CHAPITRE V. — PÉNÉTRATIONS DE VOUTES. 3a

Enfin , on construira les joints normaux et Fextrados du petit berceau, comme à l'ordinaire ; et d ailleurs toutes ces opérations s'effectueraient d'une manière semblable, quand bien même les sections droites des deux cylindres ne seraient pas des cercles.

759. Gela posé, la projection horizontale AlmnB de Fintersection des deux intrados s obtiendra en coupant ces deux cylindres par divers plans horizontaux, tels que l't\ m'm!\ vCn^^ car ce dernier coupe le petit berceau suivant la génératrice (n', en), et le grand berceau suivant une génératrice qui est projetée au point n^ sur le rabatt^nent {^fiq. 2), mais qui doit être évidemment ramenée suivant En sur le plan horizontal ; donc la rencontre des droites en et En fournira un point n de la courbe demandée, et les autres s'obtiendront d une manière semblable (*). Cette courbe A/mnB est un arc d'hyperbole équilatère, comme nous lavons prouvé dans la note du n^ 625; et Tautre branche Oi«D (7^9* 4) reçoit la projection de la courbe de sortie, quand les deux cylindres se pénètrent entièrement; d'ailleurs ces deux courbes d entrée et de sortie sont projetées verticalement sur le cercle dvlif.

, 740. Maintenant 9 comme larête de douelle ri du petit berceau est située plus bas que Tarête N"^ du grand, le plan de joint j/n'0'0 viendra couper Tintrados de ce grand berceau suivant un arc d'dlipse nN qui s'étendra jusqu a sa rencontre avec larête de douelle N^ ; or, cette extrémité N s'obtiendra en menant le plan horizontal W^\ lequel coupera le grand cylindre suivant la génératrice FN, et le plan de joint p'0'0 suivant la droite /ff. Tout autre point intermédiaire entre N et n s'obtiendrait encore au moyen d'un plan sécant horizontal ; mais on doit d'ailleurs observer que cette ellipse prolongée aboutira en o qui en sera le sommet, attendu que c'est là la rencontre du plan indéfini p'0'0 avec la génératrice A,ÂB située dans le plan de naissance.

couper rintrados du grand; tandis que si V était plus haut que U\ il arriverait bientôt qu'un des points suivants n! se trouverait plus bas que N", et conséquemment les traces des joints seraient apparentes tantôt sur le petit berceau et tantôt sur le grand , ce qui offrirait une irré^ gttlarité choquante à la vue.

(^) Cette méthode se réduit évidemment, pour la pratique, à prendre la distance du point /<'' à la tangente verticale élevée en A'% et à porter cette distance sur la projection indéfinie n'en , à partir de la droite AB. C'est là, en effet, le procédé qui nous a servi dans l'épure de la Pî. XX XVI y avec laquelle la question qui nous occupe ici a beaucoup d'analogie et même des parties communes. D'ailleurs, ce même procédé pratique s'appliquera aussi aux joints dont nous allons parler.

3a6 LIVRE iV. — COUPE DES PIERRES.

A partir du point N/ le joint pvl coupe le joint N^P du grand berceau sui* vaut une droite NP dont le dernier point P s obtient aussi au moyen du plan sécant horizontal P''P'; d ailleurs, cette droite PN prolongée passerait évidemment par le point O où se coupent les axes Ocf et OO^ des berceaux, parce que ces axes sont ici les traces horizontales des plans de joint j/do et F'N'O". Dans le cas général où les berceaux ne seraient pas en plein cintre, il serait encore bien facile de trouver ces deux traces horizontales.

Le joint N^'P' du grand berceau se terminera à rhorizontale PG suivant laquelle il rencontre 1 extrados, et il aura ainsi pour projection horizontale FNPG; mais le joint n'p'P' coupera d'abord ce même extrados suivant un arc d'ellipse Pp dont chaque point p se trouvera en conduisant un plan sécant horizontal tel que p'p' \ et ensuite il coupera lextrados du petit berceau suivant la drqjie ph\ de sorte que le joint n'p aura pour projection horizontale le contoor enNP^A.

Après ces détails, on lira aisément sur notre épure la forme des autres joints correspondants à w!o[ et M"Q", /V etL" V"; et Ion apercevra bien que la courbe yp^ est Tintersection des deux extrados. Mais, vu qu'il faut composer dune seule pierre les parties des deux berceaux qui sont contignës à larétier A/mnB, comme enNR, on devra limiter les voussoirs de la lunette par des joints montants ou plans veilicaux eg, RS,..., qui soient placés à des distances convenables pour ne pas exiger des pierres d'un trop grand volume. Quant aux .voussoirs compris entre KR et K4 R| , ils n appartiendront plus quà un seul des berceaux, et ils se construiront sans aucune difficulté; si nous ne les avons pas représentés ici sur le plan horizontal , c est pour laisser mieux distinguer tout ce qui se rapporte à la lunette proprement dite. Ajoutons enfin que toute la projection horizontale {fg. 3 et 4) est censée vue par-dessous, ce qui expliquera les divers modes de ponctuation employée dans notre épure.

Pl. 48, 741. Panneaux de développement. On développera l'intrados du petit ber^ FiG. 5. ceau en rectifiant les arcs a!l\ l'm\ m'n\... de la section orthogonale suivant les droites a^l^^ l^m^^ m, n,; puis, on élèvera des ordonnées a^a^^ l^l^j m^^t >••• égales aux distances des points A, /, m, n,... à la ligne de terre o't', et Ion pourra ainsi tracer la courbe a, /j m^n^^... qui représente la transformée de larêtier projeté sur A/mn.... Par là aussi on connaîtra en vraie grandeur les pan^ neaux de douelle, tels que m^m^n^n^.

Quant aux joints, par exemple celui qui est rabattu suivant n^n, NgP,/>,;?a> on le construira en prenant les abscisses

njNarrn'N', n^P^ = n'P\ n^p^ = ny,

GHAPITRt; V. — PÉNÉTRATIONS DE VOUTES. 827

et en élevant les ordonnées N^iNs, PiPs^ Ps^d égales aux distauces des pointas N, P, p^ à la ligne de terre o!b'. On pourrait construire semblablement les panneaux des douelles et des joints qui se rapportent au grand berceau ; mais cela est inutile pour lopération suivante.

742. Tailie des voussoirs. Considérons, par exemple, le voussoir qui a pour p p /: lace de tète tnln'pq[ sur layîjf. 1 . Après avoir équarri un prisme droit (n® 633)

dont la- base soit égale à la projection horizontale ^enMRS... de ce voussoir, on appliquera sur les faces antérieure et latérale de ce prisme {fig. 6) les deux panneaux de tête m'n*pq[^ M''N''P"Q", levés sur les ^. i et % (ici nous supposons que le voussoir est renversé sens dessus dessous, pour laisser voir les deux douelles); puis, comme au n^ 730, on exécutera la douelle cylindrique n'm'mn et les deux joints du petit berceau, et snr ces faces on appliquera les panneaux correspondants de la^i^. 5, afin de déterminer les limites mn^ mM, Q9,.... Cela fait, on taillera la douelle et les joints du grand berceau, dont les contours seront alors tous connus; et quant aux extrados, on les exécuterait aisément avec des cerces concaves : mais presque toujours on se contente de les dégrossir à la simple vue.

743. RemabQubs. i^. Puisque la forme des extrados est assez indifférente, on peut simplifier les joints en les terminant deux à deux au même plan horizontal Q^Q^ P'F; alors les courbes P/?, Q9, disparaissent de la fig. 3, et chaque joint a une projection telle que enNP^. Dans ce cas, le joint visible sur la^. 6 se réduit aussi à m'mMQQ^

*a^. Dans le mode d'appareil indiqué au n^ 738, les joints du petit berceau deviennent apparents sur Tintrados du grand berceau , en coupant ce dernier suivant des arcs d'ellipse mM, nN,... qui rompent l'uniformité des divisions par assises et altèrent la symétrie de la décoration architecturale. Pour éviter ce défaut, on pourrait placer les divisions du grand berceau aux points l'\ w!\ ri\ situés respectivement à la même hauteur que/', m\ n"; alors les arêtes de douçUe viendraient se rencontrer deux à deux sur l'arêtier gauche klmriR^ comme dans la voûte d'arêtes de la PL XLF^ et les joints ne seraient plus du tout apparents sur l'intrados. 11 est vrai que dans ce système les largeurs A"l'\ l"m'\ nt!'v!\ des douelles du grand berceau iraient en diminuant ji^squ'au point v!\ à partir duquel on ferait les douelles suivantes égales toutes à la dernière rri'n" : mais ce défaut serait peu sensible à l'œil, si les deux berceaux avaient presque la même montée; et, dans le cas contraire, ou placerait la naissance du petit berceau à une bauleur telle que le sommet z' fût au-dessous de Z" seulement de

1 5 OU 20 centimètres. Cest ce dernier moyen- que Ton emploie souvent, par exemple dans une nef d'église que l'on veut éclairer par des fenêtres latérales pratiquées dans le haut de la voûte; alors Tarêtier AlmnB (fig. 3) se trouve composé : i^ dune ligne à double courbure, qui est Tintersection de deux cylindres; 2® de deux arcs de cercle suivant lesquels les pieds-droits ti'A et fe'B de la fenêtre coupent le grand berceau A"Z^ ; et ces trois arcs se raccordent parfaitement entre eux.

3^. Dans Tépure 4B, le plan de tête a'b' a été supposé vertical et parallèle à la direction AB du grand berceau ; si ce plan était oblique et même en talus, il faudrait, en partant toujours de la section droite afzfl/ du petit berceau , chercher le cintre de face, comme nous lavons fait dans le problème de la PL XXXFI, qui a beaucoup de rapport avec Tépure actuelle. Au reste, cette obliquité du plan de tête ne changerait rien à la rencontre des deux berceaux; mais nous allons étudier le cas où ceux-ci viennent se couper obliquement.

Lunette biaise dans un Berceau.

Pl. 49. 744. Il peut se trouver des circonstances où, pour faire communiquer ensemble des constructions déjà existantes, ou bien par quelque autre motif impérienx , il faille donner au petit berceau une direction o'O qui ne soit pas perpendiculaire sur Taxe OOa du grand. Soit aloig afz'b' le cintre de face du premier berceau, et A^'Z" la section orthogonale du second, laquelle doit être censée ramenée dans le plan vertical A^Oa perpendiculaire à Taxe OOs* On tracera l'appareil des deux berceaux sur le plan vertical {Jig, i et a) comme nous lavons expliqué au n? 738; et pour obtenir sur le plan horizontal Tintersection A/mnB des deux intrados, on mènera encore divers plans sécants horizontaux y l't\ m'm"^ n'n"^ dont chacun coupera les deux cylindres suivant des droites, qui parleur rencontre sur le plan horizontal détermineront les points /, rh, n. On agira de même pour les joints; et comme tout cela est parfaitement semblable, quant aux procédés et aux résultats, avec ce que nous avons dit aux n^ 739 et 740, nous n'insisterons pas sur ces détails; mais nous allons expliquer le moyen d'obtenir la section orthogonale du petit berceau, qui n'est plus ici une donnée immédiate de la question , comme elle l'était dans la PL XLFIIL

745. Section droite. On a vu en Géométrie descriptive que, pour développer un cylindre, il fallait rectifier la section orthogonale, et non pas une section oblique telle qu'ici aH'm'b'. Ainsi, par un point quelconque, nous conduirons