CHAPITRE III. -- DES BERCEAUX ET DES PORTES

tout Tiatervalle compris entre le» faces d'ébrasement et la feuillure rectangu*laire(*).

67B. Pour diviser cette voûte en voussoirs, partageons lare de tête EZF en

(*) Cette surface, qui est du genre dit surface des voiles, est intéressante à discuter, quand on la considère dans toute son étendue ; mais pour simplifier les calculs , sans ôter à ce lieu géométrique les circonstances singulières qui le rendent remarquable, supposons que \e plan CD'Y'E' (fig» 3) soit nn rectangle. Désignons par a et 6 les deux demi -axes horizontaux O'F' et 0' Y' dea deux eUipaes p et par c le deoii-axe vertical (0% OZ ) qui leu r est commun ; les équations de ces courbes seront

Mais, quand la première Se sera transportée dans un plan parallèle quelconque, ses équations deviendront

où 7 désigne Tordonnée z qui correspond à Tabscisse f =^ dans l'ellipse (2), et couséquemment on aura

donc, en éliminant 6 et 7 entre les trois dernières équations, il viendra pour Téquation de la surface engendrée par Fellipse mobile.

Alors, si Ton coupe cette surface par des plans parallèles aux côtés du rectangle primitif, on obtiendra des ellipses ou des hyperboles , selon que le plan sécant se trouvera en dedans ou en dehors de ce rectangle; et quand il coïncidera avec un des côtés, la section se réduira h une droite. De sorte que la surface (3) présente une nappe fermée, projetée sur un rectangle, avec quatre nappes indéfinies qui s'étendent dans les angles opposés par le sommet à ceux de cette figure; et en outre, il existe sur la surface guatre droites indéfinies qui sont les côtés du rectangle avec leurs prolongements. Lorsque Ton coupe cette même surface (3) par un plan vertical dirigé suivant une des diagonales, on obtient deux paraboles dont chacune pourrait servir^ sans interruption , de directrice continue à l'ellipse mobile représentée par les équations ( i j ou (!i). Les sections horizontales sont aussi intéressantes à discuter ; mais le lecteur pourra se livrer de loi-q^me à cet exercice.

a88 LIVRE IV. — COUPE DES PIERRES.

un nombre impair de parties ég^ales, puis menons des plans par ces points de division et par Taxe horizontal (O, O' Y'). Ces plans détermineront les faces de joint, projetées surPQ, LS,... et terminées aux assises horizontales du mur; mais au Heu de les prolonger jusqu'au point O où elles formeraient des angles très-aigus, on les remplacera, à partir de l'arc de tête, par des cylindres horizontaux PN, LM,... qui viennent couper la feuillure à angle droit et soient tangents aux joints plans PQ, LS ,.... Pour cela , on tracera la tangente PT avec laquelle on décrira lare de cercle PN que Ion regardera comme la base d un cylindre perpendiculaire au plan vertical, et on y ajoutera la petite face plane N« dirigée semblablement; de sorte que le joint total sera projeté verticalement sur le contour QPNn, et l'on opérera de même pour les autres joints. Il est vrai que par là les largeurs des douelles mn sUr la plate-bande ne seront pas toutes égales entre elles ; mais il suffit qu elles soient symétriques , à droite et à gauche de O. Toutefois , si Ton tenait à rendre ces douelles de même largeur, il faudrait commencer par fixer les points M, N>,.. sur CD d'après cette condition , et ensuite remplacer l'^rc de cercle NP par une courbe à deux centres qui fût tangente en même temps à la verticale Nn et à la droite PQ.

677. Cherchons maintenant les arêtes de douelles qui seront les intersections de l'intrados de l'arrière-voussure avec les cylindres projetés sur LM, NP,.... Or, si l'on construit,. comme nous l'avons dit au n® 675, les projections verti" cales aêy, «2^272 v de la génératrice de cet intrados dans ses positions successives, elle seront rencontrées parle cylindre LM aux points X, Xj, X,,... qu'il suffira de projeter en X', X'j, , X'3 , . . . pour obtenir la projection horizontale L'X'M' de cette arête de douelle : quant à sa projection verticale , c'est évidemment LXM; et l'on opérera semblablement pour toutes les autres arêtes de douelle (PttN, PVN'),.... Nous les avons tracées ici en p/em, parce que nous admettons que la projection horizontale est vue en dessous.

678. Développement des panneaux de joint. Puisque la courbe LM est la section droite du cylindre qui forme ce joint, rectifions cette courbe en prenant sur la fig. 5 , les distances

M'T = MX', , tt - X, Xa , n = X, X, /7 = XL ; puis, en élevant les ordonnées

r/3 = YV3, /'7a = YV,, tl, = T(^\ /L" = Y'0', nous obtiendrons divers points de la courbe Wl^l^l^\" qui est la transformée