CHAPITRE III. — DES BERCEAUX ET DES PORTES
642. Par Taréte de douelle (M, M,M') imaginons un plan horizontal; il coupera le cône suivant un cercle d un rayon plus petit que tù'E\ puisque ce dernier est relatif au plan de naissance AB ; mais la différence est facile à trouver. £n effet, si en un point quelconque de AB ou trace l-angle TDZ assigné pour le talus, et que Ion tire Thorizontale MGH, la portion OH comprise dans langle du talus sera évidemment la différence en question. Donc, en la retranchant de ^'E\ le reste tù'H' sera le rayon du cercle qui, par sa rencontre avec la droite M^M', donnera la projection M' du point où cette arête de douelle va percer le parement extérieur de la tour ronde. En répétant cette constructioa pour toutes les arêtes de douelle, on obtiendra la projection A'M'M'B' du cintre apparent de la porte , lequel est une courbe gauche résultant de Tintersection d un cylindre avec un c6ne.
Le même procédé s applique à Thorizontale (R, R2RO V^^ termine le joint MB, et Ton trouvera ainsi le point R' où elle va percer le mur en talus; puis, la section de cette face de joint sera une courbe R'M'O' qui doit évidemment passer par le point O' où la trace du cône est rencontrée par la trace du plan ROO'; et l'on pourra en trouver d autres points intermédiaires, en répétant le même procédé pour le milieu, par exemple, du côté MR. Semblablement, on obtiendra la courbe FN'O' pour la section du cône par le joint NP ; la face horizontale RQ coupera le cône suivant un arc de cercle R'Q' qui sera le prolongement de celui qui a servi à déterminer le point R' ; et enfin la face verticale PQ produira une section hyperbolique, mais qui sera projetée sur la droite P'Q'; de sorte que la tête du voussoir que nous considérons , se trouvera complètement déterminée et projetée suivant M'NfPQ'R'.
645. Pour construire lautre face de tête qui est sur la sphère, coupez encore cette dernière surface par le plan horizontal conduit suivant larête de douelle (M, MjM'M") : la section sera un cercle d'un rayon plus petit que w'F'; mais si, avec ce dernier rayon, vous décrivez sur le plan vertical le méridien CX de la sphère, et que vous traciez Thorizontale MIK , la portion IK comprise entre la méridienne et sa tangente verticale CV, étant retranchée de «'F', donnera évidemment le rayon o/K' du petit cercle en question. Donc, en décrivant la circonférence du rayon w'K', elle rencontrera la droite MjM'M" au point cherché M*' qui sera la projection de celui où larête de douelle va percer la sphère. Des opérations semblables effectuées pour les autres arêtes de douelle, fourniront la projection
a68 LIVRE IV. — COUPE DES PIERRES.
A'^M^'N^B" de la courbe suivant laquelle le cylindre de la porte va pénétrer la sphère (*).
644. Quant au joint MR, larête horizontale (R , R, R' R^') ira percer la sphère en un point dont la projection R^ se construira comme ci-dessus, en tirant Thorizontale RVX ; et la section faite par le joint même sera projetée sur lare d'el*lipse R"M"0", dont on pourra trouver quelque point intermédiaire en appliquant la méthode précédente au milieu du côté MR. Le joint inférieur NP donnera lieu à la courbe P*N"0"; la face horizontale RQ à lare de cercle R^'S*', prolongement de celui qui a servi à trouver le point R''; et enfin , la face verticale PQ couperait la sphère suivant un arc de cercle projeté sur la droite PP' prolongée. Mais comme ce dernier plan rencontrerait la sphère tràs-obliquement , on modifie un peu cette partie du voussoir en menant par le point (P, P") un plan méridien VS'\(ù' : ce plan sécant réduit la projection de la face de tête à M''N''P'S"R", et donne lieu à une nouvelle face verticale PS% rabattue ici [fig, 3 ) suivant le triangle pqs^ dans lequel le côté ps est un arc de grand cercle qui se confond avec la circonférence F' A"B" prolongée, et où la droite p^ doit évidemment égaler la hauteur PQ prise sur le plan vertical. Pl. 37. 645. Il faudra aussi, pour Tapplication du trait sur la pierre, connaître la forme exacte de la face latérale P'Q'P, modifiée par ce qui précède. On en tracera donc le rabattement suivant le panneau rectangulaire pfp' (fç[ {fig. a), terminé par un arc d'hyperbole p'fq\ qui se construit en élevant par divers points F, T', Q', de la projection horizontale, des perpendiculaires égales aux ordonnées des points P , T , Q, au-dessus de la ligne de terre AB. Toutefois , ob-
[*) Cette projection A'^M'^N'^B'" est un arc de parabole dont le diamètre principal est la droite ti^'x , et dont le sommet se trouve situé , par rapport au centre &>', du même côté que Taxe 00''^ de la porte. £n effet, si Ton rapporte le cylindre et la sphère à trois axes coordonnés dont un soit &>'x, le second tJz vertical, et le troisième &>'/ perpendiculaire aux deux autres, et que Ton pose la distance o'^ =: a , les équations des deux surfaces seront
or, en les retranchant , on trouve pour la projection de l'intersection ,
jr» = — aux H-R* — r" — a^
On voit que si le biais disparaissait, c'est-à-dire que Ton eût a =: o, la projection se réduirait à deux droites parallèles; ce qui annonce qu'alors le cylindre pénétrerait la sphère suivant deux petits cercles situés dans des plans verticaux.
