculateur 2 , puisqu'il coïncide évidemment avec une des génératrices de cette surface gauche ; et conséquemment ce rayon visuel aura un contact du second ordre avec la scotie. C'est une relation qui nous sera utile à invoquer plus tard.

451. A présent, reprenons la question dans le sens primitif: Étant donné un point de vue (0, O 77 ), trouver le point où le rayon visuel sera tangent à la fois à la scotie et au contour apparent. Pour résoudre ce problème , je prends sur le méridien principal g' h! fc 7 divers points M', P 7 , Q 7 ,... et pour chacun d'eux je détermine, comme aun* 449, les rayons visuels (MR, M'R 7 ), (PS/P 7 S 7 ), (QT, Q 7 T%.., qui rempliraient la double condition indiquée ci-dessus ; puis je cherche les points où ces rayons visuels vont rencontrer le cylindre vertical OT, et j'obtiens ainsi une courbe d* erreur T'R S' qui, en coupant l'horizontal 7/ V 7 , me fournit un point de vue (V, V) situé à la même hauteur que (0, O 77 ), et pour lequel le rayon visuel (VN, V 7 N') satisfera au problème. Alors je ramène (V, V 7 ) en (0, O 77 ), et le point de contact (N, N 7 ) restant sur le même parallèle,. prendra la position (B, B 7 ) telle que l'angle BCN égale NÇ6; de sorte qu'enfin (OB, 77 B 7 ) sera le rayon visuel qui jouit de la double propriété que l'on demandait.

En faisant usage de la seconde asymptote que nous n'avons pas employée ci-

(') On voit, par ce raisonnement, que le point singulier que nous cherchons ici n'existera jamais dans une surface convexe; car, pour une surface de ce dernier genre, la surface osculatrice 2 du second degré serait nécessairement un ellipsoïde, dans lequel toutes les sections sont des ellipses; or, pour une telle courbe, il n'arrivé jamais que deux diamètres conjugués puissent coïncider l'un avec l'autre.

158 UVAE II. — PKBWBCÎIVE UlttiAIBB»

dam» ,. on trouvera un second point (b > B) placé symétriquement avec le. premier,

qt qui remplira le6 mêmes conditions par r appert à l'œil (O f QQ ; puis, en. appliquant des procédés semblables à la méridienne g( ti V quand elle aura fait une demi-révolution , on trouvera encora deux autres pointa analogues qui sont ceux que nous avons désignés par (Ej.E') et (tf, E") sur la PL a4>

452. (PL 2/4.) Cherchons maintenant la perspective du piédouche sur le. tableau vertical XYY' (PL ^4); mais pour y tracer les résultats avec plus de clarté r supposant que ce tableau, a été transporté sur la fig> 3 r sans; changer sa hauteur, c'eatàrdire en faisant coïncider la base XY avec la ligne de terre Y» ;, d'ailleurs ,. plaçons la verticale <% du tableau à une distance quelconque « 2 P^ Alors, après avoir mené du point de vue (0, O 7 ) des droites aux divers pointe du contour apparent, il faudra chercher le point où chacune d'elles perce le tableau vertical XY, et rapporter cette intersection sur la ^-3. Or,, si l'on considère le rayon visuel (OB, O 7 D ) ,. par exemple, on voit qu'il rencontre ce tableau en un point situé sur la verticale 3, et à une hauteur marquée par Y 3' ; donc , en tirant l'horizontale à' D" et la prolongeant à droite de la verticale *, P, d'une quantité égale à ad , on obtiendra la perspective D" du point (D, Df) ; te point d" sera placé, sur la même horizontale, et symétriquement à gauche de la verticale *, P r . En opérant de même pour d'autres points du contour apparent , et surtout pour les. huit pointa remarquable* À, B, D, E, F, 1, d, b, on. trouvera» que la perspective de ce contour est la ligne

W'WWY"e"d"b"k".

453. Quant au bandeau cylindrique qui couronne le piédouche ,. et pour lequel le contour apparent se compose évidemment des* deux, verticale* (L, LU) et (L U L") , il suffira de mener des rayons visuels aux quatre extrémités de ces génératrices, ainsi qu'aux extrémités de (G, G' G") et (g, g f g").y car les pointa où ces rayons visuels perceront le tableau , fourniront évidemment les quatre sommets , et conséquemment la détermination suffisante de. chacune des deux ellipses

qui représentent les perspectives des deux hases de ce petit cylindre. D'ailleurs ces ellipses devront être tangentes aux deux verticales. L, L, et l { l s ; car, quoique chacune de ces génératrices soit très-distincte de la tangente au cercle , ces deux droites étant dans un même plan tangent qui poste par CœU 9 eUea se. confondront en perspective*

On agira de même pour le cylindre inférieur du piédouche % en construisant seulement les perspectives des quatre sommets de chacune des deux ellipses qui représentent les bases de ce cylindre; et ces courbes devront aussi être tangentes aux deux verticales U t U, et «, « a .

454. Enfin , pour le socle carré qui supporte le piédouche, on prendra les dis-