CHAPITRE VIII. — DES ESCALIERS. /fOf

nV menée- à angle droit sur c^d'; dès lors si Ton marque les points X^(^,fJl^7^',..• où cette trace uV rencontre les diverses sinusoïdes L'X'I/, D'cî^D", M']x'M%,.., ainsi que d autres qui seraient décrites par les milieux des côtés M'F, P'Q'» ... ; puis, si Ion projette tous ces points X', cJ^, ]tx', tt', ... sur les cercles corresponjdants de la^î^. i, on obtiendra le polygone curviligne 'k&pLn^ pour la projection horizontale de la section faite par le plan normal uV. Or, d après la nature du mouvement hélicoïdal qui a été imprimé au polygone L'M^P'Q'R', on doit bien voir que les sections faites dans le solide ainsi engendré par divers plans normaux à la même hélice sont toutes identiques, ainsi que leurs projections sur le plan horizontal; donc , en transportant les points X, (^, jx, tt, • . • sur les mêmes circonférences dans les positions /, </, m , p, . . . situées par rapport au rayon Od comme Tétaient les points primitifs par rapport au rayon 0(f , on obtiendra la projection horizontale Idmpqr de la section normale faite par le point (rf, d')'y et la projection verticale td'm'j/q'r^ s'en déduira en projetant les points /, rf, rriyp^, . . sur les sinusoïdes correspondantes de lajîjf- 3.

Seniblabiemeut, on transportera le polygone Xc?|X7r/p en Ud^m^^cf^r^t et l'on en déduira l'autre projection l"d"m"p''c('r^\ ce qui fera connaître la section normale faite par le point {d^^ d") dans l'assise en question; et par là le voussoir compris entre les points (c/, d') et {d^^ d") se trouvera complètement défini. Nous l'avons représenté sur layî^. 3 comme isolé du reste de la voûte, afin dé faire mieux saisir les détails de ses diverses faces.

868. Maintenant, enveloppons ce voussoir par un parallélipipède tronqué, Pl. 64, formé de la manière suivante : i® deux plans verticaux gh^yje^^ menés perpen- FiG. 3. diculairement au rayon Od'; %^ deux plans perpendiculaires aux précédents, et dont les traces verticales ^(J\ h'Jï\ sont des droites parallèles inclinées de manière à embrasser la projection du voussoir sous le moindre espace possible; 3^ les deux plans normaux à l'hélice moyenne, que nous avons conduits ci* dessus par les points (rf, c/'), (rfj ,</"); et ces derniers plans couperont les autres suivant des parallélogrammes

{efglhe^ff/h'), {eJ,g^h,,eJYh!'),

qui se construiront comme il suit. On imaginera par le point {d, d') et dans le premier plan normal, une droite horizontale qui sera évidemment projetée sur Oadb et a!d'b'\ or cette horizontale va rencontrer les plans verticauxjg^j, gg^ , aux points (a, a'), (6, b')\ donc, si Ion mène par les points a' et 6' des droites eff et ^h! perpendiculaires à la tangente d't^ et que Ion projette les quatre angles

e\f\ g\ h^y ainsi déterminés, sur le plan horizontal , on obtiendra le pdrallélogramme efgfi. L'autre parallélogramme e^f^gjli^ se construira semblablement au moyen de l'horizontale {Oa^d^b^, a!'d"b^'). FiG. 4. 869. Il faut, à présent, trouver la vraie grandeur de ces bases du paratlélipipède tronqué, ainsi que la véritable forme des joints qui sont projetés sur idmpqr et /2</2^2Pa92^8* ^ ^^^ effet, transportons encore ces deux joints dans le plan normal uV, par un mouvement hélicoïdal autour de Taxe O du noyau cylindrique, ce qui les fera coïncider avec la section X(^|X7r/p; en même temps le parallélogramme efgli deviendra £(pyïi qui se construit en plaçant ses divers sommets sur les mêmes circonférences que ceux du premier, et aux mêmes distances respectives des rayons O^ et Oc^; semblablement le parallélogramme e^f^gjx^ deviendra €97 a7s>7a. Cela fait, projetons sur la trace vf%/ da plan normal moyen > les divers points

X,€?,fx,7r,..., ç, y, n,-.. ?», r», n»,

en y, d', ii\if,..., y', 7', '/i% • . . , ç',, 7^2, Y)\, ... ;

puis, rabattons ce plan normal autour delà droite (t/t/, (^d), après lavoir transportée parallèlement à elle-même à une distance arbitraire, comme u^v^ [fig. 4). Alors, en abaissant sur cette dernière ligne des perpendiculaires issues des divers points X', (J', /x', . . . , il faudra y placer les points X, , (^3 , jut,, , . . . à des distances de U3 Vi qui soient les mêmes que celles qui séparent les points X , c^ , |ui , . . . de la droite à&\ et Ton obtiendra ainsi le panneau XsC^aix^Tr^;^,^^ qui servira pour les deux joints extrêmes du voussoir, car ils sont identiques.

Quant aux parallélogrammes qui forment les bases du parallélipipède trou* que , on emploiera encore les pei*pendiculaires menées par les points ©', y, >jV • • > /j, 7'a,...avecle9 distances de ç, 7, >}, • ..r?a»72î»-- ^ la ligne <W; et Ion obtiendra ainsi les parallélogrammes f s7s>93 h ^^ ^hl^'^k^h 9 dont quatre des côtés devront se couper deux à deux sur la droite â'&^ ; car cette dernière ligne représente Tho^rizontale (0()',(?'), sur laquelle les parallélogrammes îxffn et^t^^ti^i venaient aussi se rencontrer, comme cela résulte évidemment de la construc* tioD employée au commencement de ce numéro.

780. Il sera nécessaire , pom* tailler le voussoir en question , de donner d'abord au solide capable la forme que pi*ésenterait un limon qui serait engendré par le rectangle Q' X' Y' Z' tournant autour de Taxe vertical O par un mouvement hélicoïdal; il faut donc encore tracer sur les panneaux de la^. 4 les intei*sections de ces plans normaux avec les quatre faces de ce limon, lesquelles sont deux cylindres verticaux et deux hélicoïdes à plan directeur. Or, quand le ptaa