CHAPITRE Y. — METHODE <?fif<RALE W PBR8PECTIVB. f

supérieure , parce que ce cercle est souvent rendu remarquable par quelque moulure saillante , ou par la naissance du fût d'une colonne.

567. (PL 25.) Observons ici que les rayons visuels qui touchent Ih nappe intérieure du tore sur la branche (ÀMB, À'M'B') , vont généralement tomber et s'arrêter sur la partie opposée de cette surface ; en effet , si après avoir pris un point quelconque (M , M') sur cette courbe et avoir tiré le rayon visuel (OM , C M') , on' conduit un plan vertical par cette droite, il coupera le tore suivant une courbe (eXy, e' X'/ V e') qui se construit en projetant sur Ils plan vertical' les points tels que e , X , y, où sa trace rencontre les divers parallèles de la surface ; et conséquemment si Ton prolonge CM' jusqu'à ce qu'il' rencontre cette courbe en J\ on obtiendra le point (a 9 *) où ce rayon visuel va couper le tore. En opérant de même pour d'autres rayons visuels, on obtiendra une courbe (BaGft, BVG') qui viendra aboutir précisément aux deux points ( B , B' ) et ( b , B' ) , comme nous le prouverons tout à l'heure; et c'est cette courbe qui, jointe avec BAft, forme le véritable contour apparent, sous le rapport physique , sur la nappe intérieure du tore, c'est-àdire la limite des parties visibles : mais cette nouvelle branche B«G6 n'ajoute rien de plus sur le tableau de perspective , parce que les points H et a étant sur le même rayon visuel , ils n'ont qu'une seule et même perspective.

468. Pour bien comprendre la liaison de cette branche d'intersection B« G 6 avec la branche de contact , et assigner les limites précises de leur raccordement qui déterminent aussi l'étendue du seul arc visible BÂ6 , sur la perspective , il convient de tracer, comme nous l'avons fait dans la PL 23, l'ensemble de toutes les courbes suivant lesquelles les rayons visuels touchent et coupent la surface complète du tore. Pour cela , il faut construire , par la méthode indiquée au n° 467, les deux sections ( eXy , e' X' y X" ) et ( t 3 X, y 3 , e', X', /, X", ) suivant lesquelles le plan vertical CM (fig. i) coupe la surface annulaire, et remarquer que le rayon visuel (OM, O'M') touche l'une de ces sections au point (M, M'), et coupe l'autre en deux points (a, J) et (6, 6'). Mais la situation respective de ces trois points va bientôt s'altérer ; car, à mesure que le point de contact (M , M') du rayon visuel s'approchera de (B , B') , les sections vont prendre des formes analogues à celles des fig. 4 , 5, 6, et le rayon visuel y occupera les positions indiquées par tes droites i , 2 , 3 (*). Le point de section « va donc en se rapprochant de plus en plus de M , et il y aura une position 4 où ces deux, points étant confondus*, le rayon visuel aura un contact du second ordre avec la section , en la touchant dans son point d'inflexion. Or je dis que cette circonstance arrivera précisément au point (B, B') ; car nous avons

(*) Nous devons prévenir le lecteur que nous avons altéré beaucoup la direction des rayons visuels dans lesyty. A, 5, 6, afin de n'être pas obligé de construire plusieurs sections de formes analogues, mais inégales; car leurs dimensions varient avec la position du plan vertical OM. D'ailleurs nous avons voulu rendre plus sensible la distinction entre les.points de section et les points de contact; mais cela n'influe aucunement sur les conséquences que nous en avons tirées.

16i L1VAB II. — PBMPBCTIVB LINÉAIRE.

démontré au n° 450 que, dans ce point singulier, le rayon visuel avait un contact du second ordre avec la surface de révolution , et conséquemment avec la section verticale correspondante. Il est donc prouvé par là que la branche d'intersection G « B se réunit avec la ligne de contact AMB , précisément au point (B , B').

469. Lorsque le point de contact du rayon visuel sera parvenu entre (B, B') et ( E , E'), les rayons visuels prendront les positions 5,6,7, dans lesquelles le point M est entre les deux points de section , ce qui rendra M invisible pour le spectateur placé en (0, 0'), et justifie la manière dont nous avons ponctué les arcs A 2 B a et B a D 2 E, sur la perspective de la PL a5. Il est bon d'observer ici que, daitf la position 6 où le point M est arrivé en ( D , D' ) sur le tore , le rayon visuel ne sera plus en général tangent à la section verticale OD , parce que le plan de cette pection se confondant alors avec le plan tangent du tore en (D, D )> on ne peut slus fien conclure de précis sur leur intersection , qui doit être ordinairement la tangente de la courbe d'intersection

470. Quant le. point M approche de E , le point de section g se rapproche aussi de M, et il y aura une position 8 analogue à 4? pour laquelle les points Set M étant réunis , le rayon visuel aura un contact du second ordre avec la section. Cette circonstance arrivera précisément au point (E, E'), d'après ce que nous avons démontré au n° 450; conséquemment la branche d'intersection QgRE ira passer précisément par le point E.

471. Enfin , quand le point de contact du rayon visuel aura dépassé le point ( E , E ' ) , les rayons visuels prendront les positions successives 9 , 10, 11, dans lesquelles le point M se trouvera au delà des deux points de section &. et 6, double cause qui rendra M invisible pour le spectateur placé en (0, 0'); et cela justifie le mode de ponctuation employé pour l'arc E a F a e a sur la perspective de la PI. 25.

472. (PL 2$,fig. 1.) D'après cette discussion , si l'on réunit par un trait continu la série des points analogues à « 9 obtenus dans les divers plans verticaux tels que OM; puis, par un autre trait continu, la série des points analogues à S, en observant d'ailleurs que le même plan vertical OMM, contient deux rayons visuels dont l'un (OM, O'M') perce le tore en a et 6, tandis que l'autre (OM, , O'M'J traverse cette surface en a, et 6, , on trouvera que le cône des rayons visuels , circonscrit à la nappe intérieure du tore , coupe cette surface suivant les deux courbes

(G«BH*,KW>G, GVB'H'K') et (Q6RE6,PerQ, Q'g'R'E'P').

Afin de mieux faire apercevoir la forme singulière de ce cône circonscrit , nous avons construit sa trace horizontale STVUirt , laquelle offre quatre points de rehroussement , comme. cela était déjà arrivé pour la perspective de la Pi. a5.

473. Pour tracer avec exactitude les courbes précédentes , il est utile de savoir trouver leurs tangentes , surtout dans les points de rebroussement. Pour le point T le plan tangent du cône étant le môme qu'au point (B, B') où cette surface touche