CHAPITRE VIII. — DES ESCALIERS. SgS

obtenir ces courbes, ii a suffi de prolonger toutes les verticales Cy^ C^y^ IW, Dj^'î,.-- jusqu'à leurs rencontres avec la droite U'V; puis, en rabattant la face supérieure autour de cette droite , les points d'intersection se sont transportes en G y C'a, D', D'à v ^1^1 doivent être placés chacun à la même distance de U' V que G, Ca , D, D,,... le sont de la droite UV.

Nous aurions dû aussi rabattre la face inférieure uV avec ses intersections par les deux mêmes cylindres; mais comme ces nouvelles courbes seraient des sections parallèles et conséquemment identiques avec les précédentes, nous avons supposé que la face inférieure t/t/ s était élevée d'abord jusqu à la position uV; et en la rabattant alors autour de cette dernière droite, les traces des deux cylindres sont venues se confondre , du moins dans une partie de leur étttidue , avec les premières courbes G D'E', C'a D'à E'j.

853. Sur Isifig. 6, on a représenté le panneau de tête du solide capable , , rabattu autour de Tborizontale XPX,, c'est-à*dire qu'après avoir pris une distance arbitraire PF, on a mené par le point F une parallèle X'FX'a, à partir de laquelle on a porté les différences de niveau qui existaient sur la^^. 4 entre la droite FT' et les angles du parallélogramme qui termine le solide capable. On a agi de même pour tracer les quatre courbes Q'Q'sQ'a, QYv- ^l^i ^^^^ en vraie grandeur les intersections de cette face de tête avec les quatre faces du limon. La/i^. 7, qui représente le panneau de lautre tête, a été construite par des moyens semblables, en prenant les différences de niveau à partir de 1 horizontale R'ô'' de \afig. 4.

8d4. Application du trait sur la pierre. Après avoir choisi une pierre capable Pl. 62, du parallélipipède dont les dimensions ^nt indiquées yt^. 4 et i, on taillera les FiG. 8. quatre faces latérales de ce corps (il suffit même de trois) ^ et sur les faces supérieure et inférieure on appliquera les deux panneaux que renferme Itifig. 5; dès lors on pourra dresser les deux têtes W^v^v et UUaUaU, qui sont des plans passant chacun par deux droites connues , et sur ces faces on appliquera les panneaux desfig. 6 et 7. Ensuite, on exécutera le cylindre concave qui a pour directrices les courbes ÇaDaE^Fa et G^Ut^\¥\ , en promenant sur ces cour* bes une règle qui devra passer à la fois par les points de repère correspondants Ca et C'a, Da et IVav-9 puis, on opérera semblablemeot pour le cylindre convexe passant par la courbe Gh'E'F' et par une autre courbe qui est invisible ici. Maintenant , sur chaque génératrice de ces cylindres , on portera les longueurs Ca7" et G27', Da(^" et D^i%... mesurées avec le compas sur la jîgf. 4; puis, eu s aidant dune règle pliante, on tracera sur la concavité du cylindre les courbes y'V'e''^", yâ'i'cf'i cl sur la face opposée et convexe qui passe

SgA LIVRE IV, — COUPE. DBS Pi^RHES*

par CIVE' F', on tracera semblablemeot les deax courbes aaalogues du limon/ Dès lors il deviendra facile d'enlever la pierre qui excède ces limites en dessus et en dessous , et de tailler les deux faces gauches du limon au moyen d-une règle qui devra glisser sur ces deux couples de directrices curvilignes, avec la condition de passer par les points de repère que fourniront les extrémités des droites y '7", â'â''^.. . qui resteront marquées sur les faces latérales et cylindriques de ce limon.

F16. 9. 85S. Quelquefois, au lieu de terminer chaque voussoir du limon par un seul joint plan, on y ménage une crossette {fig. g) formée par deux faces parallèles au plan normal que nous avons construit pour le centre de Tassemblage (P« P'); et ces faces distantes de quelques centimètîres, sont réunies par une troisième qui est dans un plan conduit suivant la tangente à la courbe moyenne, et perpendiculairement au cylindre latéral du limon. Cette disposition a pour but d empêcher le glissement des voussoirs; mais eu égard à la cUficnlté de bien faire coïncider les trois faces correspondantes de deux voussoirs coniigus, par un travail assez soigné de la part des ouvriers, il est préférable de n'employer qu un seul joint plan , en y ajoutant desi goujons en fer pour relier les diverses parties du limon.

Escalier dit : courbe rampante, avec balancement.

Pl. 63 856. Lorsque la courbe de jour d'un escalier offre des changements brus- YjQ j ques de courbure , comme dans la fig, i , où cette ligne , après avoir été droite , devient circulaire, il arrive nécessairement que les têtes des marches^è^ ed^dc^ éprouvent dans leur largeur une diminution subite et considérable, tant que Ton conserve aux arêtes une direction normale au cylindre de jour. Pour atténuer cet inconvénient, qui rendrait Tescalier incommode et même dangereux!, on répartit cette diminution inévitable sur un plus grand nombre de marches, en la rendant d ailleurs progressive; et c'est ce qu'on appelle faire le balance^ ment. Pour cet effet , après avoir rectifié la courbe de jour abcdefm suivant la droite abcdefm de la^Ç^. 2, on élève des ordonnées égales à i, a, 3,... fois la hauteur H de$ marches, et en réunissant les sommets e/, b% c', ..., on obtient une ligne discontinue composée ici de trois droites a'e', €ff\ mf^^ attendu que dans notre exemple, les têtes des marches pi^sentent deux séries de distances égales,

ab = bc = cd =zde et fg = gli = kl z=: Im;

et cette ligne brisée a'e^f'm représente la transformée de la courbe de jour dans lespace, après le développement dn cylindre vertical sur lequel elle est

CHAPlTRl!; Vni. — DES ESCALIERS. îgS

située. Or, en remplaçant la première pallie de cette lig[ne brisée par la droite a'f\ nous obtiendrions déjà nne augmentation dans les têtes des marches voisines du point Q\ mais si Ton veut éviter le jarret qui se présente au pointy*, et donner une forme entièrement continue à la courbe de jour, il n y a qu'à tracer une courbe tangente aux deux droites df^fm^ par exemple un arc de cercle; puis, après avoir prolongé les horizontales lo, 9, 8, 7,... jusqu'à cette courbe, on projettera les points de l'encontre B', C, D', E', sur la ligne de teri'e en B, C, D, E, et les intervalles

. aB, BG, CD, DE, EP, FG, GH, H/t,

étant reportés sur la^^. i, donneront les largeurs qu'il faut adopter définitivement pour les têtes des marches. En effet, ces intervalles sont les projections horizontales des cordes que l'on pourrait tracer dans la courbe fl'B'C'iy,..., lesquelles ont chacune pour projection veiticale une grandeur constante H; donc, en appelant w, w', «", .. . les angles ai^s que ces cordes font avec Thorizon , ou aura les relations

flB = , BC = ' ; , CD = 7, 9 . * . ;

tango»' Ungw" tangV '

or, comme ces angles ck), ct)', c/,... vont en diminuant, attendu que la courbe tourne sa convexité vers la ligne déterre, il eîn résulte bien que les intervalles ^B, BC, CD,... vont en augmentant d'une manière progressive.

857. Cela posé, enjoignant les points B, C, D, ... avec les divisions 10, piG. i. 9, 8, . . . marquées sur la ligne de foulée ( ySjf. i ) , on aura les projections des arêtes saillantes des marches, et celles-ci formeront par leurs intersections con^cutives un polygone auquel on tracera une courbe enveloppe aê^c?. . . , ^ que nous appellerons la dévebppoïdey et qui tiendra lieu dé la véritable développée employée dans l'épure de la PL LXL Si d'ailleurs nous imaginons une hélice tracée sur le cylindre vertical delalign&de foulée (ï,a, 3, 4 , ..., 9, 16), et qui ait pour rapport entre ses ordonnées et ses abscisses celui de li à l'intervalle G= (i, 2), cette hélice sera en pattie rectiljgne et en partie courbe, mais elle n'en sera pa» moins la directrice principale de la surface de l'escalier dont la génération devra ►être définie de la manière suivante : Une droite toujours horizontale se meut en glissant sur C hélice défoulée , et en demeurant tangente au cylindre tferticat de la développoide aSyâ* Cette définition convient même

aux arêtes projetées sur 3/î, a/, i m; car la courbe aSyâ aurait pour asymptote la dernière arête de marche 3k qui n a pas été dévoyée.

858. L'intrados de cet escalier sera une surface identique avec la précédente; seulement Thélice directrice, toujours tracée sur le cylindre de foulée, devra être abaissée d une quantité constante qui dépendra de 1 épaisseur que 1 on veut donner aux marches ( n^ 843); et chaque arête de douelle se trouvera projetée sur une droite telle que QRp, passant par le milieu Q du giron et tangente à la développoïde aêyp.

Quant au joint, on le formera avec un plan conduit par larête de douelle PQR et par la normale de Tintrados au point milieu P, ce qui oblige de recourir à un paraboloïde de raccordement. Or, d'après les détails que nous avons donnés au n*^ 842 , il faudra, après avoir pris la sous-tangente de Thélice QT = 2G, tirer la droite Tp , la couper par le plan vertical PS parallèle à QT; puis, en prenant un plan vertical perpendiculaire à la génératrice PQR , y projeter cette droite au point P' placé à la hauteur aH, et alors PS'S sera le plan tangent en (P, P'). La normale P'N' se déduit de là, et le plan de joint est P'N'N ; enfin, si Ion prend Tintervalle P'U' égal à la hauteur verticale que Ion veut donner à tous les joints {voyez n^ 845) , le dessus de la marche sera représenté par le plan horizontal U' V, qui coupera le joint suivant la droite (V, Vv) parallèle à larête de douelbe.

Le développement des panneaux de tête s'effectuera comme dans la PL LXI; et quant au limon que nous supposons exister ici, il se taillera par les méthodes exposées aux n^ 847,. . ., 854, mais en adoptant pour les faces gauches supérieure et inférieure de ce corps la génération énoncée au n° 857.

Escalier dH : Fis à noyau plein.

Pl. 63 , ' 859. Ici les marches sont engagées par un bout dans un noyau ou cylindre FiG. 3. plein, et par l'autre bout dans un mur circulaire qui est concentrique avec le noyau; d'ailleufô, comme la largeur d'un pareil escalier ne dépasse guère un mètre, il est d'usage de placer la ligne de foulée au milieu, et ce sera un cercle que l'on divisera en parties égales, renfermées dans les limites indiquées au n** 836. Les arêtes saillantes des marches seront projetées sur les rayons Aa, B6, Ce, . ..; et, dans l'espace, ces lignes seront placées sur un hélicoide gauche (G. D., n** 628), qui aura pour directrices l'axe vertical du noyau et l'hélice tracée sur le cylindre de foulée (i, a, 3, 4, . . .). Les arêtes de douelle L/, Mm,,., se mèneront par les milieux des girons, et Ion termine ordinaire-

CHARITBE VIII, -- DES ESGAUEBS. 'i^*]

ment les marches par des plans verticaux condaits suivant ces ai^étes de douelle, ainsi qu'on le voit indiqué ddos \àjig. 4 qui représente le développement des têtes du côté de la cage, tandis que isijig. 5 est rdlative aux têtes voisines d« noyau. Dans rim et dans 1 autre , il ne s agit que de rectifier des arcs de cercle d*nne longueur constante, et d'élever des ordonnées ^ales à H, aH, 3H,.. . ; de sorte que tous les contours de ces panneau]^ sont des lignes droites qui re^ présentent les> transformées d'autioit d'hélices.

860. Les marches pourront s'engager dans le noyau «au moyen d'entailler pratiquées sur ce dernier, ainsi que le montre la fig. 6; et les contours de ces entailles se traceront en appliquait sur le cylmdre les panneaux de la^. 5 exé^ ctttés eu carton flexible : ou bieA , on pourra faire porter à chacune des marches une tranche du- noyau, comme Tindique la fig, 7 , ce qui offrira plus de soli^ dite, mais exigera des pierres d'un plus grand volume. Il faudra aussi plus dv main-d œuvre, parce qu'en taillcmt la face gauche Vtn/M^ on sera obligé de refouiller la pierre, afin de ménager de quoi exécuter la tranche cylindrique du noyau. Dans tous les cas , il est bon de réunir, les divers tambours ou assises dont se compose le noyau , par des goujons en fer implantés à leur centre et scellés fortement.

861. Deuxième solution. Si l'on veut que; le dessous des marches présente F16. 8. une surface entièrement continue ^ il faudra la former par un hélicoïde identique avec celui qui contient les arêtes saillantes de Textrados; seulement l'hélice directrice , toujours située sur le cylmdre de foulée , devra être abaissée d une certaine quantité; et alors le joint qui passera par larête de douelle PQ/?, de<-

vra être formé par un plan normal à la douelle en Q. Or,.oemmece point est ici sur rhélice même, il suffira, sans recourir à un paraboloïde de raccordement, de construire la tangente (QT, PT') de'cetteiiélice, ce qui déterminera le plan tangent FT'T, et par suite la normale jN' PV ; ensuite , après-avoir fixé la hauteur constante PU^ cpie Ton veut dcmner à tous les joints ^ on mènera le plan horizontal U' V^qui déterminera Taréte supérieure du joint considéré ici, laquelle est projetée sur Vv parallèle à Pp. Les développements des panneaux de tête (^. 9 et 10) s'effectueront comme ci -dessus; seulement, la ligne PV étant la transformée d un arc d'ellipse , il faudra cberoher ua point intermé* diaire en coupant le joint de la^^. 8 par un plan horizontal mené par le mi- Ueù de ce joint, ce qui fera connaître l'arc PI qui doit servîi* d-afcscisse au point demandé.

862. Si les marches'de cet escalier doivent s'assembler dans le noyau., le dessous des entailles indiquées yî^. 6 sera formé par une seule hélice continue,

ce qui û offrii^ ancnne difficulté ; mais il s en présentera , si Ton veut que chaque marche porte une tranche du noyau. Car l'épaisseur de cette tranche devant toujoui's être égaFe à la hauteur E"E' du pa%>{jig. cfj et le plian. horizontal E'S' ne pouvant pas être prolongé sans enlever une partie de la douelle FR', iLfaudra donc laisser subsister, au-dessous de la tranché , du noyau, une saillie pour tailler le joint inférieur R'8\ Or ce joint présentant une partie assez aiguë dans le voisinage du point R', cette disposition offrirait peu de solidité; et Ton préfère ordinairement <l>attaoher la tranche du noyau àcç joint inférieur, sauf à ne pas la faire monter jusqu aa giron ; de sorf:eqae la marche tonte taillée se présentera sous^^ la forme indiquée dans la yîy. ly. Pl, 63, 863. Troisième solution. Dans les fig. 3 et 8, la convergence rapide des arêtes FiG. I a. de douelie est cause que la queue de la marche (vers la oage) oflFre une largeur considérable Al^i, tandis que la tête a/ est beaucoup plus étroite; cela produit 'donc un grand déchet dans les matériaux employés. En outt«, et^saitout dans layîgr. 8, le recouvrement vf est très^petit, et pourrait même disparaître pour faire place à un* vide dangereux, si Ion augmentait un peu la hauteur P'U' de chaque joint Afin donc d'éviter ces inconvénients, on peut mener chaque anéte de douelie hl(Jig, la) par le milieu P du giron, mais en la rendant parallèle à 1 arête d'extrados ka qni la précède immédiatement; et alors l'intrados n'est plus un hélicoïde, mais c'est une surface gauche engendrée par une droite toujours'honzontale qui se meut sur l'hélioe de foulée avec la condition-d'être parallèle à la normale du cylindre qui serait en arrière de chaque i>oint P ou Q de la quantité constante Pi ou Qa :• on pourrait dire aussi que la giénératrice horizontale se meut sur t'hélice de foulée et sur une autre hélice de même pas , tracée sur le noyau, mais dont Forigin^ serait en avant de^la première d'une quanl&té marquée par 1 arc ai Après tout, quoique l'intrados ne soit plus identique avecl'es^trados, le joint normal pour le point P: se construira comme précédemment, ainsi qu'on le voit indiqué/^; j3, et les développementa des panneaux de tète [fig. 14 et i5) s'obtiendront comme à lordinaire. lia ligne L'V sera la transformée d'un arc d ellipse, et pour en trouver un point intermédiaire H', on coupera, le joint de \B.fig. i3 par un plan horizontal mené par son milieu, ce qui fera connaître l'arc VR [fig. \%) qui doit servir d'abscisse aîi point demandé R' «ur la fig. r4.

Fig. 16. H64. Quatrième sobaion. Lorsque le noyau est d'un petit diamètre, il vaut mieux rendre les arêtes de douelie Drf, Ee, F/,... tangentes à ce noyau, en les faisant toujours passer par les milieux P, Q,.., des girons; alors la surface de douelie est encore distincte de l'extrados^ et elle se trouve engendrée par une