CHAPITRE IV. — CADRAN VERTICAL DÉCLINANT

trouvera projeté verticalement suivant la droite PÂ que Ton nomme aussi la sous^^laire.

570. Gela posé , il serait facile maintenant de construire le cadran horizontal, en rabattant le plan de Téquateur autour de sa trace horizontale qui sét^it une perpendiculaire sur BA'' et indiquerait la direction est-ouest; car par là le centre O' se rabattrait en O'', et en prolongeant les rayons du cercle décrit de ce dernier point comme centre, jusqu a la ligne est^ouest, il suffirait de joindre ces points de rencontre avec le pied A"" du style. Ensuite, pour revenir aii problème primitif, il faudrait prolonger ces lignes horaires du cadran horizontal jusqu'à son intersection A'BA sur le cadran vertical, et joindre enfin ces derniers points de section avec le sommet P du style ; mais cette marche générale qui ramènerait ainsi la construction d un cadran plan quelconque à dépendre de celle du cadran horizontal, peut être remplacée par une méthode directe, plus simple et plus élégante.

571. Pour cela, il faut construire Yéquinoxiale du cadran vertical proposé, c est-à-dire Imtersection de ce cadran avec le plan de Téquateur. Or, comme ce dernier qui est rabattu suivant OB, doit être ramené dans une situation perpendiculaire au style, lequel est projeté verticalement sur la sous-stylaire PA, il s'ensuit que la ligne EBQ menée à angle droit sur PA, sera lequinoxiale. Alors si Ion fait tourner le plan de Téquatenr autour de cette trace £Q, pour le rabattre sur le plan do cadran, le centre O qui est projeté verticalement en O, devra nécessairement tomber quelque part sur la ligne indéfinie POA perpendiculaire à la charnière EQ; et comme la distance de ce centre au point B de la charnière reste constamment égale à BO, si avec cette distance pour rayon , on décrit un arc de cercle qui coupe PA en «, ce dernier point sera le rabattement du centre de Téquateur sur le cadran vertical.

Maintenant, il n'y aura plus qu a décrire du point (d un cercle arbitraire, le diviser en a4 parties égales à partir du rayon oB qui se trouve dans le plan méridien, puis à prolonger les rayons <«>6, (oc, uc/,. . . jusqu'à leur rencontre avec lequinoxiale; car par là on obtiendra des points B, C, D,:.. qui, demeurant invariables pendant que Téquateur se relèvera autour de EBQ, se trouveront toujours communs au cadran et aux divers plans horaires; de sorte que les intersections de ceux-ci avec le cadran seront les droites indéfinies PB, PC, PD,....

572. Lorsqu'un rayon de l'équateur, tel que wj, ira couper trop loin Téquinoxiale EQ, on suppléera à ce point de rencontre en imaginant une section faite parallèlement au plan méridien PBA". Si G est le point choisi pour mener ce plan sécant, il coupera le plan horaire suivant une droite parallèle au style,

228 UVRE IIL -- DE LA GJNOMOMIQUE.

laquelle sera rabattue et en même temps projetée sur GH tirée parallèle à PAci). Le même plan sécant coupera le plan de Féquateur suivant une droite dont le rabattement OR sera parallèle à g)6, et qui ira percer le cadran au point K situé sur la charnière EQ : donc la verticale RH sera la section du cadran avec ce plan séoant; et comme c'est évidemment sur cette trace RH que la première droite GH doit aller percer le cadran, il s ensuis que ce point est en H. Cela posé, puisque la droite GH est située dans le plan horaire mené par le rayon (M>g^ le point H où elle va percer le cadran doit appartenir à la trace de ce plan horaire; donc cette trace est PH,

573. Si Ion veut construire la courbe diurne de Tombre projetée par lex* trémité O' du style (n*^ 565) pour le jour du solstice d'été, par exemple, on mènera sur le plan méridien rabattu, une droite O'S formant avec l'équateur O'B un angle de 23° 27' (*); et le point S où elle ira rencontrer la méridienne sera l'extrémité de l'ombre à l'heure de midi. A un autre instant du même jour, par exemple à onze heures, le rayon solaire passant par C fera encore avec le style l'angle SOT, mais il se trouvera situé dans le plan horaire qui contient le rayon de Féquateur (ùf F. Or ce plan renferme un triangle rectangle en 0', lequel a pour hypoténuse PF, et qui étant rabattu sur le plan méridien , autour du style, deviendra évidemment PO' F' que l'on obtient en prenant PF' = PF; donc cette hypoténuse PF' prolongée jusqu'au rayon solaire qui sera aussi rabattu suivant O'S, fournira l'extrémité f ' de l'ombre, point qu'il faudra ensuite ramener en 9 sur PF, par un arc de cercle décrit du centre P. C'est ainsi que Ton pourra tracer l'hyperbole f S,4..; et la seconde branche a^,... qui se rapporte au jour du solstice d'hiver (n^ 564), s'obtiendra dune manière analogue en prenant la déclinaison australe BO'a égale à BO'6. Nous abrégeons ces détails parce qu'ils sont tout à fait semblables à ceux que nous avons donnés au n^ 503; seulement nous ferons observer qu'ici les deux sommets de chaque hyperbole diurne seront situés, non sur la méridienne, mais sur la sous-stylaire PAca, et qu'ils se construiraient directement en appliquant à cette droite, considérée comme une ligne horaire, la méthode qui nous a fait trouver les points (fetâ

(*) Cette valeur de la déclinaison qui se rapporte au centre du disque solaire et qui convient quand on emploie une plaque percée d'un trou, devrait être diminuée de 16' si Ton se servait d'une tige pour représenter le style ; parce qu'alors c'est le bord le plus austral du disque solaire qui fournit l'ombre pure sur le cadran vertical, tandis que sur un cadran horizontal, cette ombre est produite [n^ ^05) par le bord le plus boréal du disque s<^aire.