CHAPITRE II. — TRACÉ DUN CADRAIS HOIUZONTAL. aa

mem de la déclinaison du soleil, et variable comme celle-ci d un jour à lautre. Par conséquent la trace diurne de ce rayon solaire sur le cadran horizontal est une section conique qui, dans nos climats, se trouve toujours une hyperbole ; cai* le soleil ne restant jamais aurdessus de Thorizon pendant 24 heures consécutives, ce dernier plan rencontrera nécessaii*ement les deux nappes du cône, et produira ainsi une section hyperbolique.

Supposons donc que Ion veuille construire la courbe diurne de lombre pour le jour du solstice d'été. On mènera dans le plan du triangle OAB une droite Çya formant avec Téquateur O'B un angle de nZ^ta-j' Q , et cette droite repré* sentera la direction du rayon solaire à midi; par conséquent le point a où elle va couper la méridienne AB est la limite de 1 ombre du style à cette heure. Pour un autre instant du même jour, par exemple à deux heures , le rayon solaire fait encore avec le style un angle égal à AO'a, mais il est situé alors dans le plan horaire qui passe par AO' et AO ; or ces deux droites forment avec la trace OD du même plan sur Téquateur un triangle évidemment rectangle en O' ; si donc on rabat ce triangle sur le plan méridien autour de AO' comme charnière, il deviendra AO'D', en prenant Aiy= AD, ou bien 0'iy:= OD; et comme d'ailleurs le rayon solaire en question se rabattra nécessairement suivant la direction O'a, la rencontre de cette droite prolongée avec AD', donnerai extrémité d' de lombre du style, point qu'il faudra ramener par un arc de cercle en & sur AD. En faisant la même construction pour d'autres lignes horaires, on obtiendra la série de points a, c^, y,..., et si on les réunit par une courbe cotitinue, ce sera la route diurne de lombre du point O' à Tépoque du solstice d'été.

564. Pour un autre jour de Tannée, on formera langle BO'e égal à la décli^ naison du soleil à cette époque, et en opérant d'une manière toute semblable, on trouvera que la courbe diurne de l'ombre projetée par l'extrémité O' du style est Thyperbole 6p.... On voit que ces hyperboles vont en s'ouvrant de plus en plus à mesure que la déclinaison diminue; et le jour de l'équinoxe, le soleil ne sortant pas du plan O'BQ de l'équateur, l'ombre du point O' demeure constamment sur la droite EBQ qui, par cette raison, se nomme réquinoxiale

(*) C'est une valeur suffisamment approchée de la déclinaison la plus boréale du soleil^

toutefois cette valeur qui se rapporte au centre du disque solaire , et qui convient quand on

emploie une plaque percée d'un petit trou, devrait être augmentée de 16' qui est le demi-

diamètre apparent du soleil , si l'on employait pour style une verge cylindrique; parce qu^alors

^ c'est le bord le plus boréal du disque solaire qui détermine l'ombre pure.

a24 LIVRE 111. — DE LA GNOMONIQUE.

du cadran. Au delà de cette époque, les hyperboles tournent leur concavité en sens contraire ; et lorsque enfin , au solstice d'hiver, la déclinaison du soleil est devenue BO'ê égale à BO'a , l'ombre diurne du point O est la courbe 69 qui est la seconde branche de Thyperbole oefy. En effet, les deux rayons solaires O'a et Oê forment. des angles égaux avec le style AO'P; donc, en tournant autour de cette droite pendant 24 heures consécutives, ils décriront les deux nappes opposées d'un seul et même cône, lequel sera coupé par le plan du cadran suivant les deux branches d'une même hyperbole. Cette relation se reproduira aussi pour des déclinaisons égales du soleil , avant et après 1 equinoxe; et les sommets seront toujours sur la méridienne ABO.

Toutes ces hyperboles se nomment aussi courbes de décUnaison; et en les traçant de mois en mois, par exemple, on pourrait lire sur le cadran nonseulement l'heure de la journée, mais encore l'époque de Tannée où l'on se trouve. 11 est vrai que, pour le même quantième, la déclinaison du soleil change un peu d'une année à l'autre, par suite de l'attraction àe la lune sur le globe terrestre, jet qu'elle ne se retrouve 1^ même qu'après 19 ans; mais ces variations périodiques sont presque insensibles , et 1 on n'y a pas égard dans les opérations graphiques.

565. Il est intéressant de chercher la ligne d'ombre qui répond au coucher ou au lever du soleil pour une déclinaison donnée, par exemple BCKa. Or, à cet instant du jour, le rayon solaire SO' deviendra horizontal , et ne rencontrera plus le cadran qu'à une distance infinie; ainsi ce rayon et la trace horizontale du plan horaire correspondant , se trouveront l'un et l'autre j>arallèles à l'asymptote de l'hyperbole a(^y. Si donc on voulait prendre la peine de cher-^ cher cette asymptote, ce qui est possible, puisque nous connaissons l'axe réel aS et les coordonnées d'un point de la courbe, et que dès loi^ l'axe iraagi* naire est donné par une expression facile à construire graphiquement

v/(x — a)(a?-f-.flr)

il ne resterait plus qu'à tirer par le point A une parallèle à cette asymptote. Mais il est plus simple et plus élégant de trouver l'ombre du coucher, et d'en déduire l'asymptote en menant une parallèle à cette ligne d'ombre par le milieu de la distance a^.

Pour cela, rappelons-nous que quand il s'est agi de trouver (n® 565) un point (f de l'ombre diurne, il a fallu chercher la rencontre ^' de la droite

GHAPITRK III. — CADRAN VERTICAL NON DÉCLINANT. aa5

Oa avec le rabattement A IK de la trace du plan horaire; or ici, cette rencontre devant avoir lieu à Tinfini , il 6 ensuit que la trace AD' deviendra parallèle à Oa, pour le moment du coucher. Dès lors, il faudra mener du point A une parallèle à Oa, et hi prolonger jusqu'à ce qu elle coupe BO en un point x'; puis, du point A comme centre, avec Ajf pour rayon, on décrira un arc de cercle qui ira couper BE en un point x; et alors la ligne Ax prolongée à droite de AB, sera la ligne horaire du coucher du soleil. Celle du lever sera placée d'une manière symétrique à gauche de AB.

566. En examinant à quelle heure répond , sur le cadran, cette ligne d ombre du coucher, ce dont on jugera exactement en tirant le rayon Ox qui correspond sur Téqnateur à cette ligne horaire , on pourra résoudre graphiquement le problème de trouver f heure à laquelle le soleil se lève ou se couche, en tel ou tel jour de Tannée; car il suffira de répéter des constructions semblables pour une autre déclinaison BO's du soleil.