CHAPITRE III. — DES BERCEAUX ET DES PORTES

servons que si le point arbitraire T a été choisi au milieu de PQ , la projection T' ne sera pas le milieu de PQ', mais elle devra se déterminer au moyen d une section horizontale faite dans le cône, à la hauteur du point T, comme on a opéré (n® 642) pour trouver les points M', R' et Q'.

646. Considérons maintenant les pieds-<lroits situés au-dessous du plan de naissance AB, et dont nous n avons conservé ici quune faible portion représentée par la hauteur Âa. Après avoir divisé cette hauteur en plusieurs parties égales 9 on mènera des plans horizontaux qui formeront les hts des diverses assises (voyez n^ S91), et qui couperont la surface conique suivant des cercles dont il faudra trouver les rayons. Par exemple , pour celui qui est projeté verticalement sur ap , on prendra la portion ty de cette droite , comprise dans le prolongement de langle YDZ du talus, et en 1 ajoutant à tô'E^^n aura le rayon w'EV avec lequel on devra tracer la circonférence e'a'jS'. On agira ^méme pour les autres cercles, et Ton subdivisera ensuite chacune de ces assises en plusieurs parties, au moyen de joints verticaux dirigés suivant des méridiens ; mais il faudra commencer par tracer ces joints sur le plan horizontal, et déduire de là leurs projections verticales, ainsi que Tindique notre épure.

Enfin , pour connaître la forme exacte du parement des pieds -droits qui est projeté sur A'a\ on construira le panneau A, ai j3| , en tirant par les points a', a", a*^, . . . des perpendiculaires égales aux hauteurs des diverses assises, mesurées sur le plan vertical ; et la courbe a< aj a, A| sera un arc d'hyperbole. On agira de même pour le panneau B^ S| relatif à la face verticale B' & de lautre pied-droit.

647. Des tangentes. Pour la courbe de tête A'M'B', sa tangente au point quelconque M' s obtiendra en combinant le plan tangent du cylindre AMB avec celui du cône qui a pour trace horizontale le cercle E' A'B' ; et même il suffit de connaître la trace horizontale de ce dernier plan, laquelle s obtiendra en tirant la génératrice «'M', et la prolongeant jusqu'à sa rencontre avec le cercle A'O'B'. Tout cela est si facile, que nous ne faisons que l'indiquer au lecteur.

Quant à la courbe A^M^B'' suivant laquelle le cylindre pénètre la sphère , on pourrait aussi trouver sa tangente au point ( M , M") par la combinaison des plans tangents à ces deux surfaces; mais il sera beaucoup plus simple de recourir au plan normal (G. D., n° 214). En effet , la normale du cylindre est projetée sur la droite M" 9 menée perpendiculaire à Taxe OO", et elle va percer le plan horizontal au point <p : la normale de la sphère rencontrerait ce même plan au centre w' ; donc w' f est la trace du plan de ces deux normales , et dès lors la perpendiculaire abaissée du point M" sur cette trace sera la tangente demandée.

a70 LIVRE IV. — COUPE DES PIERRES.

T^rsqu il s'agit d'un des poiots de naissance A'' ou B'^, la méthode des plans tangents devient insuffisante par la raison déjà citée au n^ 627; et celle du plan normal semble offrir le même inconvénient, puisque le plan des deux normales étant alors confondu avec le plan de naissance, leur intersection reste indéterminée. Mais si Ion dépouille le résultat trouvé généralement pour le point quelconque M'^ des considérations relatives aux trois dimensions de lespace qui ont servi à letablir, il n'en restera pas moins démontré que la courbe plane A''M''B" jouit de la propriété suivante : la tangente en chaque point M'' est perpendiculaire sur la droite qui joint le point u' avec le pied f de la perpendiculaire M"<p abaissée sur la ligne OO''. Donc, en effectuant la construction analogue à celle-ci pour le point B'', ce qui est possible et très* simple, on aura la tangente en ce point de la projection A"M"B''. Pl. 37, 648. Développement des douelles. D après ce que nous avons dit au n^ 629, FiG. 4. on tracera une droite ab sur laquelle on prendra les longueurs bn , mn , . . . égales aux arcs rectifiés BN, ^M,...; puis, sur les perpendiculaires élevées par ces points de division , on portera les distances

66' = B,B', nn' = N,N',..., aa' = êL^Af,

en ajoutant des opérations semblables, au moins pour les miUeux des arcs BN, NM,...; et la courbe dwlri^ sera la transformée de lare de tête projeté sur A'M'N'B'. Semblablement, on obtiendra la transformée d'rri'rHy'' de lare de tête sur la sphère , en prenant les distances

bb" = Ba B^ nd' = Na N", . . . , aa" = A^ A".

Quant aux joints qui sont des faces planes, on aura leurs rabattements en prenant les largeurs np = NP, mr=^ MR,... et en traçant les perpendiculaires

;>/?' = P,F, p^'' = PaP", rT'= R,R', rr" =RaR",...

avec le soin d opérer semblablement pour les milieux, au moins, des côtés NP, MR; car les lignes n'p\ n"p\ m'r'y... sont ici des courbes dont il faut se procurer plus de deux points. ^

FiG. 5. 649y Application du trait sur la pierre. Après tous les détails que nous avons donnés aux n^ 614 et 634, il nous suffira ici de dire quon doit commencer par exécuter un prisme droit {n^ 633) qui ait une base M^n^piq^r^ identique avec le oanneau MNPQR, et dont la longueur soit suffisante pour renfermer la