CHAPITRE V. — MÉTHODE GÉNÉRALE DE PERSPECTIVE. Ï

centre G. Par là Thyperboloïde 1 se trouvera complètement déterminé, et il sera osculateur de la scotie tout autour du point (M, M').

448. Gela posé, lorsqu'un cône est circonscrit à une surface quelconque, on sait (G. D.y d? 7S7) que la tangente dans un point de la courbe de contact et la génératrice du cône qui aboutit à ce point, sont deux tangentes conjuguées qui jouissent de la propriété d'être respectivement parallèles à deux diamètres conjugués de la section faite parallèlement au plan tangent, dans Tellipsoïde ou l'hyperboloïde osculateur de la surface au point considéré. Ainsi, dans le problème qui nous occupe, le rayon visuel tangent à la scotie en M', et la tangente à ce point du contour apparent, seront, pour chaque position de Foeil, parallèles à deux diamètres conjugués de la section hyperbolique faite dans Thyperboloïde 2 par le plan EF perpendiculaire au cercle de gorge. Or, puisque nous cherchons un point de vue tel que le rayon visuel et la tangente au contour apparent soient confondus ensemble, il faut évidemment choisir ce rayon visuel parallèle à lune des asymptotes de Thyperbolc projetée verticalement sur EF; car, dans une telle courbe, on sait que deux diamètres conjugués qui se rapprochent de plus en plus lun de l'autre, finissent par coïncider à la fois avec lasymptote qui était la diagonale commune à tous les parallélogrammes formés par les divers couples de diamètres conjugués (*).

449. Effectuons cette construction. Les demi-axes de l'hyperbole projetée p^. ^3, sur EF étant égaux à GF et M'D, j'imagine dans le plan tangent en M', un piG. 3. triangle rectangle qui ait pour base M'R'=GF et dont le second côté perpendiculaire au plan vertical en K' soit égal à M'D; alors l'hypoténuse serait bien parallèle à l'asymptote. Or la projection horizontale de ce triangle s'obtient en projetant le point K' enl et prenant IR = M'D; donc MK sera

la projection horizontale et M'K'' la projection verticale du rayon visuel demandé; de sorte que le point de vue étant placé où l'on voudra sur ce rayon, il remplira la double condition d'être à la fois tangent à la scotie et au contour apparent dans le point (M, M').

450. Observons en passant que le i^ayon visuel (MK, M'K') se trouve tout

(*) On voit, par ce raisonnement, que le point singulier que nous cherchons ici, n'existera jamais dans une surface convexe; car, pour une surface de ce dernier genre, la surface osculatrice 2 du second degré, serait nécessairement un ellipsoïde, dans lequel toutes les^ sections sont des ellipses^; or, pour une telle courbe, il n'arrive jamais que deax diamètres conjugués puissent coïncider Tun avec l'autre*

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entier sur l'hyperboloïde osculateur 2 , puisqu il coïncide évidemment avec une des génératrices de cette surface gauche; et conséquemment ce rayon visuel aura un contact da second ordre avec la scotie. C est une relation qui nous sera utile à invoquer plus tard.

4SI. Â présent, reprenons la question dans le sens primitif : Étant donné un point de vue (O, CX'), trouver le* point où le rayon visuel sera tangent à la fois à la scotie et au contour apparent. Pour résoudre ce problème, je prends sur le méridien principal ^h! k' divers points M', P', Q',.-. et pour chacun deux je détermine, comme au n** 449, les rayons visuels (MR,M'R'), (PS,P'S'), (QT, Q'T'),..., qui rempliraient la double condition indiquée ci-dessus; puis je cherche les points où ces rayons visuels vont rencontrer le cylindre vertical OT, et j'obtiens ainsi une œurbe d'erreur T'R'S' qui, en coupant l'horizontal O" V, me fournit un point de vue(V,V') situé à la même hauteur que (0,0"), et pour lequel le rayon visuel (VN, VN') satisfera au problème. Alors je ramène (V,V') en (O, O"), et le point de contact (N,N') restant sur le même parallèle, prendra la position (B,B') telle que Tangle BGN égale NC6 ; de sorte qu enfin (OB, 0''B') sera le rayon visuel qui jouit de la double propriété que l'on demandait.

En faisant usage de la seconde asymptote que nous n'avons pas employée ci-dessus, on trouvera un second point (6, B') placé symétriquement avec le premier, et qui remplira les mêmes conditions par rapport à l'œil (O, O'' ) ; puis, en appliquant des procédés semblables à la méridienne cfUk' quand elle aura fait une demi-révolution , on trouvera encore deux autres points analogues qui sont ceux que noua avons désignés par (E ,E') et (e, E') sur la PL XXIV. Pl. a4. 4S2. Cherchons maintenant la perspective du piédouche sur le tableau vertical XY Y' [Pi XXIV) ; mais pour y tracer les résultats avec plus de clarté , supposons que ce tableau a été transpoité sur la fig. 3, sans changer sa hauteur, c'est-à-dire en faisant coïncider la base XY avec la ligne de terre Y(k> ; d'ailleurs, plaçons la verticale a du tableau à une distance quelconque a^P^. Alors , après avoir mené du point de vue (0,0' ) des droites aux, divers points du contour apparent, il faudra chercher le point où chacune d'elles perce le tableau vertical XY, et rapporter cette intersection sur la jig. 3. Or, si l'on considère, par exemple, le rayon visuel (OD, OD'), on voit qu'il rencontre ce tableau en un point situé sur la verticale d^ , et à une hauteur marquée par Yd^' ; donc, en tirant l'horizontale c^'D^ et la prolongeant à droite de la verticale a^Pa d'une quantité égale à ae^, on obtiendra la perspective D'' du point (D, D'); le point d" sera placé sur la même horizontale, et symétriquement à