CHAPITRE V. — MÉTHODE COSlttiRÂLE DB PERSPECTIVE

tances * 2 X" et *,il" -égales à la moitié du côté de ce carré ; puis , après avoir porté ta fauteur ta& de l'«il , de & 2 -en P 2 qui sera le point principal, on tirera les droites X"*P, et R"P 2 qui seront les perepectivesindéfiniee des côtés latéraux de ce carré. ftrar fixer leur longueur, «on sait qu'il faudrait joindre le poitft X" avec le point de ébtmœ e, ce qui donnerait la diagonale do carré ; mais attendu qu'ici le point de ilistawce est trop 'éloigné, nous emploierons, comme au n° 335 , la distance figurée P, rf, choisie égale à la moitié de 0* ; et en joignant le point a, avec d 2 , cette droite coupera R"P a au môme point r" par où aurait passé la diagonale issue du point X". Alors il est facile «Tachever le carré perspectif X"R"r":r", ainsi que la face antérieure du socle XVR^K*, laquelle conservera ses dimensions originales, puisqu'elle est située dans le tableau.

fc55. (PL 24.) Il importe d'observer que la courbe M'^VE"... présentera un rebruussemeut à chacun des points B", E", e", b", qui correspondent aux quatre parais singuliers B, E, e, 6, dont nous avons prouvé l'existence au n° 451. En effet, fniisqu'en (E, fi?) te rayon visuel est tangent au contour apparent, le plan oscillateur de cette courbe passe nécessairement par Pœil (0, €/) ; donc la perspective de ce plan tout entier sera la droite suivant laquelle il coupera le tableau ;. et les perspectives das arcsED et EF qui précèdent et suivent le point E, devront être évidemment taagentes à cette trace du plan oscillateur. Or, dans une courbe gauche , ces deux arcs ED et EF sont situés l'un au-dessus et l'autre au-dessous du plan oscnlateur (€. 2*., n°663)? d'ailleurs on voit bien ici qu'ils sont tous deux placés à droite du plan vertical OE dont 'la trace sur le tableau serait la verticale E" : dcmc les perspectives 3S"D" et E "F" des arcs ED etEF offriront, non pas une inflexion, mais un fdveassemeBt de pnemière espèce, ayant pour tangetfte intermédiaire la trace du flaa oscnlateur sur le tableau.

&S& Pour construire cette tangente, j'observe que le plan osculateur du contour apparent est évidemment tangent au cône des rayons visuels , et par suite ÉtngBdt à la sootie dans le point (E, E') ; donc A renfermera la tangente du parallèle qui «est ia droite (E8, E ' 9 A ) . Or, cette ligne aflatft percer le tableau au point (9, B 7 ) qm se transporte en 6" sur lafig. 3 , il en résulte queC'U" est fa frace du plan oscillateur sur le tableau, et c ? est aussi la tangente au point de rebrotrssement E\

tt>7. Gomme l le rayon visuel O* <j est nécessairement au-dessous du rayon O* A', mk sent bien que^ sur la perspective, le cylindre supérieur 'doit cacher l'arc B"A"6", ainsi qu'une petite portion des branches latérales; mais on peut trouver étonnant que la branche E^FV' que nous avons ponctuée, soit elle-même invisible. Gela tient à ce que le rayon visuel (OA, 0' A'), en glissant le long de la courbe ABDEF. . . , devient, au delà du point E , sécant à la scotie dans un point qui précède celui où if est tangent , ce qui rend invisible ce point de contact. Pour s'en convaincre, il faut imaginer que le méridien G'H'K' est complété et fermé par la seconde moitié de cette ellipse, laquelle courbe décrira alors une surface annulaire, analogue au

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tore de la PL a3; or, si Ton fait passer par chaque rayon visuel un plan vertical, il coupera cette surface suivant des courbes qui offriront successivement les trois formes représentées dans les fig. 4t 5 et 6 (PL 23), et auxquelles le rayon visuel sera toujours tangent dans un certain point M, et sécant en deux points a et 6. D'ailleurs ces cou rbes se construisent aisément , en marquant les points où le plan vertical considéré coupe les divers parallèles de la surface de révolution.

458. (PL a3 et 34. ) Gela posé, tant que le point de contact M se trouve entre A et B, les rayons visuels occupent des positions indiquées par les droites 1, a, 3, dans lesquelles le point de contact M précède toujours les points de section a et 6, et demeure conséquemment visible (*) ; mais à mesure que M approche de B , a se rapproche aussi de M , et il y aura une position indiquée par la droite 4 où a et M étant confondus , le rayon visuel aura un contact du second ordre avec la section, en la touchant dans son point d'inflexion. Or je dis que cette] circonstance arrive quand M est en B sur la fig. 1 ; car nous avons démontré au n° 450 que dans ce point singulier, le rayon visuel avait un contact du second ordre avec la surface annulaire , et par suite avec la section.

Il résulte de là que , sur le piédouche, Tare (AB, A' B') serait entièrement visible, si l'existence du cylindre supérieur n'arrêtait pas les rayons visuels qui aboutissent sur cet arc. .

459. Quand le point de contact sera parvenu entre B et E sur la fig. 1 , les rayons visuels prendront les positions 5, 6, 7, dans lesquelles le point de contact M se trouve entre a et g, circonstance qui rendrait invisible l'arc (BDE, B'D'E'), si Ton n'avait pas «nlevé, dans le cas du piédouche, la nappe extérieure décrite par la seconde moitié de l'ellipse G' H' K', nappe sur laquelle se trouve le point de section a qui cacherait M sur les droites 5,6, 7. Mais à mesure que le point de contact s'approche de E, le point de section 6 se rapproche aussi de M, et il y aura une position 8 où 6 et M étant confondus , le rayon visuel aura un contact du second ordre avec la section , en la touchant dans son point d'inflexion. Or, je dis que cette circonstance arrivera précisément au point (E, E') sur la PL 24 ; car nous avons démontré au n° 450 que , dans ce point singulier, le rayon visuel avait effectivement un contact du second ordre avec la surface de révolution , et par suite avec la section verticale correspondante. D'où il suit que, sur le piédouche, l'arc (BDE, B'D'E ') demeure visible.

&60. Mais, quand le rayon visuel aura dépassé le point E, il prendra jusqu'en F

les positions successives indiquées par les droites 9, 10, 11, dans lesquelles le

Nous avons altéré beaucoup la direction des rayons visuels dans les/??. 4, 5, 6, afin d'éviter la peine de construire des sections de formes analogues, mais cependant inégales, pour des rayons visuels même très-voisins; et cela nous a permis aussi de manifester plus clairement la distinction entre les points de contact et les points d'intersection.