CHAPITRE III. — DES BERCEAUX ET DES PORTES. aSy

tuais comme ici le plan de joiot MR coupe ce cylindre suivant une courbe R'^M" qui est un arc d*ellipse , il faudra chercher quelques points intermédiaires entre R" et M*', en répétant le procédé ci- dessus pour le milieu , au moins, de l'intervalle MR. D ailleurs, cet arc d ellipse prolongé devra passer en 0% et y avoir pour tangente en projection la droite 0"B*', puisque c'est là la trace horizontale d'un plan vertical qui touche le berceau à sa naissance.

En opérant de même pour le joint inférieur NP, on trouvera qu'il coupe le berceau suivant l'arc d'ellipse F'N"; puis, la face verticale PQ produira dans ce berceau une section circulaire projetée sur la droite P"Q", et la face horizontale QR donnera pour section la génératrice R'^Q". Dès lors la tête intérieure du voussoir que nous considérons sera projetée tout entière suivant M''N''P"Q''R" ; et, d'après tout ce qui précède, le voussoir lui-même est complètement déterminé. Il restera à effectuer des opérations semblables pour chacun des autres voussoirs, ainsi que l'indique suffisamment notre épure.

627. Des tangentes. Il sera convenable de s'exercer à construire les tangentes Pl. 36. des principales courbes que nous rencontrerons dans la stéréotomie, parce que

c'est là une ressource utile quelquefois pour vérifier ou corriger le tracé de ces courbes , avant de les transporter sur la pierre.

Pour la première courbe de tête A'M'B', sa tangente au point quelconque (M, M') s'obtiendra en combinant la trace horizontale A'B' du plan en talus avec celle du plan tangent au cylindre de la porte , lequel passe par la tangente du cercle AMB ; et cela est si facile , qu'il nous a paru superflu d'exécuter cette opération sur notre épure.

Quant à la courbe de tête A'^M^'B" sur le berceau , sa tangente au point quelconque (M , M'') pourrait s'obtenir en combinant aussi le plan tangent du cylindre AMB avec le plan tangent du berceau ; pour trouver ce dernier, il faudrait mener la tangente au point U de l'arc DX , prendre la distance du pied de cette tangente au point D, et rapporter cette distance sur D"D au-dessus du point D*', ce qui fournirait évidemment un point de la trace horizontale du plan tangent, trace que l'on mènerait ensuite parallèle à A^D'^. Mais ce procédé est moins simple que le suivant , et d'ailleurs il ne s'appliquerait pas aux points de naissance A" et B" ; car, comme ici les deux plans tangents sont verticaux , et se coupent suivant une verticale qui se réduit à un point unique en se projetant sur le plan horizontal , il en résulte que cette marche n'apprendrait rien sur la tangente de la courbe plane A^M'^B'", au point B" par exemple.

628. Employons donc la méthode du plan normal (G. D., n® 214). Pour le cylindre AMB , la normale de cette surface au point (M , M") se projette évidem-

méat sur la droite M^'e perpendiculaire 'à Taxe OC, et elle vient percer le plan horizontal au point € où elle rencontre cet axa. Quant au berceau qui a pour première génératrice A'^B'^, et pour axe la droite tù^ menée à la distance 0'(>> égale au rayon connu de Tare DX, la normale au point (M, M"") sera projetée sur M''X, et sa trace horizontale se trouvera placée au point X où elle rencontre Taxe («)|. Donc la droite eX sera la trace du plan normal à Tintersection des denx cylindres , et il suffira de lui mener une perpendiculaire M'' Q pour avoir la tangente de la projection A"M"B".

Cette méthode semble d abord , comme lautre , devenir insuffisante pour le point de naissance B", attendu qu alors le plan des deux normales se confond avec le plan horizontal, et qu ainsi la trace du premier sur le second se trouve indéterminée. Mais si Ion dépouille le résultat obtenu pour le point quelconque M'', des considérations relatives aux trois dimensions de lespace qui ont servi à l'établir, il restera toujoui's démontré que la courbe plane A'^M^B", indépendammenl de la ligne à double courbure dont elle reçoit la projection, jouit de cette propriété : si de chaque point M!\ on abaisse les deux perpendiculaires M"£ et M*X sur les lignes Otô ettô^y la droite tX se trouve perpendiculaire à la tangente en M". Or c'est uniquement cette propriété qu'il faut invoquer pour le point B'', sans parler de la trace du plan normal en ce dernier point; on prolongera donc BB'' d une quantité égale au rayon de l'arc DX, et enjoignant l'extrémité de cette distance avec le point O'', on obtiendra la droite sur laquelle la tangente au point B^' doit être perpendiculaire. Nous laissons au lecteur le soin d'exécuter cette opération très-simple. Pl. 36. 629. Panneaux de développement Tous les voussoirs sont actuellement déterminés; mais nous ne connaissons encore la plupart de leurs faces qu'en projection, et pour appliquer le trait sur la pierre, il faut avoir leur véritable grandeur, du moins pour les douelles et les joints. Or, les douelks font toutes ^ partie d'un cylindre dont la section orthogonale AMB doit, comme on la vu en géométrie descriptive, devenir rectiligne après le développement du cylindre. Nous allons donc rectifier cette courbe (nommée vulgairement la ligne de direction)^ en prenant sur la droite indéfinie ab des distances bh, nm, • • égales aux longueurs des arcs BN, MM, . . . , ce qui s'exécute généralement au moyen d'une très-petite ouverture de compas que l'on porte sur l'arc BN autant de fois qu'il est nécessaire; puis, après avoir élevé par tous ces points de division des perpendiculaires indéfinies sur ab, nous prendrons les distances

bb' = BB\ nn' = HN', mm' = GM', aa' = AA'.