CHAPITRE VI. — PEB8PBCTIYB DBS OMMBS

sur le plan du parallèle <xèyt ; donc le point R où ces deux droites iront se couper, sera le point de rencontre du rayon lumineux avec le plan du parallèle ; et dès lors il n'y a plus qu'à tirer la tangente RM à l'ellipse «6y, pour obtenir un point M de la courbe LMN qui sera la séparation d'ombre sur le vase en perspective.

499. Si l'on veut trouver l'ombre portée par le point M sur le géométral, il faudra tirer d'abord le rayon lumineux M 9', puis chercher la perspective m de la projection horizontale du point du vase qui est représenté par M sur le tableau , parce qu'alors »n<p sera la perspective de la projection du rayou lumineux M<p', et que la rencontre de ces deux droites fournira le point q de l'ombre portée.

Quant à la manière de trouver m, on pourra tirer le diamètre MC'F du parallèle aSy , lequel aura son point de fuite en F sur la droite d'horizon , puis joindre ce dernier point avec le centre perspectif c du carré inférieur du socle , centre qui sera fourni par la rencontre d'une des diagonales de ce carré avec Taxe vertical P^T 7 ; car alors la perspective de la projection horizontale du diamètre Fc'M sera ¥cm, et la combinaison de cette dernière droite avec la verticale M m donnera la perspective m de la projection du point M.

500. Si l'ombre portée parle point M tombait sur une surface autre que le plan géométral , il faudrait faire, dans cette surface , une section par le plan vertical conduit suivant le rayon de lumière M 9', plan qui a m<y pour perspective de sa trace horizontale ; et en construisant la perspective de cette section , elle serait coupée par M<p' au point cherché. C'est ce qu'il faudrait faire ici pour obtenir les ombres portées sur les deux piédouches de ce vase ; mais on voit qu'alors la méthode actuelle devient assez compliquée, et surtout qu'elle offre peu de précision, tant pour la détermination des points de contact, tels que M, que pour la recherche des points de rebroussement qui existent sur ces surfaces à courbures opposées. G est pourquoi, lorsqu'il s'agit de ces formes un peu compliquées, et quand le dessin doit être fait avec plus d'exactitude que n'en comporte un simple croquis ,* il vaut mieux recourir à la méthode générale du n° 476. Toutefois, nous allons encore appliquer ta méthode abrégée à un exemple qui peut être utile dans beaucoup d'occasions.

Perspective dune Voûte (C arêtes avec ses ombres.

501. (PL 28, fig. 3.) Nous ne répéterons pas ici les détails donnés au n° 404 sur la manière de tracer la perspective de cette voûte , laquelle est censée faite sur un tableau XY qui coïncide avec les faces antérieures des pilastres ; et nous passerons immédiatement à la recherche des ombres. Sur le plan d'horizon qui est rabattu sur le tableau autour de PD, nous nous donnerons à volonté la projection O9 du rayon lumineux mené par l'œil 0, et nous désignerons par *> l'angle de ce rayon avec l'horizon; dès lors, si l'on prend <fO" = <fO, et que Ton tire la droite O'Y inclinée de ta , cette droite sera le rabattement du rayon lumineux sur le tableau ; et consé*

17& UTOE II. — Pfl»W0CltVE UltéAttS.

queunnent le point ç ' oà elle ira conpnr la verticale qq/ aeaa le pomt de finie de ton* les rayons de tanière dans l'espace, tandis que <? sera le peint de fuite des projection* horizontales de Ions ces rayons. Bu outre, on vest bien que Pq sera te projection , sur le tableau , du rayon kunineux mené par le point de vwe; *et noua aurions «pu nous (tourner immédiatement les deux projeetaans 0<p et P^ 7 ponr définir la direction des rayons de lumière.

502. Cela posé, l'arête da pilastre AA 7 qui sépare évidemment une face éolairée d'avec une fnee obsenre , produira «m plan d'ombre vertical , lequel coupera le géométral suivant une droite dont la perspective sera Anq , parée que œfcte intersection sera parallèle à 0<y ; maïs cette ombre allant rencontrer ici en a la base du second pilastre , elle s'élèvera ensuite sur ce piJaatre aniv/ant la verticale «ne 7 terminée par le rayon lumineux parti du point A', lequel rayon a évidemment pour perspective ÀVq/.

A partir du point A', les rayons de lumière qui glisseront dur l'arc de tête A' B', produiront un cylindre oblique qui coupera la face antérieure du pilastre a* suivant un cercle égal à A' B' ; cette section restera circulaire en perspective (n° 276), mais elle aura un diamètre plus petit. Pour le déterminer, par le centre I de l'arc de tête, je tire le rayon lumineux It<p' qui coupe l'horizontale d i au point i ; et avec la distance iaf pour rayon , je décris un arc de cercle «'*', qui sera la perspective de l'ombre portée sur le pilastre par l'arc de tête A 7 B. Le dernier point V qui produira cette ombre, sera donné par la droite 9' 6', et il devra correspondre au point B fourni par la projection horizontale <p6 du même rayon lumineux.

,503. A partir de cette position B'6'<p', I e8 reyo*s de lumière qui glissent sur l'arc de tête B' C ' passeront entre les deux pilastres de droite , et iront tomber sur le sol où ils traceront une ellipse 6y dont chaque point sera fourni par la rencontre d'un rayon lumineux avec sa projection horizontale; par exemple, le point 6 s'obtiendra en combinant B 7 6ç 7 avec Bê<ç , le point y en combinant C ' yj avec Cycp. Mais pour trouver le dernier point y de cette ombre , il faut chercher (comme noua allons le faire au numéro suivant) le point F' de la courbe d'aréle L'F'R' par lequel viendra passer un rayon lumineux C'F'ycp', qui s'appuiera en même temps sur cette courbe d'arête et sur Tare de tête A' B'C 7 ; car, à partir de cette position , ce sera l'arc d'ellipse F'L/ qui portera ombre sur le sol , et qui y tracera une autre ellipse yX distincte de la précédente 6y. Le dernier point X de celte ligne d'ombre sera fourni par la rencontre du rayon lumineux L'Xcp' avec la projection horizontale LX9 ; et tout autre point de l'ellipse yX s'obtiendra d'orne manière semblable, en prenant d'abord sur l'arc F'L' un point à volonté, que Ton projettera par une verticale sur la diagonale LR , laquelle représente évidemment la projection horizontale de toute la courbe d'arête R'F'L'. Enfin, les deux arêtes LL 7 et W des pilastres produiront les ombres* rectilignes LX et 66, dont la première seulemetft devra être tangente à l'ellipse contiguë.

CHAPIJftS VI. — PBHSPKCT1VE DBS OMBRES. 475

5#4. La courbe E'in'F' est l'ombre portée par le cintre À'B^E' du premier fcerceau'sur ce bercera mène ; c'est donc l'intersection d'un cylindre oblique avec on cylindre droit, lesquels* ont «necoorée (feutrée À'WE' qui est plane, et consé* quemmeutla courbe de sortie ou la ligne d'ombre E' F' aéra pareillement pèsmc , ainsi que net» Tarons tu dans t'épure du Pont (a 76)» Cette ligne d'ombre •commencera au point E ; peur lequel la tangente au cercle AB'E' sera parallèle à la projection P<p' des rayons de lumière sur le tableau ; car te rayon lumineux mené par un tel point, se trouvera tout entier dans le plan tangent du berceau, et dès lors son point de sortie sera confond a avec te poiift d'entrée E'. Ensuite, si l'on tire uns sécante quelconque M' N' punattète à PV , ce sera ta trace d'nn plan sécant perpendiculaire an tableau et parallèle aux rayomdeiuinière; or ce plan coupera le berceau suivant une génératrice partant du point N' et «tant la perspective sera NT, tandis que ce messe plan coupera le cylindre oblique suivant le rayon lumineux passant par M' et qui a pour perspective M'<y'; donc te point m' où se rencontreront les deux lignes M y et N' P T sera l'ombre portée par te point M 7 sur le berceau. En répétant celte construction pour d'antres points situés, à gauche de M', on prolongera indéfiniment la courbeE'm'F'; mais, comme ligne d'ombre, elle devra se terminer au peint F' où elle rencontrera la courbe d'arête B' FI/, et c'est ainsi qu'on trouvera te point F' dont nous avons parlé an numéro précédent.

5©5. (PL 28, fig. 3.) Ombres de ta porte latérale. Comme les génératrices du berceau latéral sont parallèles à la ligne de terne XY, il faut recourir à un troisième plan de projection qui soit perpendiculaire à ces génératrices, et pour cela nous adopterons le plan principal de llépure (n* 280) , c'ee^à-dire le pian vwtl» oal OPZ' mené par le point de v»e, perpendiculairement au tableau. Sur oe plan principal , la projection du rayon lumineux (0«p , P<j') stafatàandrait en abaissant du point 9 une perpendiculaire .y y qui aboutira évidemment *u point y de là verticale PZ' du tableau même; puis, il resterait à joindre y avec te point de vue dans L'espace ; mais il nous suffira de connaître ce point y qui eera évidemment le point de fuite de toutes les droites parallèles à la projection du rayon lomineux sur le plan principal.

50& Cela posé, l'ombre T'Q" portée par le cintre circulaire V <$& sur te berceau latéral étant l'intersection de oe cylindre droit avec un cylindre oblique qui a la même base que le premier, sera une courbe plane, .comme au «° 5tift ; et pour la trouver, nous couperons oes deux cylindrée par des plans qui soient parallèles aux génératrices de l'un et de l'autre. Dès lors ces plans sécante seront perpendiculaires au plan principal défini au numéro précédent, et la trace de l'un d'eux sur la face latérale WQ 7 ., sera une droite dont la perspective y S '<}' aboutira nécessairement en y (u°<M5). Or ce plan sécant «opéra te cylindre obtiqwe suivant te rayon lumineux Q' <p', et te berceau snivant .ta génératrice -S' Q"; donc te point Q" où se rencontreront ces deux droites, appartiendra à la courbe cherchée T'Q".

176 LIVRE II. — PBB8PBCTIVE LINBAIEK.

Cette ombre commencera évidemment au point T' où le cintre est touché par la tangente menée du point </', et elle devra s'arrêter à sa rencontre avec la courbe d'arête R'F'L', rencontre qui a lieu ici, par un cas fortuit, au point Q" que nous avons construit précédemment.

507. A partir de la position QfQ"q, les rayons lumineux qui glisseront sur la portion Q' V du cintre circulaire , iront tomber sur le sol , et ils y traceront un arc d'ellipse qv dont chaque point se déterminera de la manière suivante. Après avoir pris un point arbitraire Q' sur le cintre , on le projettera horizontalement en Q sur XVP; on tracera le rayofk lumineux Q'qy, ainsi que sa projection horizontale Qqy , et la rencontre de ces deux lignes donnera un point q de l'ellipse demandée , laquelle d'ailleurs se raccordera avec la droite Vt> , qui est l'ombre produite par l'arête du pilastre W.

En outre, la verticale RR' produira l'ombre rectiligne Rr, et la portion R'Q" de la courbe d'arête de la voûte donnera lieu à un nouvel arc d'ellipse rq , qui se construira comme ci-dessus, en projetant sur la diagonale RL un point pris à volonté sur R'Q' 7 ; mais les deux arcs d'ellipse rq et vq ne seront pas tangents l'un à l'autre.

508. Quant à l'arête extérieure YY', elle produira un plan d'ombre vertical dont la trace horizontale aura évidemment pour perspective la droite Y<p ; mais cette ombre ne se prolongera pas jusqu'au point qui correspondrait à l'extrémité supérieure Y' de cette arête, parce que le rayon lumineux que l'on conçoit glisser le long de la verticale YY 7 , finira par rencontrer l'arête saillante G' H 7 du bandeau. Pour trouver cette position extrême, j'observe que le plan d'ombre Y 7 Yç irait couper la face inférieure et horizontale du bandeau , suivant une droite parallèle à Y<p , et dont la perspective doit être Y 9; donc, en prolongeant cette dernière ligne jusqu'en G 7 , et en tirant G 7 <p 7 , j'obtiendrai la position limite du rayon lumineux. Cette ligne G 7 ç 7 me fournira d'abord le point Y 77 par où l'on doit mener l'ombre rectiligne X 77 Y 77 du bandeau sur la face antérieure; et, en outre, elle couper* Ycp au point g* où doit se terminer l'ombre de la verticale YY 7 sur le géométral.

Maintenant, le rayon lumineux se mouvra sur G 7 H 7 , et produira sur le sol une ombre g' h' parallèle évidemment à XY, et terminée à la ligne H 7 A 7 <p 7 ; puis, en s'élevant le long de H 7 H 77 , le rayon lumineux produira un plan vertical dont la trace h! <p devra être limitée à la droite H " h" <p 7 ; ensuite , il glissera sur l'arête supérieure H 77 K 7/ , et produira un plan d'ombre qui coupera le géométral suivant une droite h"k"\> perpendiculaire au tableau , laquelle sera limitée par la ligne K "£"<?'; enfin , il y aura une ombre rectiligne k" u parallèle à XY, et quelques autres contours analogues aux précédents, mais trop petits pour être désigués par des lettres , et qui d'ailleurs se rapportent à des parties invisibles sur notre tableau.

CHAP1TBB VII. — PH8PBCTOB DBS IMAGES PAR RiFLBXION. 177