CHAPITRE V. — PÉNÉTRATIONS DE VOUTES. Vi'J

prendra Tare O'^égal à Tabscisse O'/' , et Ton joindra le point /avec w : cette marche est évidemment justifiée par la définition que nous avons donnée au numéro précédent du cintre gauche qui forme la base du conoïde. En répétant des opérations semblables ^ on obtiendra les courbes

AMNOKaL;^B3 et fiLKCN^M^Aa

pour les projections horizontales des lignes gauches suivant lesquelles se coupent le tore et le conoïde ; et Ton a vu (G. D., n** 645) que ces projections sont des spirales d'Archimède. Mais il faut bien observer que les deux surfaces d'intrados doivent être interrompues à leur rencontre mutuelle , afin de laisser un libre passage sous les deux voûtes; c'est-à-dire que dans le conoïde ) on supprime toutes les portions de génératrices intérieures, telles que

AB, ML, NK, NjK,, M^L^, A^B,,

et dans le tore , tous les arcs intérieurs

AAa, MMa, NN,, RK^, LL,, BB,.

Il en résulte que les deux espaces angulaires AOB , A^OB^ ^ sont recouverts par le tore , et les espaces AOA3 , BOB^ , par le conoïde ; ce qui rend très-saillantes sur l'intrados les deux^ courtes d'arête ou les arêtiers projetés suivant AOA2 et BOB3. Ajoutons enfin qu ici la projection horizontale est censée vue par-dessus, ce qui expliquera les diverses ponctuations que nolis avons employées.

778. Des joints normaux. Dans le berceau tournant , et le long de Taréte de Fie. 3 douelle FM, le joint de lit est formé, comme nous lavons dit au n^ 775, par et 6. une zone conique projetée entre les cercles FM et GX. Dans le conoïde , et le long de laréte de douelle /Mo.), le joint devra être le lieu des normales menées à cette surface par tous les points de la droite /Ma> ; or, pour obtenir ces normales, il faut d abord construire les plans tangents, en recourant à un paraboloïde de raccordement , d'après la méthode exposée au n^ 580 de la Géométrie descriptive.

A cet effet, je choisis un plan vertical de projection (Jig. 6) qui soit per* pendiculaire à la génératrice /Mu, et sur lequel cette droite se trouvera pro* jetée en un seul point M' situé à une hauteur U'M' =yy = FF'; pois, après avoir tracé la tangente f"T' à lellipse plane, je rapporte la sous-tangenta/'T" suivant la droite/T tangente à la base du cylindre extérieur, et en projetant le

348 UVRE IV. — COUPE DEô PIERRES.

point T en T sur la^îj. 6 , la droite (/T, M'T') sera bien tangente à la ba«e du coûoïde. Gela posé, si Ion fait glisser sur (/T, M'T') et sur la verticale « la génératrice (/Mw, M') toujours horizontale, elle engendrera un paraboloïde qui aura les mêmes plans tangents que le conaïde tout le long de (/M<k), M'); et la droite Ta> tracée dans le plan de naissance, sera évidemment une seconde position de la génératrice de ce paraboloïde. Or, en coupant cette dernière surface par divers plans verticaux MP, LQ,... perpendiculaires à /M« et conséquemment parallèles aux deux directrices, on sait (G.i?., n^ 551) que de pareilles sections devront être rectilignes; donc , si je* projette les points P, Q ,... sur lafy. 6 en F, Q',..., les plans M'TT, M'FP, M'Q'Q,.*.. seront bien tangents au paraboloïde , et par suite au conoïde, dans les points/, M,L,....

Maintenant, les normales du conoïde pour les mêmes points sont bien faciles à obtenir, et ce sont les droites (M'R',/R), (M'S', MS), (M'V, LV),... dont Tensemble composera le joint de la voûte conoïde; ce joint est encore un paraboloïde hyperbolique (G. X>., n® 595), et même ici on doit apercevoir qu'il coïnciderait entièrement avec le paraboloïde de raccordement, si Ton faisait faire à ce dernier un quart de révolution autour de Fhorizontale {o^M./, M'). Ensuite, comme il faut terminer le joint du conoïde à la même hauteur que le joint conique du berceau tournant , on devra prendre sur la^^. 6 la verticale U'G" égale à G6' de la fig. 4» P^is mener le plan horizontal CR' qui coupera les diverses normales en des points (R', R) , (S', S), ( V, V ),... par lesquels on fera passer la courbe RSV,... qui sera la limite du joint de la voûte conoïde. Il est utile, pour mieux tracer cette courbe, de savoir que c'est une hyperbole équilatère qui a pour asymptotes la droite «M/ et la perpendiculaire élevée par le point tù (*) ; par conséquent, le sommet de cette hyperbole se trouvera direc-

(*) En effet, les triangles semblables que renferme la fig. 6, conduiront aisément à trouver que le produit de chaque sous-tangente par la sous-normale correspondante est constant , c'està-dire que Ton a

U' r X G" R' = U' F X G"S', ou bien', sur \afig. 3,

/TX/R=MPXMS;

or, on peut substituer ici aux lignes /T et MP, les distances ^w et Mw qui leur sont proportionnelles , ce qui donnera

/wX/R = M«XMS, ou bien x/rr^j',

en prenant pour axe des x la droite w/", et pour axe des y une perpendiculaire élevée par le point ». Ainsi Véquation de la courbe RSV sera de la forme xr=:^% où /• désigne une constante qui représente la grandeur commune des deux coordonnées asymptolîques du sommet.

tement, en cherchant une moyenne proportionnelle entre les deux coordonnées asymptotiques d un .des points de la courbe , ainsi qu on le voit indiqué dans notre épure.

779. Enfin, l'hyperbole RSV étant rencontrée au point X par le cercle GX qui termine le joint conique du berceau tournant, ce point appartiendra à Fin* tersection MxX des deu^ joints; et pour obtenir quelque autre point de cette courbe , on mènera un plan sécant horizontal par le milieu ^ de F'G^, lequel plan coupera le joint conique suivant le cercle gx : puis, en prenant sur la^i^. 6 la hauteur Ug*' = gg'^ Thorizontale g^r' coupera les diverses normales en des points qui, projetés sur le plan horizontal, fourniront Thyperbole rx dont la rencontre avec gx fera connaître le point cherché x. Cette nouvelle hyperf>oIe sera semblable à la première, et elle aura les mêmes asymptotes.

780, Quant au joint supérieur du voussoir E'F'G'TH' qui nous occupe spé- FiG. 3 cialement, il sera formé, dans la voûte annulaire , par la zone conique NEHT et 7. que décrit la normale E'H' dans sa révolution autour de la verticale co; et dans

le conoïde , ce joint devra être le lieu des normales menées à cette surface par tous les points de la génératrice Oi)Ne. Pour trouver ces normales , j adopte un plan vertical de projection {fig. 7) qui soit perpendiculaire à oNe, et sur lequel cette droite se projettera en un point unique N' situé à une hauteur WN' = efef = EE'. Ensuite je mène la tangente e'Y de Tellipse plane, laquelle viendra se projeter suivant eQ quand cette courbe aura été enroulée sur le cylindre de la tour; mais comme ici la trace horizontale de cette tangente serait à une distance incommode, nous emploierons le point de cette droite qui est projeté en ô, ou situé dans le plan vertical tùO". Or il faut se garder de croire que ce point inconnu soit celui qui est désigné par t" dans la^^. 5 ; car, à cause de la déformation que subit lellipse plane quand elle s enroule sur le cylindre CO^D, il faudra porter la longueur eOàeef enÇ^ puis élever la verticale ÇÇ" qui fournira le véritable point demandé Ç". Ainsi, en portant sur la verticale menée du point d, une hauteur uQ' = ÇÇ", la droite (eô, N'ô') sera la tangente du cintre à double courbure.

Cela posé 9 si nous faisons glisser la génératrice oNe, toujours horizontale, sur cette tangente (c6, N'6') et sur la verticale w, elle engendrera un paraboloïde de raccordement; et quand elle sera parvenue au point (d, Q'), cette génératrice se trouvera projetée horizontalement sur 00"ô, et verticalement sur la droite ô'w' menée par le point 6' parallèlement à la ligne de terre. Donc, en coupant ce paraboloïde par divers plans verticaux eô, np, fqf,... perpendiculaires à cjNè et conséquemment parallèles aux deux directrices, les sections qui devront être rectiUgnes {G. D., n^ 551) seront projetées sur les droites N'6', Ny,

35o LIVRE IV. — COUPE DES PIERRES.

NYv . *. Or on doit apercevoir que ces mêmes droites seront à la fois les traces et les projections verticales des plans . tangents au paraboloïde,«t conséquemment aussi au conoïde, pour les points 6,n, /,...; donc les normales relatives aux mêmes points seront les lignes (Ny , ep), (N'S', ns) , (NV, Iv) , dont 1 ensemble composera encore un paraboloïde hyperbolique (G. D., u9 595), qui formera le joint de la voûte conoïde le long de larête de douelle tôNe.

781. Il reste à limiter ce joint gaucbe an même plan horizontal HT {Jig. 4) qui termine le joint conique du berceau tournant. Pour cela, on prendra sur \sLfig. 7 la hauteur WH'' = HH'; et après avoir mené par le point H*' une horizontale qui coupera les normales aux points p\ sf^ t/\ il faudra projeter ces derniers sur iBiJig. 3^ ce qui fournira Thyperbole équilatère psu dont lasymptote est la droite «Ne.

Cette hyperbole psv va rencontrer le cercle HY en un point Y qui appartient à la courbe d^intersection NY du joint gauche avec le joint conique; et pour obtenir quelque autre point de cette courbe , il suffirait de couper les deux joints par un même plan horizontal , ainsi que nous lavons expliqué et exécuté pour la courbe MjcX, au n^ 779.

FiG. 3 782. Panneaux de développement. Gomme il faut former avec une seule et et ^. même pierre^ dans chaque assise, les portions des deux voûtes qui sont contiguës à la courbe d arête AMNOB^ , sans employer toutefois des matériaux dnn trop grand volume , le voussoir d'arêtier qui noiis a occupé spécialement jusquici, devra être limité d un côté par un certain plan méridien ys, et de lautre par un cylindre vertical aê concentrique avec la tour ; car ces deux faces de tête seront bien respectivement normales aux deux douelles : de sorte que la projection totale de ce voussoir sera aSX.yâi<t. Mais, pour le tailler, on suppose d abord que le cylindre aS se prolonge jusqu'à sa rencontre & avec le plan méridien , et Ion exécute les premières opérations comme s'il s*agissait d'un corps prismatique ayant pour base le quadrilatère a^sN ; ce qui n offre aucune difficulté.

Lorsque le solide a reçu cette foime , il faut trouver les intersections des deux faces cylindriques ol& et Ne avec la douelle gauche et les joints du conoïde. Pour cela, on développe ces deux cylindres, en prenant sur lay^. 8 les abscisses a'ty^ af\\ afii', a^€\ a'(^, égales aux arcs de dénominations semblables sur la fig, 3; puis, on élève des ordonnées dont la grandeur est facile à déduire de ce qui précède. D'abord les points af et ii" doivent évidemment être placés à la même hauteur que e'' etf sur l'ellipse de layîjf. 5. Pour le point intermédiaire X", on a prolongé la génératrice hioi du conoïde tracée à volonté (et on en

pourra tirer plusieurs autres), jusqu'au point /, où elle rencontre le cylindre extérieur de la tour; puis en rectifiant lare 0'7a suivant labscisse 0'7', et élevant 1 ordonnée l'I" de lellipse plane, on a trouvé la hauteur du point y. La courbe a^'^li^ ainsi obtenue pour la transformée de Tintersection du conoïde avec le cylindre vertical aS, doit être une ellipse dont Taxe vertical égale celui de G*Z"D*'^ ainsi que nous Tavons dit dans ÏAnaljrse appliquée, vH" 309, et comme on peut le conclure ici de ce que les arcs ak et el^ ^ Ufiet ef sont proportionnels avec leurs rayons. Quant à la courbe a"Y relative au joint supérieur, il faudra pr^idre l'ordonnée Y^" égale à HH' sur la^gf. 4; et pour la courbe jx^ê*^ relative au joint inférieur, il faudra que &&^ = GG^ : on doit voir aisément comment on obtiendrait Tordonnée d'un point intermédiaire.

Le second panneau yNV'>}"e^ de la^g^. 8 se construira d une manière toute semblable, en prenant pour abscisses les arcs du cercle Ne; mais nous n'y avons point marqué la trace du joint gauche inférieur, projeté sur /MXR , parce qu'on n'en pourrait faire aucun usage dans la taille du voussoir, attendu que ce joint ne saurait être prolongé jusqu'au cylindre vertical Ns, sans détruire une portion du solide qui doit être conservée.

783. Il sera encore nécessaire, pour la taille du voussoir, de connaître la ¥ïg. 4. vraie grandeur du joint conique inférieur, projetée suivant ç^MXy; et pour cela il

faut développer le cône qui est engendré par la révolution de la normale O'F'G' autour de la verticale <ô. Or, si l'on rabat cette dernière droite avec le méridien A'F'B' autour de la charnière A'O'», elle prendra évidemment la position «w" perpendiculaire à «A'; donc la rencontre des droites ww" et G'O'w*' fournira le * sommet' du cône en question. Dès lors, si avec les rayons w^'F', w'^C, (ù"g'y on décrit trois arcs de cercle F'M", G'X", g'af\ égaux en longueur absolue aux arcs yM, yX, YjX, de la projection horizontale, et qu'on trace la courbe XVM*, le panneau G'X"M"P sera le développement du joint conique dont il s'agit.

784. Taille du votùsoir. Après avoir équarri un prisme' droit qui ait pour P|^. 5^^ base le contour aâeH de la projection horizontale {fig. 3), et pour hauteur la FiG. 9. différence de niveau des deux points F' et H' sur l^Jîg. 4 9 ^^ qu'il ^^t représenté dans la^. 9, on appliquera 9ur les deux faces convexe et concave de ce prisme les panneaux de la jîgf. 8} ces panneaux auront dû être exécutés en caiton flexible, afin qu'en les appuyant sur ces deux faces cylindriques, les courbes puissent reprendre la forme primitive qu'elles avaient avant le développement exécuté au n® 782 ; et dans cet état, 00 tracera sur le pri«me de la

/ig. 9 les contours jN'Tnîss', \jia'Xji.6(J''(?', ainsi que les droites a'N', [iio , et l'hyperbole ^f dont la vraie grandeur est donnée par la jîy- 3. Gela fait, Touvrier

35a LIVRE IV. — COUPE DES PIERRES.

pourra enlever toutes les parties indiquées par des lignes pointillées^ et exé^ cuter la douelle conoïde afJ^'iofi en se servant dune simple règle ht quil pro* mènera sur les directrices o^X/x , N'?r>7, avec le soin de la faire passer par deux points de repère correspondants, tels que X etTr, Xj et TTa,..., lesquels seront déjà marqués sur les panneaux de la^î^. 8. De même, il exécutera le joint gauche af N' ji); en faisant glisser sur la droite af N' et Thyperbole ij;y, une règle qu il aura soin de maintenir dans une direction perpendiculaire à a'N'; et alors le solide aura pris la forme indiquée yi^. lo. FiG. lo. Maintenant, sur les génératrices Xtt, juti?, • . . de la douelle conoïde, on por* tera des longueurs Xa, fxM, . . . fournies par la^. 3, et l'on tracera sur la pierre même la courbe No-M qui sera Tarétier du voussoir en question ; puis, sur le joint gauche aNj(|^ , on tracera semblablement la courbe NT. Ensuite , sur la face latérale du prisme , on marquera le contour EFG/ H d après le panneau de tête E' PG' VB! de la/gf. 4; et enfin les arcs de cercle NE, ¥H, MF, au moyen d une règle pliante et de cerces levées sur la fig. 3. Dès lors il deviendra facile d'exécuter la douelle de révolution ENMF, en faisant glisser sur les arcs NE et MF une cerce découpée suivant la méridienne E'F', avec le soin de lappliquer sur les points de repère correspondants, lesquels sont bien faciles à trouver sur la^f^. 3 et à transporter sur la^. lo. On taillera aussi aisément le joint conique NYHE, au moyen d une règle qui glissera sur les arcs YH, NE, en passant par des points de repère bien faciles à déterminer. Ensuite, après avoir marqué le contour &X'y' suivant la forme indiquée par la^^. 3, on entaillera la pierre suivant les deux faces verticales ê'êXX', y'GXX', qui s exécuteront avec Téquerre, et seront terminées par un arc de cercle GX et un arc d*hyperbole 6X, identiques encore avec ceux de la^^. 3; puis, on taillera le joint conique in* férieur FGXM , en avançant progressivement jusqu'à ce qu'on puisse appliquer sur cette face le panneau flexible F^G^X'^M"" de layi^. 4> ^^ P^^ ^^ on obtiendra la courbe XM qui sépare ce joint conique d'avec le joint gauche inférieur jxêXM. Cette opération exige plus de précautions, attendu qu'il y a ici un angle rentrant j et que si Ion fouiUait la pierre au delà des vraies limites, ce serait an défaut irréparable ; mais une fois cette limite XM obtenue, on exécutera aisé* ment le joint gauche jxSXM, en se servant d'une règle qui devra glisser sur fxM et SX, et demeurer perpendiculaire à la droite jxM.

785. Remarques. U est intéressant de savoir mener la tangente en un point quelconque M de la courbe d'arête AMOB^ , et pour cela il suffira de combiner le plan tangent du conoïde que nous avons construit au n^ 778, avec

le plan tangent du tore, qui est bien facile à trouver d'après la méridienne A'F'B. Mais comme cette méthode générale devient insuffisante pour la naissance A et pour le sommet O , nous renverrons aux n^ 645 et 646 de notre Géométrie descriptive , où nous avons donné un moyen très-simple d'obtenir les tangentes relatives à ces points particuliers.

786. Au lieu d adopter pour directrice du conoïde une ellipse roulée sur le cylindre de la tour ronde, on se contente ordinairement de former cette directrice avec une ellipse plane tracée sur la corde AAa comme grand axe , et ayant toujours la même montée que le berceau tournant; mais alors le cintre de face qui résulte de Tintersection de ce conoïde avec le cylindre extérieur de la tour, présente souvent des inflexions ou changements de courbure qui $ont peu agréables àToeil; et comme d ailleurs il nen faut pas moiîis exécuter les développements des panneaux cylindriques qui répondent aux têtes et aux joints montants, cette méthode ne produit aucune simplification notable, et on doit lui préférer celle de notre épure.

787. D'autres fois, au lieu du joint gauche et continu que forment les di- FiG. ii. verses normales menées au conoïde par tous les points de larête de douelle eàliKl{fig. 3), les appareilleurs emploient une série de plans dont chacun est normal en un seul point. Ainsi , dans la/(/. ii, la face plane epp'a est menée

par la normale du conoïde en e, le plana(|/^'c^ est normal en a, et le plan âcff'H normal en &; d où il résulte que ces divers plans coupent la face horizontale de lextrados , suivant des droites pp% ^^\ ff' parallèles à la génératrice eac?N, au lieu de l'hyperbole p^f^^ Mais, d'abord , le joint discontinu présente des angles rentrants formés à la base des petits plans triangulaires que nous avons couverts ici de hachures, ce qui augmente les difficultés d'exécution. Ensuite, il est très-rare que, dans deux voussoirs superposés, les angles saillants de l'un soient parfaitement égaux aux angles rentrants de lautre; or, si cette condition n est pas remplie, les joints de lit qui devraient être en contact dans toute leur étendue, ne reposeront plus l'un sur l'autre que par un petit nombre de points, et couséquemment les voussoirs seront exposés à se rompre sous la charge qui les comprimera, lors du décintrement de la voûte. Si donc on voulait absolument éviter la peine d'exécuter un joint gauche, il vaudrait mieux adopter un seul et même plan pour toute la longueur eaN, en faisant passer cç plan par la normale du conoïde menée au milieu de cette longueur, qui n'est jamais bien considérable ; et alors ce joint continu ne s'écarterait pas beaucoup, vers ses deux extrémités, de la direction exactement normale qu'il aurait dû présenter. C'est ce dernier parti qu'il faut prendre, lorsqu'il n'y a

qae les voussoirs d arêtes qui soient en pierre, et que tout le reste de la voûte est en maçonnerie, c est-à-dire en moellons, briques ou meulières.

788. L'espace circulaire compris dans le cylindre intérieur ctd (fig. 3 ) peut être recouvert par une voûte hémisphérique, ainsi quon le voit indiqué dans là fig. I ; mais comme la naissance de cette dernière a été placée beaucoup audeissus des sommets de la porte, les voussoirs de la voûte conoïde ne rencontrent que le cylindre vertical cld, sur lequel la couii)e de tête est analogue à ce qui est arrivé pour le" cylindre extérieur CCD. Si, au contraire, la naissance de cette voûte sphérique était |à la même hauteur que pour le conoïde, il y aurait à chercher Tintersection de ces deux surfaces, par le même moyen qu'au n® 777, ce qui donnerait pour courbe de tête 5ur la sphère , une ligne gauche dont la projection horizontale passerait par les points c, z, (/; car la méridienne de cette douelle sphérique , après avoir été rabattue autour de la charnière oCA', viendrait coïncider avec la circonférence cUt!. Ensuite, sans rien changer aux joints du conoïde, il faudrait tracer l'appareil de la voûte sphérique comme au n® 749 , mais de manière que les divisions de son méridien fussent plus élevées que les arêtes de douelle correspondantes du conoïde , d'après les motifs indiqués dans la note de ce même article, dont les détails s'appliqueraient ici avec de légères modifications que le lecteur trouvera aisément.

Enfin , si le conoïde avait une montée plus petite que celle du berceau tour-' nant, leur intersection se composerait de deux branches non contiguës, qui s'obtiendraient comme précédemment, et passeraient l'une par les points A et Aa , l'autre par les points B et B^. Du reste, ce cas rentrerait dans le problème de la lunette considérée au n*^ 738, et devrait être traité d'une manière analogue, surtout quant à la dépendance à établir entre les arêtes de douelle du conoïde et celles du berceau tournant.