CHAPITRE lï

TRACÉ d'un CADRAN HORIZONTAL.

560. Soit AB la méridienne ; quand on opère immédiatement sur le sol, cette Pl^- ^ i ligne doit être déterminée par quelqu'un des moyens indiqués aux n^ 555... ^^^' 3* 557; mais lorsqu'on trace le cadran sur une surface mobile , on peut mener AB à volonté , sauf ensuite à orienter le cadran avant de le fixer invariablement dans la position qu il doit garder. Par le point A où Ion veut planter le style, tirons une droite AO' qui fasse avec AB un angle X égal à la hauteur du pôle ou à la latitude du lieu pour lequel le cadran est destiné; puis, par un point arbitraire de cette droite, par exemple son extrémité O^ menons-lui une perpendiculaire O' B. Alors , quand on relèvera le triangle rectangle AO' B dans le plan vertical du méridien AB, la droite AO' se trouvera bien dirigée vers le pôle céleste, et représentera la position exacte du style; d'ailleurs O'B sera la projection de Yéquateur (n^ 553) sur le plan méridien, et la trace horizontale du plan de cet équateur sera évidemment la droite EBQqui se nomme Véquinoxiaie du cadran. Si donc nous rabattons ce cercle autour de EQ comme charnière, le centre qui était en O' sur le style, viendra se placer en O sur le plan horizontal; de sorte qu'en décrivant de ce point avec un rayon arbitraire 06, une circonférence de cercle, puis la divisant en 24 parties égales à commencer du point b qui est dans le plan méridien, on obtiendra les rayons Ob^ Oc, O^,... pour les traces des plans horaires sur l'équateur rabattu. Maintenant relevons ce cercle dans sa véritable position, et observons: i® que les points B, C, D ,..., où ces rayons prolongés allaient rencontrer la charnière EQ, resteront invariables; a^ que ces points sont sur le plan horizontal, et comme tels, doivent appartenir aux intersections de ce dernier plan avec les plans horaires qui d'ailleurs passent tous par le point A; d où il suit évidemment que ces intersections, ou bien les lignes horaires sur le cadran, seront les droites indéfinies AB, AC, AD,....

Remarquons ici que les distances BC, BD,... ne sont autre chose que les tangentes trigonométriques des arcs de i5^, 3o^, 45^v ^^^^ "^ cercle qui aurait

222 LIVRE m. — DE LA CNOMONIQUE.

poar rayon 06 ; mais il ne faudrait pas croire que les angles BAC, BAD,... sont mesurés par ces mêmes nombres de degrés.

561. Lorsqu'un rayon de Féquateur, tel que Ofy ira couper trop loin Téquinoxiale EQ, on suppléera à ce point de rencontre de la manière suivante. Le plan horaire qui serait mené par le rayon Ofet le style AO' relevé, devra couper le plan vertical MQ suivant une droite évidemment parallèle au style, et qui passera par le point rabattu en F : si donc on ramène ce dernier en F ' sur la projection O'B de Téquateur, et que Ion tire parallèlement à O'A la ligne F' G', ce sera la projection sur le plan méridien de la droite suivant laquelle le plan horaire a coupé le plan vertical MQ. De là on conclut que la trace horizontale de cette droite est située en G; et comme ce point doit évi-

\ demment appartenir à Tintersection du plan horaire avec le plan horizontal, il en résulte que cette dernière ligne est AG.

562. Nou^ n^avons construit sur la fig. 3 que les lignes horaires jusqu a six heures avant et après midi; et ces deux dernières sont évidemment les droites AN et AM parallèles à EQ , puisque les plans horaires correspondants passeraient par le diamètre nOm qui se trouve, dans ce cas-ci, parallèle à Téquinoxiale. Quant aux autres lignes horaires, il suffira de prolonger les précédentes en deçà du point A. f^n effet , à cinq heures du matin ^ par exemple , le plan horaire du soleil fait avec le méridien inférieur un angle dièdre égal à celui qu il forme avec le méridien supérieur à cinq heures du soir; mais le pre-' mier de ces angles est à droite, et le second à gauche de xAB ; par conséquent ces deux plans horaires sont le prolongement Tuii de Tautre, et 1 ombre du style, à ces deux époques, se projette suivant la même droite, mais en sens opposés à partir du point A.

Enfin , pour obtenir les lignes d ombres relatives aux demi-heures, il faudrait subdiviser les arcs 6c, crf,... de Téquateur en deux parties égales, et prolonger les nouveaux rayons de ce cercle jusqu'à Téquinoxiale EBQ, ou suppléer à leur rencontre comme nous lavons fait pour la ligne AG au numét-o précédent.

563. On peut aussi se proposer de trouver la courbe décrite chaque jour par lombre que projette lextrémité O' du style. Or le rayon solaire SO'a qui passe par ce point, décrit dans un même jour les deux nappes d une surface conique qui a sou sommet en O', et pour base le parallèle que parcourt à cette époque le soleil ; mais comme ce parallèle est toujours perpendiculaire au style et a son centre sur cette droite , il en résulte que le rayon solaire décrit un cône de révolution autour de AO', en faisant avec cette ligne un angle égal au complé-