CHAPITRE I. — NOTIONS GÉNÉRALES
toujours par leurs intersections avec les surfaces environnantes, que Ion obtiendra les ombres portées*
19. Par exemple, pour un tronçon de colonne ÂBCI), si Ion conçoit les Pl. i, deux plans tangents NMN \ QRQ^ qui sont parallèles aux rayons lumineux , il FiG. 4est clair que les arêtes de contact MN et BQ formeront une partie de la séparation d ombre et de lumière, et que tous les rayons lumineux qui s'appuieront sur ces arêtes, tels que EE', FF',NN', seront véritablement tangents àlenveloppe latérale du corps. Mais lare de cercle NCQ sera aussi une autre branche de cette ligne de séparation, puisque la face supérieure DNCQ est éclairée, tandis que la surface latérale ne lest pas au delà des arêtes MN et QR; or, quand le rayon lumineux glissera sur cet arc NCQ , les positions successives PP% CC^,. . . qu il occupera seront simplement des lignes rasantes, et non plus de véritables tangentes pai* rapport à lenveloppe du corps; d'ailleurs ces lignes rasantes formeront une portion de surface cylindrique à base circulaire, qui ira percer le plan horizontal suivant un arc de cercle N'C'Q^ égal à NCQ, tandis que les rayons lumineux tangents le long de MN et RQ, forment deux plans verticaux qui coupent le plan horizontal suivant des droites MN'et RQ'. Le contour de Tombre portée est donc MN^C'Q'R, et la séparation d ombre et de lumière est la ligne discontinue MNCQR , à laquelle on doit ajouter lare inférieur RAM qui repose sur le sol.
20. On voit, par cet exemple, que souvent la séparation d'ombre et de lumière se déterminera sans aucune construction géométrique, et à Finspection seule du corps, surtout s'il est terminé par des faces planes. Car, pour un polyèdre, donnée et en connaissant la direction commune assignée aux rayons de lumière, il est bien facile de distinguer immédiatement si une face est éclairée ou non; et cette distinction une fois faite pour toutes les faces, la série des arêtes qui sépareront une face éclairée d'avec une face obscure, foimera la ligne de séparation d ombre et de lumière sur le corps en question. Ainsi, dans un Pl. i, parallélipipède éclairé parallèlement à sa diagonale FC, chacune des six arêtes FiG. 5. AB, BG, GH, HE, ED, DA, sépare évidemment une face éclairée d'avec une face obscure; donc ces arêtes forment bien la ligue de séparation d'ombre et de lumière , et le cylindre circonscrit à ce corps devient ici le système de six plans, menés chacun par une des arêtes précédentes et parallèlement au rayon lumineux. Quant à l'ombre portée, elle s'obtiendrait en cherchant les intersections de ces six plans avec les surfaces environnantes.
fournit, pour la solution des deux parties de ce problème , une méthode générale que nous allons indiquer, mais qui peut recevoir des simplifications no-* tables, ou acquérir plus de précision suivant la forme des corps , ainsi que nous le ferons voir en parcourant divers exemples particuliers.
17. 1°. On coupera le corps opaque T par une série de plans P, P', P",. . . tous parallèles au rayon de lumière, et Ton fera bien de les choisir, en outre, perpendiculaires à lun des deux plans de projection; par exemple, de les prendre verticaux; puis, à chacune des courbes produites par ces plans sécants P, P', . • •» on mènera une ou plusieurs tangentes parallèles au rayon lumineux, et leurs points de contact détermineront la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur le corps T.
2?. On cherchera aussi l'intersection de la surface VXY avec chacun des plans sécants , tel queP; et la rencontre de cette intersection avec le rayon lumineux qui aura déjà été conduit tangentiellement à la section de ce même plan P dans le corps T, fournira un point de la courbe d'ombre portée sur la surface VXY.
Si cette exposition générale laissait quelque obscurité, le lecteur pourrait consulter immédiatement le n*' 21 , où nous avons appliqué cette méthode à l'ombre d'une sphère.
18. Observons toutefois que, dans l'énoncé des règles précédentes, nous avons admis tacitement que le corps opaque se trouvait limité par une seule et même surface continue; mais la plupart des corps étant terminés par des portions de surfaces courbes différentes, quoique contiguës, ou par des faces planes diversement inclinées, l'enveloppe totale de ces corps est discontinue sous le rapport géométrique, et elle offre des arêtes saillantes, curvilignes ou rectilignes. Donc, pour définir généralement le cylindre circonscrit qui détermine la séparation de lumière, il faut dire qu'il est formé par des lignes RASANTES, toutes parallèles au rayon lumineux; et nous entendons ici par ligne rasante toute droite indéfinie qui s'appuie sur l'enveloppe du corps sans la pénétrer nulle part, ou qui du moins ne coupe cette enveloppe qu'au delà du point d'appui , dans le sens où se meut la lumière; car, dans ce dernier cas, ce serait le corps en question qui porterait ombre sur lui-même, et cette circonstance ne doit pas être omise sur le dessin.
Ainsi ces lignes rasantes, parallèles au rayon lumineux, ne seront pas toujours de véritables tangentes dans le sens géométrique; et elles composeront, par leur ensemble, un cylindre discontinu, formé de plusieurs portions de surfaces cylindriques différentes, dont quelques-unes pourront être planes ; mais ce sera
GHAPimC II. — EXEMPLES DIVERS. ri
Ifis points W et N'' fouroiront en mém^ temps deux autres poinfs (P, P) et (Q, Q') de la coorbe de séparation d ombre et de^ lumière; et Ton ent déduira aussi deux nouveaux points p et 9 de 1 ombre portée sur le plan horizontal.
23. Si Ton applique la même marche au plan vertical UV, on devra tracer un cercle du diamètre U^'V" = UV, et il faudra lui mener encore, parallèlement à 0"S", deux tangentes Kf'k'\ Vi'\ dont les points de contact se trouver,ont évidemment en %ne droite avec M'' et N''. Par conséquaiit tous les points.de la séparation d'ombre et de lumière seront projetés, sur le plan auxiliaire X^' Y'', suivant le diamètre G'' H'' perpendiculaire à O^^S''; doù l'on conclut que cette courbe mtpkmey et quelle est un grand cercle perpendiculaire au rayon lumineux; conséquence que Ton pouvait prévoir d'après le théorème coonu {G. D., n'^SSl^ noté) sur la ligne de contact d'un cylindre circoosorit à une surface du second degré.
24. Points remarquables. Il est plusieurs points que l'on peut construire directement, et d'abord ceux qui se, trouvent sur le contour apparent horizontal (ABD, A'iy); car les pUns verticaux £e, F/| qui touchent évidemment la sphère aux points (E, O'') et (F, O^), renfermeront les rayons lumineux menés par ces points; donc ces rayons seront eux-mêmes tangents à la sphère, et par conséquent (E, E') et (F, F') sont deux points de la séparation d'ombre et de lumière.
Cette courbe a aussi deux points situés sur le grand cercle vertical (AD , A'C'D'), et qui s'obtiennent en menant les tangentes R'A' et L'/' parallèles à la projection CVS'; car, dans les points (K , R')et (L, L') ainsi déterminés, le plan tangent sera perpendiculaire au plan vertical et parallèle aux rayons lumineux.
Enfin le plan vertical B06, parallèle au rayon de lumière, donnera, par la méthode générale du n^ 21, les points (H'', H) et (G% G), qui seront le plus haut et le plus bas de la courbe; et l'on en déduira leurs projections verticales H' et G' comme précédemment, ou bien en rabattant le point H en >j, lequel se projettera en >?' sur le grand cercle (A' CD', AD), puis en tirant rhorizontale n'H' sur laquelle devra tomber la projection H' du point H. Pour justifier la dénomination attribuée à ces points, il faut observer qu'en (^H, H") le plan tangent de la sphère est perpendiculaire au plan vertical auxiliaire X" Y", et qu'il en est de même du plan delà courbe qui est projetée suivant G" H" ; donc l'intersection de cqsdeux plans, qui est la tangente, sera aussi perpendiculaire à ce plan vertical , c'est-à-dire qu'elle sei>a hçrizontale.
la . LIVRE I. — THÉORIE DES OMBRES.
'25. On trouve marqué sur notre épure le point brillant de la sphère, X pour la projection borizontale, et jx' pour la projection verticale; mais nous renvoyons l'explication de ces dernières constructions au chapitre III , où nous parlerons des recherches relatives aux points de ce genre.
Ombres d^une barrière.
Pl. I ^' Après avoir appliqué à l'exemple précédent la méthode générale
FiG. 6. du n** 17, considérons un de ces cas assez fréquents où lobjet proposé étant
terminé par dés faces planes, on aperçoit immédiatement quelles sont les
lignes de séparation d ombre et de lumière sur le corps en question , et où il
ne s agit plus que de trouver les ombres portées.
Soit donc une barrière formée par une lisse d'appui horizontale (ABGD, B"B'D'D") que soutiennent deux potelets verticaux; ces pièces de charpente, qui ont toutes la forme de parallélipipèdes rectangles, sont supposées éclairées par des rayons de lumière parallèles à la direction (S, S'). En comparant les rayons de lumière menés par les sommets (A , A') , (A , A''), (B, B'), (B, B") de la lisse d appui, on aperçoit bien que les seules parties éclairées sont les faces verticales AD et CD, et la face horizontale supérieure B"D"; d'où il résulte que les lignes de séparation d'ombre et de lumière sont les six arêtes suivantes :
