CHAPITRE IV. — DES LIGNES COURBES. l

Voûte d'arêtes avec plusieurs travées.

418. Après avoir marqué sur la base XY du tableau, les points a, 6, e,^' où Pl. 20, aboutiraient les côtés prolongés des pieds-droits, qui auront pour perspectives Fig. 3. les lignes Pa, P6, Pe, P/^ on prendra aX égale à la distance du tableau à ces pieds-droits, et Ton sait (n^303) que la diagonale XD fournira une profondeur

a A égale perspectivement à aX, de sorte que AB et EF représenteront les faces antérieures des deux premiers pilastres. D'ailleurs la même diagonale DX fournira les points G, I, U, lesquels suffiront avec les parallèles 6H, IK, UIj, pour déterminer les bases des quatre premiers pilastres, et il faudra élever des ver«> ticales par tous les angles de ces bases. Ensuite, après avoir pris XX' égale à la hauteur où se trouve la naissance de la voûte, la diagonale X'D coupera les arêtes verticales des pilastres en des points A', G', F, qui suffiront pour tracer les joints de naissance A'B', E'F', B'G'L', E'HT. Enfin, sur la distance B'E', comme diamètre, on décrira le demi-cercle B'ZE' qui représeirtera le cintre de la porte antérieure ; mais celui de la porte opposée ne devra plus ici s appuyer sur les points L' et Q' : il faudra le reculer jusqu a l'extrémité de la dernière travée, à moins qu'il n existât un. arc doubleoM qui servit de renfort à la voûte, entre deux travées consécutives; mais ce sont là des détails trop minutieux pour nous y arrêter, et que le Dessinateur saura bien reproduire aisément, quand ils se rencontreront sur lobjet original.

419. Quant aux deux ellipses qui forment les courbes d'arête de la première' travée, on les obtiendra, comme au n** 407, en traçant les génératrices du cylindre RP, SP, et la diagonale TD, ce qui fournira les points M et n, et par suite les points m et N; de sorte que ces courbes d arêtes seront représentées par G'MC'iïF et H'mC'NK'. Nous parlerons des points culminants de ces courbes au n® 425.

4S50. Venons maintenant à la seconde travée. On pourrait trouver le point X" où la base du tableau est rencontrée par la diagonale de cette travée, et pour cela il suffirait de prendre, à gauche de X, une longueur XX" = ae; mais comme ce point X" (qui n'est pas marqué sur nôtre épure) se trouverait à une distance incommode, il vaut mieux observer que la diagonale cherchée passerait par le point L déjà construit, de sorte qu elle a pour perspective LD. Alors cette dernière droite coupant les lignes Pe et P/* aux points V et M, on peut achever la base Yqu du troisième pilastre à droite, et en déduire les sommets W et / du pilastre correspondant à gauche; ensuite^

446. D après ce qui précède, le contour apparent sur la scotie sera donc représenté par la ligne à double courbure

(ABMDNEFenrfmfeA, A'B'M'D'N'E'F),

et elle présentera la circonstance très-remarquable qu*il y aura quatre points singuliers (B, B') et (6, B'), (E, E')' et (e,E'), pour lesquels le rayon visuel sera non-seulement tangent à la scotie, mais encore tangent au contour apparent que Ton peut regarder comme la base du cône circonscnt dont ce rayon estime génératrice. Or, comme cette position singulière du rayon visuel produira, si^lle existe, quatre points de rebroussement sur la perspective, il e${ nécessaire de démontrer Texistence de ces points singuliers, en donnant une méthode graphique pour les construire.

Pl. 23 y 447. Posons d abord la question dans un ordre inverse. Étant donné un point FiG. 3. (M, M') sur le méridien d'une surface de révolution quelconque, trouver quelle doit être la position de l'œil, pour que le rayon visuel mené en (M, M') soit à la fois tangent à la surface de révolution et au contour apparent.

D'après les théorèmes relatifs à la courbure des surfaces (G. />., liv. 8), on sait que dans toute surface de révolution, les sections normales de courbure maximum et de courbure minimum, sont : i^ la méridienne dont je construirai ici le rayon de courbure M'G = R relatif au point M'; a** la section perpendiculaire à. ce méridien et passant par la normale GM'H de la surface, laquelle section a précisément pour rayon de courbure la portion M'H = R' de cette normale. En outre, on sait (G. />., n** 698) que l'on obtiendra un hyperboloïde gauche 2 osculateur de la scotie tout autour du point M', si Ton rend l'ellipse et rhyperbole principales de 2 osculatrices des deux sections indiquées ci-dessus. Donc, si l'on désigne par ac l'axe dirigé suivant la normale M'G, et par aa et a6 les autres ax^s, il faudrait choisir leurs longueurs de manière que l'on eût les relations

- = R et -=R';

mais puisque e reste iirbitraire, prenons c = a, et alors l'ellipse de gorge deviendra le cercle osculateur EM'F décrit avec M'G = R, tandis que Taxe imaginaire sera 6 = \/R^ a = M' i) qui s'obtient par une moyenne proportionnelle entre M'G et M' H, avec le soin de se représenter cet axe imaginaire 9 égal à M'D, comme élevé perpendiculairement au cercle de gorge par le