CHAPITRE VIII. — DES ESCALIERS

une distance ZU égale à Yemmarchement que Ton veut donner à rescaliei% c est-à-dire la longueur minimum des marches (car, vers les angles de la cage, les marches seront plus longues); ensuite, de cette longueur on retranchera une distance Uz égale à 4^ centimètres environ (n^ 835), et Ion tirera la droite zj- parallèle àZY; on opérera de même pour chaque côté de la cage, et Ton se procurera ainsi un polygone vxyz équidistant de VXYZ, et dans lequel on inscrira une courbe vaz qui soit tangente à tous ses côtés et qui sera la ligne de foulée^ Cette courbe est ici une ellipse; mais lorsque le polygone vxj'z aui^ des côtés plus nombreux ou* une forme irrégulière, on pourra la composer de plusieurs arcs qui se raccorderont entre eux. On divisera cette courbe en n parties égales ou girons,

dont le nombre devra être tel que la grandeur commune G de chacune d'elles se trouve comprise entre les limites indiquées au n^ 836; puis, comme il existera dès lors n + i marches depuis le point z jusqua v inclusivement, il faudra voir si en divisant par n + i la'différence de niveau de ces deux points, laquelle est ordinairement assignée par la question , on trouve nn quotient qui soit compris entre les limites indiquées au n^836 pour la hauteur H d'une marche. SHl en était autrement, on devrait modifier le nombre n et conséquemment la grandeur de G = a6, afin de rentrer dans ces limites, et d'établir aussi entre G et H la relation exprimée par la formule du n^836, au moins approximativement. Dans le cas où ces essais condtiîraient inévitablement à des valeurs trop grandes pour H ou trop petites pour G, la seule ressource serait de diminuer la longueur ZU de l'emmarchement , ce qui rapprocherait de la cage la ligne de foulée vaz, et, en lui donnant ainsi plus de développement, permettrait d'obtenir pour les girons une grandeur suffisante.

840. Ces opérations préliminaires étant effectuées, on mènera des normales à la courbe vaz, par tous ces points de division , ainsi que par les milieux /, m^, n,. . • de ces girons; et les intersections consécutives de toutes ces droites formeront un polygone dont il sera facile de tracer l'enveloppe wX/xaÇ, laquelle sera précisément la développée de la courbo vaz. On portera aussi sur ces normales des longueurs aA, 6B, cC,..., égales à l'intervalle zU, et la ligne UABGDW (qui n'est plus une ellipse) sera la courbe de jour, ainsi nommée parce que les marches se termineront toutes au cylindre vertical élevé sur

cette courbe; d ailleurs les portions de normales AA', BB', CC',. . . seront les projections des arêtes saillantes des marches.

Pour achever de fixer la position de ces arêtes dans lespace, imaginons que sur le cylindre vertical zabcd. . . on ait tracé une hélice, c'est-à-dire une courbe dont les ordonnées verticales aient avec les abscisses curvilignes comptées sur la base zabc. . . le rapport constant de H à G; et puisque le point z de la première arête de marche est déjà élevé de la hauteur H , lorigine de ces abscisses et de Thélice en question sera évidemment au point f^ en arrière de z d un arc z^, égal à G ; d ailleurs, tous les points projetés en a, b^c^d,... auront des ordonnées qui croîtront progressivement de H, et par là Thélice est bien suffisamment définie, sans quil soit besoin d'en tracer une projection ' verticale. Maintenant, faisons mouvoir une droite toujours horizontale, qui s'appuiera constamment sur Thélice zabc. . . en demeurant tangente an cylindre vertical c^XaÇ, et nous obtiendrons la surface continue sur laquelle sont situées

les arêtes de marches projetées déjà suivant A'A, B'B, C'C, Il est d aUleurs

facile de reconnaître que cette surface d extrados sera toujours gauche, même quand la courbe de foulée serait un cercle ; et il n y aura d'exception que pour le cas d'une rampe droite (*).

Pl, 6r. 841. Quant à Fintrados, c'est une surface identique avec la précédente; mais l'hélice directrice^ toujours située sur le cylindre zav, s est abaissée dans

{*) On peut voir maintenant d'une manière évidente que la courbe zav a été nommée avec raison ligne défoulée, parce que c'est la seule <lirection pour laquelle le mouvement soit complètement régulier. En efTet^ les courbes alcd» et ABGDW, ainsi que toutes les autres lignes équidistantes de la première, sont des développantes qui ont les mêmes normales et une développée commune Qi>a(; mais leurs rayons de courbure correspondants diffèrent entre eiix d*une quantité constante ka que j'appellerai D. Donc, si Ton considère les points a et 6 comme trèsvoisins, les arcs aà et AB pourront être censés confondus avec les cercles osculateurs, et l'on aura

AB p — D D j :, CD D

— r = =1 ; de même, — 7=1 t.

ab ^ p ' ^ cd p'

Or, comme on a pris cd=ab et que p' est plus petit que p, on voit que CD sera moindre que AB , et qu'ainsi les arcs AB, BG, CD, . . . iront en diminuant avec leur rayon de courbure* Dès lors , si l'on veut monter ou descendre l'escalier sur une autre courbe que la ligne de foulée abedvy le mouvement ne sera plus uniforme, puisqu'on devra parcourir des chemins variables en plan , pour des espaces égaux dans le sens vertical ; et ce défaut devient très-sensible lorsqu'on descend rapidement un escalier sur une ligne voisine de la cage.

GHÂPlTttE VIII. — DES ESCALIERS. 385

tous ses points d une certaine quantité constante & que nous fixerons plus tard (n** 845) , et qui dépend de l'épaisseur que Ion veut donner à la voûte. Ainsi , les droites AA', BB', GC, . . . , seront encore les projections de diverses génératrices de Tintrados , mais cette surface sera entièrement continue et sans interruption , tandis que lextrados n a conservé que quelques génératrices isolées. Pour diviser Tintrados en douelles partielles, et afin que les marches se supportent mutuellement en se recouvrant d'une certaine quantité, nous adopterons pour arêtes de douelle les normales /X, mii^ nv, . . . menées par les milieux des girons dcy cb^ ba^. ..; ainsi lune des marches s étendra en plan depuis BB' jusqu'à LT/. Ensuite, pour former le joint et le rendre exactement normal tout le long de l'arête de douelle LTY, on devrait construire les normales de la surface gauclie relatives aux divers points de cette génératrice , comme nous l'avons fait au n® 778, ce qui conduirait à un paraboloïde hyperbolique (G. D., n^ 595); mais ici on se contente de prendre pour ce joint le plan conduit par la génératrice LT/ et par la normale de la surface au point P, milieu de cette droite.

842. Pour construire cette normale , et d'abord pour trouver le plan tangent de la douelle gauche en P, il faut former un paraboloïde de raccordement (G. D., n^ 581). Je mène donc au point / de l'hélice directrice une tangente qui sera projetée sur /9, et qui rencontrera un plan horizontal choisi à volonté (par exemple, à 3 hauteurs de marche au-dessous de la génératrice LL'), à une distance 16 égale à 3 girons ou 3/m ; car la sous-tàngente d'une hélice est toujours égale à l'abscisse curviligne du point de contact (G.D., n^ 449), et celle-ci doit égaler 36, puisque nous avons supposé que l'ordonnée était 3H. Ensuite, j'observe que la génératrice /LX de la douelle gauche étant tangente au cylindre de la développée dans un point de la verticale X, si je fais glisser cette génératrice , toujours horizontale, sur la verticale X et sur la tangente 1$ de l'hélice, je formerai ainsi un paraboloïde qui aura le même plan directeur que la douelle, et deux plans tangents communs avec cette surface gauche. En effet, au point / le plan tangent est évidemment commun : au point projeté sur X, le plan tangent de la douelle gauche passerait par la génératrice /X et par la tangente à la courbe que formerait sur le cylindre (ùka la suite des points de contact des diverses génératrices ; donc ce plan tangent n'est antre que celui qui touche ce cylindre le long de la vertical X ; or ce dernier poïncide aussi avec le plan tangent du paraboloïde, lequel passe évidemnient par la génératrice /X et par la directrice verticale X.

Il suit de là, en vertu du théorème démontré G. /)., n*^ 576, que le para-: boloïde ainsi formé touchera la douelle gauche tout le long de L'LX , et qu'il

suffit dès lors de construire le plan tangent de ce paraboloïde en P. Â cet effet, j observe que Tborizontale Xd est une seconde position de la génératrice XI; donc , si je coupe ces deux droites par le plan vertical PQ perpendiculaire à X/, et conséquemment parallèle aux deux directrices du paraboloïde, la droite qui joindra le point Q avec le point de lespace projeté en P, sera tout entière siu* le paraboloïde (G. />., n® 5S1), et elle déterminera avec la génératrice PX le plan tangent demandé. Si donc je rabats le plan vertical PQ autour de PQ considérée comme ligne de terre , la génératrice PX se trouvera projetée verticalement en un point P' tel que PF = 3H , et P'Q sera la trace verticale du plan qui est tangent au paraboloïde et aussi à la douelle gauche : sa trace horizontale serait la droite Qq parallèle à PL. 11 suit de là que la normale de Tintrados au point P est projetée verticalement sur la droite P'G' perpendiculaire à P'Q, et horizontalement sur PG; donc enfin, le plan de joint qui doit passer par cette normale et par laréte de douelle PLX, se trouvera perpendiculaire au plan vertical PQ, et il aura pour trace sur ce dernier la droite G' F elle-même, tandis que sa trace horizontale serait p'p perpendiculaire à la ligne de terre«

843. Le joint doit être terminé à la face supérieure de la marche; si donc , à une hauteur arbitraire P'K', on mène le plan horizontal K'G' pour représenter cette face, il coupera le plan de joint P'G' suivant une droite parallèle à PL, laquelle sera projetée verticalement au point G' et hoiizontalement suivant GR ; de sorte que ce joint se trouvera compris entre L'L et B'R. Observons cependant que, pour la soUdité de la voûte, la hauteur FK' doit être égale au moins à 4 ou 5 centimètres, sans que d'un autre côté le point R atteigne lextrémité G de larête C'C de la marche supérieure; car alors cette dernière marche ne recouvrirait plus entièrement le giron de la précédente, ce qui serait un défaut très-grave. D ailleurs, cette hauteur P'K' est liée avec la distance verticale â qui sépare Tintrados de lextrados, et que nous avons laissée indéterminée au n** 841. En effet, lare Imb de la ligne de foulée étant égal à |G, il s ensuit que sur Thélice directrice de la douelle le point projeté en /, et aussi la génératrice L/L', se trouve plus élevée que la génératrice B6B' d une quantité égale à I H ; donc, en ajoutant à cette différence de niveau la hauteur PR', la somme doit égaler la distance verticale & qui sépare les deux génératrices de Tintrados et de lextrados qui ont la même projection horizontale B6B'; ainsi on aura toujours

Cette relation deviendra plus évidente si Ion compare les points L", B", B"", de