CHAPITRE II. — EXEMPLES DIVERS. a

cales FQ' et P'^Q^; d où il résulte que le point de rencontre Q fournit deux points distincts Q' et Q" de la courbe cherchée. D un autre côté, à la même projection verticale EV dun rayon lumineux, correspondent deux projections différentes sur le plan horizontal, savoir, EN et en, lesquelles fournissent deux points N' et ri appartenant encore à la courbe dHntersection ; donc cette ligne est enfin représentée sur le plan vertical par

G'Q'N'M'U'B'nYy'N'Q-'C'.

La première de ces deux méthodes revient à couper les deux cylindres par des plans verticaux PQ, EN,... qui sont parallèles à la fois aux génératrices des deux surfaces, suivant la règle donnée en Géométrie descriptive; et Ion trouverait semblablement une seconde branche d'intersection , aussi fermée , si Ton achevait le cercle ACB qui sert de base au cylindre de la niche ; mais cette dernière branche n a aucun rapport immédiat avec le problème d ombre qui nous occupe.

38. Ombre sur la sphère. Cette ombre est produite par Tintersection de la Pl. 4sphère avec le cylindre oblique formé par les rayons lumineux qui rasent lare de tête (A'D'B', AB); si donc nous coupons ces deux surfaces par des plans E'O', G' H',... qui soient parallèles au rayon de lumière et en même temps perpendiculaires au plan vertical ( lequel est ici le plan de tête AB ) , nous n aurons à combiner entre elles que des sections rectilignes et circulaires. Or, le premier E'O de ces plans sécants coupe la sphère suivant un grand cercle que, pour plus de clarté , nous transporterons parallèlement à lui-même , jusqu a ce que son diamètre E'O'e' ait pris la position Ë'^OV'; si donc nous désignons ce plan ainsi transporté sur la fig. 3, sous le nom de plan auxiliaire de projection, et que nous le rabattions autour de sa ligne de terre EV^ le demi-cercle situé dans' rhémisphère postérieur deviendra E''V'V. D ailleurs ce plan sécant E'O' renfermait le rayon lumineux (E'O^ ES)dont il est facile de retrouver la position sur le plan auxiliaire rabattu; car ce rayon était Thypoténuse d'un triangle rectangle qui avait pour côtés E'CK et Thorizontale (OS, O') ; donc si Ion prend sur la perpendiculaire à E"0" une distance 0"S" égale à OS, la droite E"S" sera le rabattement du rayon lumineux.

59. Cela posé, le rayon lumineux E"S" et ïe grand cercle E" W se trouvant tous deux dans le même plan sécant E'O', ne pourront manquer de se couper en un point qui sera celui où ce rayon va percer la sphère; or, commç ce point est évidemment projeté en F' sur le plan auxiliaire, on en déduira sa projection

F' sur le plan vertical primitif, au moyen d une perpendiculaire F'T' à la ligne de terre EV relative à ces deux plans.

Ensuite, un autre plan sécant G'H^ coupera le cylindre oblique suivant un rayon lumineux qui se projettera sur G" H" mené parallèlement à E"S''; ce même plan coupera la sphère suivant un petit cercle projeté sur la circonférence décrite avec 0"G" pour rayon j donc le point de section H" de ces deux lignes, étant ramené sur le plan vertical primitif, fournira un nouveau point H' de la ligne d'ombre cherchée, laquelle sera enfin F'H'R'L'. Cette courbe doit évidemment passer par le point L' où le rayon lumineux projeté sur L'U', devient tangent à la sphère; et la méthode précédente, si on voulait lappliquer au point L', conduirait aussi à cette conséquence.

60. On doit apercevoir que la courbe d ombre qui nous occupe se trouve projetée suivant une droite 0'^K'^H"F" sur le plan auxiliaire. En effet, si Ton considère deux points quelconques F "et H" de cette projection, on voit qu'ils appaitiennent à deux triangles isocèles 0"E "F" et 0''G"H", dans lesquels les angles à la base E" et G " sont égaux ; d où il résulte nécessairement que les deux angles au sommet E'^CF" et G"0"H'' sont aussi égaux, et, par suite, les deux derniers côtés 0"F" et 0"H" doivent coïncider en direction. De là nous conclurons que lombre portée par l'arc de tète (A'D'B', AB) sur la partie sphérique de la niche est une courbe plane y laquelle ne peut être qu'un grand cercle de cette sphère, puisque sa projection 0"F" passe par le centre O"; gar conséquent aussi la projection L'H'F'P" de cette ligne d'ombre sur l'élévation est une ellipse qui a pour grand axe le diamètre P'^L'.

61. On pouvait prévoir ces résultats d'après le théorème démontré au n** 745 de la Géométrie descriptive; car on a vu que quand la courbe d entrée d'une sphère et d'un cylindre est plane ^ la courbe desortie est aussi plane, et égale à la première; de plus , le plan de la courbe de sortie est perpendiculaire à UN PLAN

' AUXIUAIRE qui serait à la fois parallèle aux génératrices du cylindre et perpendiculaire à la courbe d entrée. Or, ici le cylindre oblique des rayons lumineux a pour ligne commune avec la sphère , ou pour courbe d'entrée, le grand cercle A' D'B'; par conséquent le théorème rappelé ci-dessus s'applique au problème actuel.

62. Si l'on veut profiter de ce théorème pour simplifier la construction de lombre portée sur la partie sphérique de la niche, il faudra dire immédiatement (n° 58) que l'on adopte un plan auxiliaire E'O' parallèle au rayon lumineux et perpendiculaire au cercle vertical A'D'B', qui est la courbe d'entrée, parce qu'il est certain que la courbe de sortie, ou la ligne d'ombre, se projettera sur un pareil plan suivant un diamètre. Ensuite on transportera ce plan