CHAPITRE III. — DBS BERCEAUX ET DES PORTES

tombera au point F djéterminé par l'arc de cercle décrit avec le rayon C'F' ; donc , en joignant F avec C , j'obtiendrai la vraie grandear FCZ de langle formé par la section C'F' , lequel angle va servir de base aux opérations suivantes.

623. L arête de douelle qui part de M, est projetée borizontalement sur Ga'Mf. Pour obtenir la projection M' du point où elle perce le plan incliné A'B\ imaginez par cette arête un plan vertical Ga'M' : il coupera le mur en talus suivant une droite qui formera avec la verticale a' un angle évidemment égal à FCZ, et Ton doit bien voir que la portion de Tarête de douelle qui se trouvera comprise dans cet angle , serait précisément la distance du point a à la projec* tion demandée M^ Or, cette portion de Tarête de douelle ne changera pas de loQgjaeur, quand on rabattra cet angle sur le plan vertical et qu on le transporttera en FCZ, parce que tous ses points , ainsi que M , resteront à la même hauteur quaspara'vant. Done, si Ion tire Tborizontale MIK et que Ton porte Tintervalle IK de af enM% on aura la projection horizontale M' du point où larête de douelle partie de M va percer le mur en talus.

De même , en tirant Thorizontale NJL et prenant S'M^ = JL , on aura le point N' où Tarête de douelle partie de N vient rencontrer le mur ; et si Ion opère semblablement pour tous les autres points de division du cercle AMNB, ainsi que pour des points intermédiaires , tels que les milieux des arcs 6N , MN , . . . , on pourra tracer la courbe A'M'N'B' qui sera la projection horizontale de la courbe de tête ou du cintre de face sur le mur en tahis.

624. Ce procédé esl évidemment applicable aux arêtes horizontales des faces de joint. Ainsi, pour celle qui paît du point R et qui est projetée horizontalement sur Sy'R', on tirera par le point R une horizontale qui coupe l'angle FCZ , et la portion interceptée dans cet angle étant portée de y' en R', la droite M'R' sera Fintersection du plan de joint MR avec le mur en talus. Il se présente ici une vérification essentielle à observer; car la droite M'R' ainsi obtenue et prolongée, devra aller aboutir en O', puisque c'est là que se coupent les traces horizontales du plan de joint MOO' et du plan incliné A'B'.

On obtiendra semblablement l'intersection N'F du joint inférieur NP avec le mur en talus; quant à la face horizontale RQ , elle coupera ce mur suivant la droite R'Q' parallèle à A'B', et la face verticale PQ donnera lieu à une section inclinée projetée nécessairement sur PQ' ; de sorte que laface de tête extérieure du voussoir que nous avons pris pour exemple , sera tout entière projetée suivant M'N'P'Q'R'.

625. Pour déterminer 1 autre tète du voussoir, laquelle fera partie de la surface cylindrique du berceau dont la naissance est sur la droite C"D*, imagi-

nez encore par rareté de douelle (M, GM'af'M') un plan vertical : il coupera le berceau suivant un demi^icercle égal à son arc droit qui doit être donné par la question, et je le représente rabattu sur le plan vertical par l'arc DX. Or, la portion de laréte de douelle qui sera comprise entre ce demi-cercle et la verticale a", qui lui est tangente, égalera évidemment la distance du pied tx!" de cette verticale à la projection M" du point où cette arête va percer le berceau ; donc, si Ion tire Thorizontale MTD, et que l'on porte l'intervalle TU .de a" en M", ce dernier point fera connaître la rencontre du berceau avec l'arête de douelle qui part de M.

De même, si par le point N on tire l'horizontale Nia, et que l'on prenne §"N" = fu, le point N" sera la rencontre du berceau avec l'arête de douelle partie de N ; et en opérant d'une manière semblable pour tous les points de division du cercle AMNB , ainsi que pour les milieux des arcs 4îN , MN , . . . , on obtiendra la courbe A"iM"N"B", qui représentera la projection horizontale de Tintersection du cylindre de la porte avec le -cylindre du berceau (*).

626. En imaginant aussi par l'arête d'extrados (tt, SR'y") un plan vertical, on verra bien qu'il faut encore pforter de y" en R" la portion VX de Thorizontale RVX, pour obtenir le point R" où cette arête de joint va percer le berceau ;

(*) CeWe projection A"M"N"5" est une portion d'hyperbole équilatère; car si Ton rapporte les deux cylindres aux trois axes rectangulaires OzyOxy Oy, et que Ton désigne la distance 00'' par S, on Terra aisément que les équations de ces cylindres sont

j:»-4-2'=:r% jet {j^ -^S^K'Y -hz'zzzK";

d'où , en les retranchant, on déduit

équation qui représente bien une hyperbole équilatère , dont le centre w est sur Taxe 0/ à une tlistance Ow = 5 + R', c'est-à-klîre que' les axes de cette hyperbole sont les axes des deux cylindres. Il faut observer aussi que l'intersection complète de ces deux surfaces se composerait de deux branches séparées, dont chacune serait fermée et à double courbure; mais pour la courbe d'entrée,, pair exemple, les deux arcs situés au-<lessus et au-dessous du plan de naissance étant complètement symétriques ^ ils vont se projeter tous -deux sur la portion d'hyperbole A" M" B"; tandis que la seconde branche de cette hyperbole recevrait la projection des deux parties supérieure et inférieure de la courbe de sortie qui n'est pas employée ici. Dans le. cas particulier où les deux cylindres sont égaux , l'équation précédente représente deux droites , ce qui annonce que les cylindres se coupent alors suivant deux courbes planes : c'est un cas de la voûte d'arêtes, dont nous parlerons plus loin.